广东省东莞市沙田瑞风实验学校2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

这是一份广东省东莞市沙田瑞风实验学校2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了 考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
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2024-2025 学年度第一学期九年级期中考试试卷
数 学 本试卷共 6 页, 23 小题, 满分 120 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名、班级、和考号填写 在答题卡上.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，填写在答题卡对应题号方框内，答案不能答在试 卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用 铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1 ．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A ． B ． C ． D.
2 ．把方程 2x(x-1)=3x 化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、 一次项系数、常数 项分别是 ( )
A. 2, 5, 0 B. 2, -5, 0 C. 2, 5, 1 D. 2, 3,0
3. 下列关于二次函数 y = 2 (x − 4) ² − 5 的说法，正确的是 ( )
A. 对称轴是直线 x=-4 B. 当 x=4 时有最小值-5
C. 顶点坐标是(4, 5) D. 当 x>4 时, y 随 x 的增大而减小
4.关于x 的一元二次方程kx2 + 3x 一1 = 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 ( )
A.k > 一 B. C. D. 且k ≠ 0
5. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，如果它的一个外角. ∠DCE = 62°,,那么∠BOD=( )
A. 124 ° B. 100 ° C. 62 ° D. 31 °
6. 竖直向上的小球离地面的高度 h(米)与时间 t(秒)的关系函数关系式为 ℎ = − 2t2 +
mt + ,若小球经过 秒落地，则小球在上抛过程中，第( )秒离地面最高.
A. B. C. D.
7. 若 x=1 是方程 (m + 3)x² − mx + m² − 12 = 0 的根，则 m 的值为( )
A.3 B. -3 C. ±3 D. 2
8. 如图,已知⊙O 的半径为 5,弦AB, CD 所对的圆心角分别是∠AOB, ∠COD, 若∠AOB 与∠ COD 互补, 弦 AB=8, 则弦 CD 的长为( )
A.6 B. 8 C. 5 2 D. 5 3
9. 如图,正方形 ABCD 中,点 G 为对角线 AC 上一点, AG=AB. ∠CAE=15 °且 AE=AC,连接 GE. 将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转得到线段 AF, 使 DF=GE, 则∠CAF 的度数为( )
A.30 ° B. 45 ° C . 30 °或 60 ° D. 45 °或 60 °
10. 如图，抛物线 y = ax² + bx + c(a ≠ 0),经过(-2, 0) 和(4, 0), 则下列结论中: ①ab c b²,其中正确的结论有( )
A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个
第 5 题 第 8 题 第 9 题 第 10 题
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.
11. 在平面直角坐标系中，点(-3，2)关于原点对称的点的坐标是 .
12．将抛物线 y=-x² 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后，得到的抛物线的解析式 为 .
13．如图，在RtΔAOB 中，上AOB = 30O，将 ΔAOB 绕点 O 逆时针旋转100 O 得到 ΔA' OB' 。
则上A' OB = .
14 已知直角三角形的两条边长分别是方程x2 一14x + 48 = 0 的两个根，则此三角形的第三边 是 .
15..如图, MN 是⊙O 的直径, MN=4, ∠AMN=40 °, 点 B 为弧 AN 的中点,点 P 是直径 MN 上的
一个动点，则.PA+PB 的最小值为 .
第 13 题
第 15 题
三、解答题 (一)：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分.
16.选择适当的方法解下列方程：
(1)x2 — 2x — 143 = 0; 25x + 2 = 3x2.
17.蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，高 度 CD=4m，求半径 OA.
18.如 如图，在平面直角坐标系中， Rt △ ABC的三个顶点分别是
A(-3, 2), B(0, 4),C(0, 2).
将 △ ABC以点 C 为旋转中心旋转 180O, 画出旋转后对应的△
A1B1C；平移 △ ABC ，若点 A 的对应点A2的坐标为(0,-4)画出平 移后对应的△ A2B2C2;
四、解答题 (二)：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分.
19.已知关于 x 的一元二次方程 x2 — (2k + 1)x + 4k — 3 = 0.
C
D
A B
O
(1) 求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当 Rt △ ABC的斜边长 a 为 31 ，且两条直角边的长b 和 c 恰好是这个方程的两个根 时，求△ ABC的周长.
