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人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数4.3.1 对数的概念教学设计及反思
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数4.3.1 对数的概念教学设计及反思，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1.初步理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．
2.了解指数与对数的内在联系，在概念指导下完成对数计算．
3.通过转化与划归思想方法的运用，培养数学运算和逻辑推理的核心素养.
二、教学重难点
重点：对数的概念的理解．
难点：对数的概念的理解，对数式与指数式互化．
三、教学过程
（一）创设情境
情境：十六世纪末到十七世纪初，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.
299 792.468×31 536 000=？
（光速m/s） （一年s）
数学家们也感慨：“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头疼、更阻碍着计算，这不仅浪费时间，而且容易出错.”
问题：如何简化“大数”的运算呢？…
思考：观察下列各式，你能简化乘法运算吗？
（1）16×64=
（2）256×1024=
答：24×26=24+6=210
28×210=28+10=218
思考：上面的乘法运算是怎样完成的？
答：乘法转换成加法，先把两个数转化为同底数幂，再利用同底数幂的乘法法则来完成.
思考：如何将5×123456789转化为加法呢？
答：2m=5，2n=123456789
思考：满足2m=5的m一定存在吗？为什么？满足2n=123456789的n呢？
答：存在且唯一.
为了体现这种对应关系，英国数学家约翰•纳皮尔创造了“Lgarithm（对数）”一词，直至1624年，开普勒将其简化为“Lg”，经过多次演变现在用“lg”.
m是以2为底的幂5所对应的指数.记作：m=lg25
n=lg2123456789.
应用本小节对数的概念的相关知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了，让我们一起探究吧．
设计意图：通过初中所学及实例，引发学生的思考，大胆猜想，使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究对数的概念.
探究：你能通过上述情境归纳出对数的概念吗？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：一般地，如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
例如：1.11x=2 ⟹ x=lg1.112 读作：x就是以1.11为底2的对数；
42=16 2=lg416 读作：以4为底16的对数是2．
探究：阅读教科书“对数的概念”，说说什么是常用对数和自然对数？它们如何表示？
师生活动：独自思考，并汇报交流.
总结：常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数，并把lg10N记做lg N．
自然对数：以无理数e =2.71828…为底的对数，称为自然对数，并把lgeN记做ln N．
设计意图：通过实例，让学生感知、了解，进而概括出对数的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力.
任务2：探究对数与指数的关系.
探究：底数a、指数x（对数）、幂N（真数）有什么关系?如何表达？
答：当a >0，且a≠1时，ax=N ⇔ x=lgaN，指数与对数互化．
任务3：探究对数的性质.
对数的基本性质：①负数和零没有对数；
②lga1=0a>0，且a≠1;
③lgaa=1a>0，且a≠1;
探究：你能利用对数与指数间的关系论证上述结论吗？
答：利用对数与指数间的关系证明两个结论.
因为ax=N(a>0且a≠1)，由指数函数的性质可知：N>0，所以负数和0没有对数.（真数N一定为正数）
因为a0=1，所以lga1=0；因为a1=a，所以lgaa=1.
设lga1=x，则有ax=1=a0，所以x = 0，即lga1=0.
设lgaa=x，则有ax=a=a1，所以x = 1，即lgaa=1.
思考：lgaax=? algaN=？
答：设lgaax=m⟺am=ax，则有m = x，所以lgaax = x.
设lgaN=t⟺at=N，则有algaN=at=N.
结论： lgaax=x， algaN=N.
设计意图：通过思考进一步使学生熟练掌握指对互化的流程与技巧以及对数的性质，教会学生解决和研究问题，培养学生观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展．
（三）应用举例
例1 将下列指数形式化为对数形式，对数形式化为指数形式：
（1）54＝625；（2）2-6＝164；（3）13m=5.73；
（4）lg1216=−4；（5）lg 0.01=−2；（6）ln 10=2.303
答：(1)解：(1) 由54＝625，可得lg5625＝4
(2)由2-6＝164，可得lg264=−6
(3)由13m=5.73，可得lg135.73=m
(4)由lg1216=4，可得12−4=16
(5)由lg0.01＝-2，可得10-2＝0.01；
(6)由ln10＝2.303，可得e2.303＝10.
例2 求下列各式中的x的值.
