2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题43直线的方程(新高考专用)(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题43直线的方程(新高考专用)(原卷版+解析)，共47页。

【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】直线的倾斜角与斜率4
【考点2】求直线的方程5
【考点3】直线方程的综合应用6
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】9
【培优篇】9
考试要求：
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量eq \(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq \f(y,x).
3.直线方程的五种形式
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
5．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
二、填空题
6．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
考点突破
【考点1】直线的倾斜角与斜率
一、单选题
1．（2022·贵州毕节·三模）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．直线与圆相交
C．当直线平分圆时，D．当点到直线距离最大值时，
4．（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．当时，
C．当时，D．，使得
三、填空题
5．（2023·江苏·模拟预测）设，直线，直线，记分别过定点，且与的交点为，则的最大值为 .
6．（2022高二·全国·专题练习）已知两点、，给出下列曲线方程：①；②；③；④．则曲线上存在点P满足的方程的序号是 ．
反思提升：
(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.
(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性.
【考点2】求直线的方程
一、单选题
1．（2023·江苏淮安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线通过原点，是的一个法向量，则直线倾斜角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
3．（2023·浙江宁波·一模）已知直线 ：与圆 ：相交于两点，与两坐标轴分别交于两点，记的面积为，的面积为，则（ ）
A．B．存在，使C．D．存在，使
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C：，直线l：（），则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D．圆C与圆恰有两条公切线
三、填空题
5．（2024·天津河东·一模）已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为 .
6．（2023·江西南昌·一模）函数在x＝1处的切线平行于直线x－y－1＝0，则切线在y轴上的截距为 ．
反思提升：
(1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.
(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.
【考点3】直线方程的综合应用
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于 、两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C：，直线l：（），则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D．圆C与圆恰有两条公切线
4．（2021·江苏常州·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递减，上单调递增
B．的最小值为，没有最大值
C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称
D．方程的实根个数为2
三、填空题
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 .
6．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
反思提升：
1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).
2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.
3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2024·山东青岛·二模）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ）
A．3B．C．5D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆相交
C．若，直线被圆截得的弦长为
D．若直线与直线垂直，则
6．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线l与圆C相交
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．点C到直线l的距离的最大值是
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为
7．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
三、填空题
8．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 .
9．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为 .
10．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 .
四、解答题
11．（23-24高二上·山东德州·期中）已知直线：和直线：，其中m为实数．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．
12．（2024·陕西西安·二模）解答下列问题.
(1)已知直线与直线相交，交点坐标为，求的值；
(2)已知直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程.
【能力篇】
一、单选题
1．（2022·四川南充·三模）设O为坐标原点，点，动点P在抛物线上，且位于第二象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点到的距离比到轴的距离大2
B．点到直线的最小距离为
C．以为直径的圆与轴相切
D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形
三、填空题
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 .
四、解答题
4．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为F，点为C上一点．
(1)求直线的斜率；
(2)经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线的距离为，求以线段为直径的圆的标准方程．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知过原点的直线与双曲线交于两点，点在第一象限且与点关于轴对称，，直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·河南信阳·模拟预测）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ）
A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
B．函数是圆的一个太极函数；
C．存在圆，使得是圆的太极函数；
D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数．
三、填空题
3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）正三棱柱内切球（球与上下底面和侧面都相切）的半径是为棱上一点，若二面角为，则平面截内切球所得截面面积为
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
α
0
0<αeq \f(π,2)
eq \f(π,2)<α<π
k
0
k>0
不存在
k<0
专题43 直线的方程（新高考专用）
目录
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】7
【考点1】直线的倾斜角与斜率7
【考点2】求直线的方程12
【考点3】直线方程的综合应用16
【分层检测】21
【基础篇】21
【能力篇】29
【培优篇】33
考试要求：
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量eq \(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq \f(y,x).
3.直线方程的五种形式
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
5．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
二、填空题
6．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，AB的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，AB的最小，
此时.