20．九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地， 地上两段围墙. AB 丄CD 于点 O(如图)， 其中AB 上的EO 段 围 墙 空 缺 . 同 学 们 测 得 AE = 6.6m, OE = 1.4m, OB = 6π, OC = 5m, OD = 3m,，班长买来可切断的围栏 16m，准
备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，求该菜地最大面积是多少平方米？
21 ．如图，在△ABC 中， ∠ACB=90° , D 是 AB 的中点， 以 DC 为直径的 Θ O 交△ABC 的边于 G ，F，E 点.
求证：(1)F 是 BC 的中点；
(2)∠A=∠GEF.
五、解答题(三): 本大题共 2 小题, 第 22 题 13 分, 第 23 题 14 分, 共 27 分.
22.中秋节前夕，某蛋糕店购进一种品牌月饼，每盒进价是 60 元，蛋糕店规定每盒售价 不得少于 70 元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒 70 元时，每天可卖出 500 盒， 每盒售价每提高 1 元时，每天要少卖出 20 盒，请解答下列问题：
(1)设每天的销售利润为 y 元，每盒售价提高 x 元(x 为整数)，求出 y 与 x 之间的函数解 析式，当每盒售价定为多少元时，每天销售的总利润最大? 最大利润是多少?
(2)为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高出 78 元，如果蛋糕店 想要每天获得 6000 元的利润，那么蛋糕店每天销售月饼多少盒?
23.已知抛物线 x2 + bx + c与 y 轴交于点 C，与 x 轴的两个交点分别为 A( − 4,)), B(1, 0).
(1) 求抛物线的解析式：
(2) 已知点 P 在抛物线上, 连接 PC, PB, 若 △ PBC是以 BC 为直角边的直角三角形，求 点 P 的坐标；
(3)已知点E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，是否存在以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行 四边形? 若存在，请直接写出点 E 的坐标：若不存在，请说明理由.
备用图
2024-2025 学年度第一学期九年级期中考试
数学参考答案以及评分标准
一、选择题：（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1-5 、ABBDA ，6-10ACACB
二、填空题：（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11、(3,-2) 12 、. y = -x2 - 4x - 3 （也可写成y = -（x + 2）2 + 1 ）
13 、70 ° 14 、10 或27 15 、 2 .
三、解答题 (一)：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分
16 、解：(1)原方程可化为 x2－2x＋1 ＝143＋1，
得(x－1)2 ＝144 ， … … … …1 分
∴x－1 = ±12 ， … … … …2 分
∴x1 ＝13，x2 ＝－11. … … … …3 分
(2)原方程可化为 3x2－5x－2 ＝0 ， … … … …4 分
(3x＋1)(x－2) ＝0 ， … … … …5 分
得 3x＋1 ＝0 或 x－2 ＝0 ， … … … …6 分
∴x1 ＝－，x2 ＝2. … … … …7 分
17、解:“ AB 丄 CD,OC 是半径
: AD = AB = × 16 = 8m … … … …2 分
设圆弧所对应圆的半径为 rm ，
在 Rt △ OAD中 ，根据勾股定理得 ，
OA2 = AD2 + OD2 … … … …3 分
r2 = 82 + (r — 4) 2 … … … …4 分
解得： r = 10… … … …6 分
∴圆弧所对应圆的半径 OA = 10m … … … …7 分
18、【解】 (1) △ A1B1C与 △ A2B2C2即为所作，如图所示. … …2 分
四、解答题 (二)：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分.
19 ．（1）证明： Δ = [﹣（2k+1）]2﹣4（4k﹣3） =4k2﹣ 12k+13
=（2k﹣3）2+4 ． … … … …3 分
∵（2k﹣3）2 ≥0，
∴（2k﹣3）2+4＞0 ，即 Δ >0 ， … … … …5 分
∴无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根 … … … …6 分；
（2）△ABC 的周长为 7+ ． … … … …9 分
20、解：设矩形在射线 OA 上的一段长为 xm … … … …1 分
(1) 当 x ≤ 8 时
当 x = 8 时， T = 46.4, … … … …4 分
(2) 当 x > 8 时.
S = x∗ ( − x) =− x2 + 13.8x = − (x − 6.9)2 + 47.61 …6 分
由于在. x > 8 的范围内, S 均小于 46.4. … … … …7 分
所以由于 (1)(2) 得最大面积为 46.4m² . … … … …9 分
21 、证法一：(1)如图① , 连接 DF.