(1)lg64x=−23；(2)lgx8=6；(3)lg100＝x；(4)-lne2=x
解：(1)因为lg64x=−23，所以x=64−23=43−23=4−2=116
(2)因为lgx8=6，所以x6=8，又x>0，所以x=816=2316=212=2
(3)因为lg100＝x，所以10x=100，10x=102 ，于是x=2
(4)因为-lne2=x，所以lne2=−x，e2=e−x，于是x=−2
总结：指数式与对数式互化的方法：
1.将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式.
2.将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
例3 在对数式b=lg(a−3)(5−a)中，实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞，3)∪(5，+∞)B．(3，5) C．(3，4) D．(3，4)⋃(4，5)
解：要使对数式b=lg(a−3)(5−a)有意义，
需满足a−3>0a−3≠15−a>0，
解得3所以实数a的取值范围是(3，4)⋃(4，5)．
总结：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.
例4 求下列各式中x的值
lg3(lg x)＝1； (2) ln[lg2(lg x)]＝0.
解：(1)∵lg3(lg x)＝1，
∴lg x=3，
∴x=103=1000.
(2)∵ln[lg2(lgx)]＝0，
∴lg2lgx＝1，
∴lgx=2,
∴x=102=100.
例5 以下四个结论，其中正确的是()
A、lg(lg10)＝1 B、lg(lne)=0
C、若e＝lnx，则x=e2 D、ln(lg1)=0
解：因为 lg(lg10)=lg1=0，所以A错误；
lg(lne)=lg1=0，B正确；
若e=lnx，则x=ee，故C错误；
lg1=0，而ln0没有意义，故D错误.
总结：1.利用对数性质求解的2类问题的解法
（1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值.
（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg”后再求解.
2.性质 algaN=N与lgaab=b的作用
（1） algaN=N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式.
（2）lgaab=lgaax=? algaN=？
b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数.
设计意图：通过实例，让学生感知、了解对数的概念，进而会进行对数式与指数式的互化，提高学生用对数的性质思考并解决问题的能力．
课堂练习
1.若lnx=6，lny=3，则xy等于( )
A. 1e3B. 1e2C. e2D. e3
解：因为lnx=6，lny=3，
所以x=e6，y=e3，所以xy=e6e3=e3．
故选：D．
2.已知2a=3，lg45=b，则8a−2b= ．
解：由题意，2a=3，lg45=b，
∴4b=5，
故8a−2b=8a÷82b=23a÷43b=33÷53=27125．
故答案为：27125．
3.设m，n是方程(lgx)2−lg x−1=0的两个实根，则mn= ．
解：由方程(lgx)2−lg x−1=0得2(lgx)2−lgx−2=0，x>0，
令t=lgx，得方程2t2−t−2=0，
因为m，n是方程(lgx)2−lg x−1=0的两个实根，
所以lgm,lgn是关于t的方程2t2−t−2=0的两根，
Δ=1−4×2×(−2)=17>0，
则有lgm+lgn=12=lgmn，解得mn= 10．
故答案为： 10．
4.若xex=1，lny−ey=1，则xy=( )
A. 3 B. e C. 1e D. 1
解：由lny−ey=1，可得lnye=ey，则yelnye=1，
令t=lnye，则tet=1．
又因为y=xex在(0,+∞)上单调递增，
所以t=x，即y=ex+1，
则xy=xex+1=e．
故选B．
5.已知函数fx=b+2a−12x−aa>0的图象关于坐标原点对称，则ab= ．
解：依题意函数 fx 是一个奇函数，
又 2x−a≠0 ，所以 x≠lg2a ，
所以 fx 定义域为 x|x≠lg2a ，
因为 fx 的图象关于坐标原点对称，所以 lg2a=0 ，解得 a=1 ．
又 f−x=−fx ，所以 b+12−x−1=−b+12x−1 ，
所以 b−2x2x−1=−b+12x−1 ，即 2b=2x2x−1−12x−1=2x−12x−1=1 ，
所以 b=12 ，所以 ab=12 ．
故答案为： 12 ．
6.已知函数y=fx的表达式为fx=3⋅2x−1，若对于任意x1∈0,1，都存在x2∈0,1，使得fx1+fx2+m=10成立，则实数m 的取值范围是 ．
解： fx=3⋅2x−1 在R 上单调递增，
当 x∈0,1 时， fxmin=f0=2 ， fxmax=f1=5 ，
fx1+fx2+m=10 ， x1∈0,1 ，即 10−fx1∈5,8 ，
故 5,8 是 fx2+m 值域的子集，故 3⋅2m−1⩽53⋅2m+1−1⩾8 ，解得 lg23−1≤m≤1 ．
故答案为： lg23−1,1 ．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固指对互换、对数及对数方程的相关知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
一、教学目标
1.初步理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．
2.了解指数与对数的内在联系，在概念指导下完成对数计算．
3.通过转化与划归思想方法的运用，培养数学运算和逻辑推理的核心素养.