故选：C
2．C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定，则，且，
可知，即，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
可知任意两点间距离最大值；
阴影部分面积.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
3．D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
4．C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，
，此时.

故选：C
5．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

6．45/0.8
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即或，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
考点突破
【考点1】直线的倾斜角与斜率
一、单选题
1．（2022·贵州毕节·三模）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．直线与圆相交
C．当直线平分圆时，D．当点到直线距离最大值时，
4．（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．当时，
C．当时，D．，使得
三、填空题
5．（2023·江苏·模拟预测）设，直线，直线，记分别过定点，且与的交点为，则的最大值为 .
6．（2022高二·全国·专题练习）已知两点、，给出下列曲线方程：①；②；③；④．则曲线上存在点P满足的方程的序号是 ．
参考答案：
1．D
【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过；由曲线方程可确定图形，采用数形结合的方式可确定直线斜率的取值范围，由此可构造不等式求得的取值范围.
【详解】由得：，
令，解得：，直线恒过定点；
由得：，
由此可得曲线的图形如下图所示，
由图形可知：当直线过点时，直线斜率为，
若直线与曲线有两个不同交点，则直线斜率的取值范围为，
即，解得：，即实数的取值范围为.
故选：D.
2．C
【分析】根据题意可知直线恒过定点，根据斜率公式结合图象分析求解.
【详解】因为直线恒过定点，如图.
又因为，，所以直线的斜率k的范围为.
故选：C.
3．ACD
【分析】对于A，将直线方程变形即可进一步判断；对于B，举反例即可判断；对于C，将圆心坐标代入直线方程即可验算参数；对于D，当点到直线距离最大值时，有，结合它们的斜率关系即可判断.
【详解】对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，圆的圆心、半径为，
点到直线的距离为，
从而，
取，则此时有，故B错误；
对于C，当直线平分圆时，有点在直线上，
也就是说有成立，解得，故C正确；
对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当，
而的斜率为，
所以当等号成立时有，解得，故D正确.
故选：ACD.
4．AB
【分析】对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：根据空集的定义结合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解.
【详解】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线，
可知表示直线上所有的点，
所以，故A正确；
对于选项B：当时，则，，
联立方程，解得，所以，B正确；
对于选项C：当时，则有：
若，则；
若，可知直线与直线平行，且，
可得，解得；
综上所述：或，故C错误；
对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误．
故选：AB．
5．4
【分析】根据题意得到直线恒过定点，直线恒过定点，以及直线与的斜率，得到，求得，结合，即可求解.
【详解】由直线，可化为，可直线恒过定点，
直线，可化为，可得直线恒过定点，
又由直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以，
因为与的交点为，所以，
又由，所以，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
6．②③/
【分析】首先可根据得出点P在线段的中垂线上，然后求出线段的中垂线方程为，最后依次判断四个曲线是否与有交点即可得出结果.
【详解】因为点P满足，所以点P在线段的中垂线上，
线段中点坐标为 ，，中垂线的斜率，
故线段的中垂线方程为，即，
因为曲线上存在点P满足，所以曲线与有交点，
对于①：与，平行，故不满足题意；
对于②：圆的圆心为，半径为，
圆心到的距离，
故圆与相交，满足题意；
对于③：联立，整理得，方程有解，满足题意；
对于④：联立，整理得0=1，不成立，故不满足题意.
故答案为：②③.
反思提升：
(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.
(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性.
【考点2】求直线的方程
一、单选题
1．（2023·江苏淮安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线通过原点，是的一个法向量，则直线倾斜角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
3．（2023·浙江宁波·一模）已知直线 ：与圆 ：相交于两点，与两坐标轴分别交于两点，记的面积为，的面积为，则（ ）
A．B．存在，使C．D．存在，使
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C：，直线l：（），则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D．圆C与圆恰有两条公切线
三、填空题
5．（2024·天津河东·一模）已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为 .