图① ∵ ∠ACB ＝90° , D 是 AB 的中点，
∴BD＝DC ＝ AB. … … … …3 分
∵DC 是 Θ O 的直径，
∴DF⊥BC. … … … …4 分
∴BF＝FC，即 F 是 BC 的中点． … … … …5 分
(2)∵D ，F 分别是 AB ，BC 的中点，
∴DF∥AC， ∠A = ∠BDF. … … … …7 分
∵ ∠BDF= ∠GEF，
∴∠A = ∠GEF. … … … …9 分
图② 证法二：(1)如图· ② , 连接 DF，DE.
∵DC 是 Θ O 的直径，
∴ ∠DEC = ∠DFC ＝90° . ∵ ∠ECF＝90° ,
∴四边形 DECF 是矩形.
∴EF＝CD，DF＝EC.
∵D 是 AB 的中点， ∠ACB ＝90° ,
∴Rt△DBF≌Rt△EFC(HL) .
故 BF＝FC，即 F 是 BC 的中点.
(2)∵△DBF≌△EFC，
∴ ∠BDF= ∠FEC， ∠B = ∠EFC.
∵ ∠ACB ＝90° , (也可证 AB∥EF，得∠A = ∠FEC) ∴ ∠A = ∠FEC.
∵ ∠FEG = ∠BDF，由(1)可知DF∥AC， ∴ ∠A = ∠BDF. ∴ ∠A = ∠GEF.
五、解答题(三): 本大题共 2 小题, 第 22 题 13 分, 第 23 题 14 分, 共 27 分.
22 、.解：（1））y ＝（70+x﹣60）（500﹣20x） = ﹣20x2+300x+5000
= ﹣20（x﹣7.5）2+6125 ， … … … …4 分
∵﹣20＜0，x 为整数，
∴当 x ＝7 或 8 时，y 最大，最大值为 6120 ， … … … …6 分
∵70+7 ＝77 元或 70+8 ＝78 元.
∴ 每盒售价 定为 77 或 78 元 时 ，每天销售 的利润最大 ，最 大利润是 6120
元； 7分
（2）当 6000 时，﹣20x2+300x+5000 ＝6000，
解得 x1 ＝5，x2 ＝10 ， … … … …9 分
∵每盒售价不得高出 78 元，
∴70+x≤78 ， … … … … 10 分
∴x≤8，
∴x ＝5 ， … … … … 11 分
∴500﹣20×5 ＝400（盒）， … … … … 12 分
∴蛋糕店每天销售月饼 400 盒． … … … … 13 分
23.解： (1) 抛物线的解析式为
即 x + 2; … … …3 分
存在. 当 x = 0, y =− x + 2 = 2, 则 C
∴OC=2,
∵A(-4, 0), B (1, 0),
∴OA=4, OB=1, AB=5, … … … …4 分
当∠PCB=90 °时,
∵AC²=4²+2²=20, BC²=2²+1²=5, AB²=5²=25 ∴ AC² + BC² = AB²,
∴△ACB 是直角三角形, ∠ACB=90 °
∴当点P 与点A 重合时，△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，此时 P 点坐标为(-
4，0), … … … …5 分
当∠PBC=90 °时,PB∥AC,如图 1,设直线AC 的解析式为 y= mx+n,把A(-4,0),
C(0,2)代入得 = 0 ,解得：
∴直线 AC 的解析式为 y = x + 2,…………6 分
∵BP∥AC,
∴直线 BP 的解析式为 y = x + p,把 B(1, 0) 代入得 + p = 0,解得 p =
− , ∴直线 BP 的解析式为 y = x − , … … … …7 分
解方程组： + 2导： 或 ,
此时 P 点坐标为 ( -5, -3);, … … … …8 分
综上所述, 满足条件的 P 点坐标为( -4, 0), P₂ (-5, -3); … … … …9 分
(3) 存在点 E, 设点 E 坐标为(m, 0), . F n − n2 − n + 2
,分三种情况讨论：
①当 AC 为边, CF₁ ∥AE₁, 易知 CF₁=3, 此时 E₁坐标(-7, 0); … … … … 10 分
②当 AC 为边时, AC∥EF, 易知点 F 纵坐标为-2, ∴ − n2 − n + 2 = − 2,
解得 , 得到 F2 , … … … …11 分
根据中点坐标公式得到： = 或 = ,
…………
7 分