二、教学重难点
重点：对数的概念的理解．
难点：对数的概念的理解，对数式与指数式互化．
三、教学过程
（一）创设情境
情境：十六世纪末到十七世纪初，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.
299 792.468×31 536 000=？
（光速m/s） （一年s）
数学家们也感慨：“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头疼、更阻碍着计算，这不仅浪费时间，而且容易出错.”
问题：如何简化“大数”的运算呢？…
思考：观察下列各式，你能简化乘法运算吗？
（1）16×64=
（2）256×1024=
答：24×26=24+6=210
28×210=28+10=218
思考：上面的乘法运算是怎样完成的？
答：乘法转换成加法，先把两个数转化为同底数幂，再利用同底数幂的乘法法则来完成.
思考：如何将5×123456789转化为加法呢？
答：2m=5，2n=123456789
思考：满足2m=5的m一定存在吗？为什么？满足2n=123456789的n呢？
答：存在且唯一.
为了体现这种对应关系，英国数学家约翰•纳皮尔创造了“Lgarithm（对数）”一词，直至1624年，开普勒将其简化为“Lg”，经过多次演变现在用“lg”.
m是以2为底的幂5所对应的指数.记作：m=lg25
n=lg2123456789.
应用本小节对数的概念的相关知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了，让我们一起探究吧．
设计意图：通过初中所学及实例，引发学生的思考，大胆猜想，使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究对数的概念.
探究：你能通过上述情境归纳出对数的概念吗？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：一般地，如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
例如：1.11x=2 ⟹ x=lg1.112 读作：x就是以1.11为底2的对数；
42=16 2=lg416 读作：以4为底16的对数是2．
探究：阅读教科书“对数的概念”，说说什么是常用对数和自然对数？它们如何表示？
师生活动：独自思考，并汇报交流.
总结：常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数，并把lg10N记做lg N．
自然对数：以无理数e =2.71828…为底的对数，称为自然对数，并把lgeN记做ln N．
设计意图：通过实例，让学生感知、了解，进而概括出对数的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力.
任务2：探究对数与指数的关系.
探究：底数a、指数x（对数）、幂N（真数）有什么关系?如何表达？
答：当a >0，且a≠1时，ax=N ⇔ x=lgaN，指数与对数互化．
任务3：探究对数的性质.
对数的基本性质：①负数和零没有对数；
②lga1=0a>0，且a≠1;
③lgaa=1a>0，且a≠1;
探究：你能利用对数与指数间的关系论证上述结论吗？
答：利用对数与指数间的关系证明两个结论.
因为ax=N(a>0且a≠1)，由指数函数的性质可知：N>0，所以负数和0没有对数.（真数N一定为正数）
因为a0=1，所以lga1=0；因为a1=a，所以lgaa=1.
设lga1=x，则有ax=1=a0，所以x = 0，即lga1=0.
设lgaa=x，则有ax=a=a1，所以x = 1，即lgaa=1.
思考：lgaax=? algaN=？
答：设lgaax=m⟺am=ax，则有m = x，所以lgaax = x.
设lgaN=t⟺at=N，则有algaN=at=N.
结论： lgaax=x， algaN=N.
设计意图：通过思考进一步使学生熟练掌握指对互化的流程与技巧以及对数的性质，教会学生解决和研究问题，培养学生观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展．
（三）应用举例
例1 将下列指数形式化为对数形式，对数形式化为指数形式：
（1）54＝625；（2）2-6＝164；（3）13m=5.73；
（4）lg1216=−4；（5）lg 0.01=−2；（6）ln 10=2.303
答：(1)解：(1) 由54＝625，可得lg5625＝4
(2)由2-6＝164，可得lg264=−6
(3)由13m=5.73，可得lg135.73=m
(4)由lg1216=4，可得12−4=16
(5)由lg0.01＝-2，可得10-2＝0.01；
(6)由ln10＝2.303，可得e2.303＝10.
例2 求下列各式中的x的值.