6．（2023·江西南昌·一模）函数在x＝1处的切线平行于直线x－y－1＝0，则切线在y轴上的截距为 ．
参考答案：
1．A
【分析】设直线的倾斜角为，依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】因为直线通过原点，是的一个法向量，
所以直线的方程为，设直线的倾斜角为，则，
又且，解得.
故选：A
2．B
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式得直线方程，令即可求解.
【详解】由得，所以直线的斜率，
又f1=0，所以直线的方程为，令，得，即在轴上的截距为.
故选：B
3．ABC
【分析】运用数形结合思想，结合面积公式和点到直线距离，两点间距离，直线与圆弦长公式即可.
【详解】A.直线 ：，
当 时， ，
当 时，，
所以 ，
因为圆心为，
所以圆心到直线的距离 ，
所以根据直线被圆截得的弦长公式有，
解得，
所以，
当且仅当即，即，
解得时取得等号.
所以，故A正确.
B.直线 ：，
当 时， ；
当 时，，
所以

当 时，，故B正确.
C.直线 ：过定点 在圆内，
因为圆 ：，圆心为，
所以圆心到直线的距离
因为，
当且仅当时， ,所以被截得的弦长最短，
所以.故C正确.
D.要使，则与重合，
此时的直线方程为不过定点，
故D错.
故选:ABC.
4．ACD
【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，直线的方程为，由，得，
直线过定点，A正确；
对于B，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B错误；
对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为，
而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，C正确；
对于D，圆化为，
圆的圆心为，半径为4，
两圆圆心距为，
两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确.
故选：ACD.
5．18
【分析】确定直线的方程，根据直线和圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列式求解，即得答案.
【详解】由题意知过点的直线（不过原点）在轴、轴上的截距相等，
设该直线方程为，将代入得，即直线方程为，
由于该直线与相切，圆心为，半径为，
故，
故答案为：18
6．
【分析】由题意，求得，所以，则，进而求出函数在x＝1处的切线方程，从而得解.
【详解】，由题意，即，
所以，则，
故函数在x＝1处的切线方程为，即，
则切线在y轴上的截距为．
故答案为：．
反思提升：
(1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.
(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.
【考点3】直线方程的综合应用
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于 、两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C：，直线l：（），则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D．圆C与圆恰有两条公切线
4．（2021·江苏常州·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递减，上单调递增
B．的最小值为，没有最大值
C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称
D．方程的实根个数为2
三、填空题
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 .
6．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
参考答案：
1．B
【分析】设出点A，B的坐标，利用抛物线定义结合已知求出p，再借助斜率坐标公式计算作答.
【详解】设，抛物线的准线为：，
因为线段的中点，则，又，解得，
则抛物线C的方程为：，有，，显然直线l的斜率存在，
所以直线的斜率.
故选：B
2．D
【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案.
【详解】设，变形可得，
则的几何意义为直线的斜率，
圆化为，
所以圆的圆心为，半径为.
因为Px0,y0是圆上任意一点，
所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径，
所以，解得，
即的最大为.
故选:D.
3．ACD
【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，直线的方程为，由，得，
直线过定点，A正确；
对于B，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B错误；
对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为，
而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，C正确；
对于D，圆化为，
圆的圆心为，半径为4，
两圆圆心距为，
两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确.
故选：ACD.
4．ABD
【分析】根据题意画出图形，利用动点到两定点的距离之和的变化可判定A正确；求出最小值，分析无最大值，可判定B正确；由对称性的定义，可判定C不正确；由单调性和函数值的关系，可判定D正确.
【详解】由题意，函数，
可理解为动点到两个定点的距离之和，
如图所示，
当时，随着的增大，越靠近原点时，越小，则越小，
即越小，函数在上单调递减，
当时，随着的增大，越靠近原点时，越大，则越大，
即越大，函数在上单调递增，所以A正确；
当点与点重合时，取得最小值，点越向左远离或向右远离时，越大，无最大值，，即函数有最小值，无最大值，所以B正确；
当点与点重合时，取得最小值，若函数有对称轴，则对称轴的方程为，而，可得，则不是对称轴，
所以存在实数，使得函数的图象关于对称是错误的，所以C不正确；
因为与点重合时，，当时，；当时，；当时，，由在上单调递增，所以存在，使得的实根个数为2，所以D正确.