(1)lg64x=−23；(2)lgx8=6；(3)lg100＝x；(4)-lne2=x
解：(1)因为lg64x=−23，所以x=64−23=43−23=4−2=116
(2)因为lgx8=6，所以x6=8，又x>0，所以x=816=2316=212=2
(3)因为lg100＝x，所以10x=100，10x=102 ，于是x=2
(4)因为-lne2=x，所以lne2=−x，e2=e−x，于是x=−2
总结：指数式与对数式互化的方法：
1.将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式.
2.将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
例3 在对数式b=lg(a−3)(5−a)中，实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞，3)∪(5，+∞)B．(3，5) C．(3，4) D．(3，4)⋃(4，5)
解：要使对数式b=lg(a−3)(5−a)有意义，
需满足a−3>0a−3≠15−a>0，
解得3
总结：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.
例4 求下列各式中x的值
lg3(lg x)＝1； (2) ln[lg2(lg x)]＝0.
解：(1)∵lg3(lg x)＝1，
∴lg x=3，
∴x=103=1000.
(2)∵ln[lg2(lgx)]＝0，
∴lg2lgx＝1，
∴lgx=2,
∴x=102=100.
例5 以下四个结论，其中正确的是()
A、lg(lg10)＝1 B、lg(lne)=0
C、若e＝lnx，则x=e2 D、ln(lg1)=0
解：因为 lg(lg10)=lg1=0，所以A错误；
lg(lne)=lg1=0，B正确；
若e=lnx，则x=ee，故C错误；
lg1=0，而ln0没有意义，故D错误.
总结：1.利用对数性质求解的2类问题的解法
（1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值.
（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg”后再求解.
2.性质 algaN=N与lgaab=b的作用
（1） algaN=N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式.
（2）lgaab=lgaax=? algaN=？
b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数.
设计意图：通过实例，让学生感知、了解对数的概念，进而会进行对数式与指数式的互化，提高学生用对数的性质思考并解决问题的能力．
课堂练习
1.若lnx=6，lny=3，则xy等于( )
A. 1e3B. 1e2C. e2D. e3
解：因为lnx=6，lny=3，
所以x=e6，y=e3，所以xy=e6e3=e3．
故选：D．
2.已知2a=3，lg45=b，则8a−2b= ．
解：由题意，2a=3，lg45=b，
∴4b=5，
故8a−2b=8a÷82b=23a÷43b=33÷53=27125．
故答案为：27125．
3.设m，n是方程(lgx)2−lg x−1=0的两个实根，则mn= ．
解：由方程(lgx)2−lg x−1=0得2(lgx)2−lgx−2=0，x>0，
令t=lgx，得方程2t2−t−2=0，
因为m，n是方程(lgx)2−lg x−1=0的两个实根，
所以lgm,lgn是关于t的方程2t2−t−2=0的两根，
Δ=1−4×2×(−2)=17>0，
则有lgm+lgn=12=lgmn，解得mn= 10．
故答案为： 10．
4.若xex=1，lny−ey=1，则xy=( )
A. 3 B. e C. 1e D. 1
解：由lny−ey=1，可得lnye=ey，则yelnye=1，
令t=lnye，则tet=1．
又因为y=xex在(0,+∞)上单调递增，
所以t=x，即y=ex+1，
则xy=xex+1=e．
故选B．
5.已知函数fx=b+2a−12x−aa>0的图象关于坐标原点对称，则ab= ．
解：依题意函数 fx 是一个奇函数，
又 2x−a≠0 ，所以 x≠lg2a ，
所以 fx 定义域为 x|x≠lg2a ，
因为 fx 的图象关于坐标原点对称，所以 lg2a=0 ，解得 a=1 ．
又 f−x=−fx ，所以 b+12−x−1=−b+12x−1 ，
所以 b−2x2x−1=−b+12x−1 ，即 2b=2x2x−1−12x−1=2x−12x−1=1 ，
所以 b=12 ，所以 ab=12 ．
故答案为： 12 ．
6.已知函数y=fx的表达式为fx=3⋅2x−1，若对于任意x1∈0,1，都存在x2∈0,1，使得fx1+fx2+m=10成立，则实数m 的取值范围是 ．
解： fx=3⋅2x−1 在R 上单调递增，
当 x∈0,1 时， fxmin=f0=2 ， fxmax=f1=5 ，
fx1+fx2+m=10 ， x1∈0,1 ，即 10−fx1∈5,8 ，
故 5,8 是 fx2+m 值域的子集，故 3⋅2m−1⩽53⋅2m+1−1⩾8 ，解得 lg23−1≤m≤1 ．
故答案为： lg23−1,1 ．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固指对互换、对数及对数方程的相关知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
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