故选：ABD.
5． 或； .
【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依题意可得，即，
解得或；
直线的方程可化为，所以，
所以，所以直线过定点，
所以，由直线可得：，
若不经过第三象限，则，
故答案为：或；.
6．/
【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求.
【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，

则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有，
连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形，
则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，而，
所以的最小值为=
故答案为：
【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.
（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.
（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.
反思提升：
1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).
2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.
3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2024·山东青岛·二模）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ）
A．3B．C．5D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆相交
C．若，直线被圆截得的弦长为
D．若直线与直线垂直，则
6．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线l与圆C相交
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．点C到直线l的距离的最大值是
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为
7．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
三、填空题
8．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 .
9．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为 .
10．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 .
四、解答题
11．（23-24高二上·山东德州·期中）已知直线：和直线：，其中m为实数．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．
12．（2024·陕西西安·二模）解答下列问题.
(1)已知直线与直线相交，交点坐标为，求的值；
(2)已知直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程.
参考答案：
1．C
【分析】求出定义域，求导，结合基本不等式得到，求出以P为切点的切线的倾斜角取值范围.
【详解】令，解得，故的定义域为，
，当且仅当，即时，等号成立，
故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是.
故选：C
2．B
【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.
【详解】直线l：，
整理得，
由，可得，
故直线恒过点，
点到的距离，
故；
直线l：的斜率，
故，解得
故选：B.
3．A
【分析】由已知可得，抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，再由点到直线的距离公式即可求得距离.
【详解】由，得焦点坐标为，又双曲线渐近线方程为，
即，则由点到直线的距离公式得.
故选：A.
4．D
【分析】由、的方程可得它们都过定点，，然后可得四边形OMPN为矩形，且，然后可求出答案.
【详解】将直线的方程变形得，
由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点，

所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示，
易知，四边形OMPN为矩形，且，
设，，则，
四边形OMPN的面积为，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，四边形OMPN面积的最大值为，
故选：D
5．BC
【分析】利用点斜式可判定A，利用直线过定点结合点与圆的位置关系可判定B，利用弦长公式可判定C，利用直线的位置关系可判定D.
【详解】对于A，直线，即，
则直线恒过定点，故A错误；
对于B，因为，所以定点在圆内部，
所以直线l与圆O相交，故B正确；
对于C，当时，直线，圆心O到直线的距离，
直线l被圆O截得的弦长为，故C正确；
对于D，若直线与直线垂直，则或，故D不正确；
故选：BC.
6．ACD
【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程．
【详解】由，
则，得，即恒过定点，
由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确；
令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误；
点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确，
要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，
所以，可得，故直线为，故D正确．
故选：ACD．
7．ABD
【分析】确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断.
【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为，
由解得，
所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误；
对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为，
将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误；
对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，；
点关于直线的对称点为，
所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确；
对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为，
由解得；点关于直线的对称点为，
将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误.
故选：ABD.


8．150°
【分析】根据两直线垂直和得到直线l的斜率，从而得到l的倾斜角.
【详解】由题意得，直线与直线l垂直，
因为，故l的斜率为，
故l的倾斜角为150°
故答案为：150°
9．或
【分析】先根据焦半径公式求出点坐标，进而可得直线方程.
【详解】设Bx,y，则，则，此时，
所以或，又由已知，
直线AB的方程为或，
整理得或.
故答案为：或.
10．/
【分析】利用数形结合思想可知切点到直线的距离是最小值，从而利用导数来求出切点，再用点到直线的距离公式求出最小值即可.
【详解】
由题意AB的最小值为曲线上点A到直线距离的最小值，
而点A就是曲线与直线相切的切点，因为曲线上其它点到直线的距离都大于AB，
对求导有，由可得，即，
故.
故答案为：.
11．(1)或0
(2)或．
【分析】（1）根据垂直得到方程，求出m的值；
（2）将代入中，解得，设直线l的方程，根据两截距相等得到方程，求出或，得到直线l的方程.
【详解】（1）由题意得，解得或0；
（2）由在直线上，得，解得，可得，
显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为，
令，可得，再令，可得，
所以，解得或，
所以直线l的方程为或，
即或．
12．(1)；
(2)和
【分析】（1）利用直线的交点坐标同时在两直线上解方程组即可得到结果；
（2）分直线的斜率存在与否，不存在时，直接验证即可；存在时利用点斜式设出直线方程，再由点到直线的距离解出斜率，得到直线方程即可.
【详解】（1）由题意得，即解得
；
（2）显然直线：满足条件. 此时，直线的斜率不存在.
当直线的斜率存在时，设，即.
点到直线的距离为，
，即，得，
得直线
综上所述，直线的方程为和
【能力篇】
一、单选题
1．（2022·四川南充·三模）设O为坐标原点，点，动点P在抛物线上，且位于第二象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点到的距离比到轴的距离大2
B．点到直线的最小距离为
C．以为直径的圆与轴相切
D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形
三、填空题
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 .
四、解答题
4．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为F，点为C上一点．
(1)求直线的斜率；
(2)经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线的距离为，求以线段为直径的圆的标准方程．
参考答案：
1．D
【分析】根据给定条件，设出点P的坐标，再求出直线OM的斜率，借助均值不等式求解作答.
【详解】依题意，设点，于是有，
直线OM的斜率，当且仅当，即时取“=”，
直线OM的斜率的取值范围为.
故选：D
2．BC
【分析】由抛物线，可得焦点，准线方程为，设，
.利用抛物线的定义可得，即可判断出正误；
.，利用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，进而判断出正误；
.设的中点为，可得，即可判断出正误；
.，令，可得，，解得，即可判断出正误.
【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为，设，
因为，因此不正确；
因为，则点到直线的距离为，
当时取等号，可得点到直线的最小距离为，因此正确；
设的中点为，则，于是以为直径的圆与轴相切，
因此正确；
，令，则，，解得，
此时，是正三角形，因此不正确．
故选：BC．
3．
【分析】设出点坐标，可得以为直径的圆的方程，与圆方程作差即可得公共弦方程，即可得定点坐标.
【详解】根据题意，为直线：上的动点，设的坐标为，
过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，，
则点、在以为直径的圆上，
又由，，则以为直径的圆的方程为，
变形可得：，
则有，可得：，
变形可得：，即直线的方程为，
则有，解可得，故直线过定点.
故答案为：.
4．(1)
(2)或．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的方程，确定焦点F1,0，再由两点求斜率；
（2）对斜率进行分类讨论，设直线方程，联立抛物线方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，利用根与系数的关系表示出线段的长度，根据点到直线的距离建立等式求出的值，从而确定圆心及半径即可得出标准方程．
【详解】（1）将代入抛物线方程可得，
解得，故F1,0．
所以．
（2）由题意，直线的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在，则原点O到直线l的距离为1，矛盾），
所以设直线的方程为．
联立，化简得，显然，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
，
所以以线段为直径的圆的圆心、半径分别为，．
因为原点O到直线l的距离为，
所以，解得，
所以圆心、半径分别为，，
所以圆的标准方程为或．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知过原点的直线与双曲线交于两点，点在第一象限且与点关于轴对称，，直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·河南信阳·模拟预测）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ）
A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
B．函数是圆的一个太极函数；
C．存在圆，使得是圆的太极函数；
D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数．
三、填空题
3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）正三棱柱内切球（球与上下底面和侧面都相切）的半径是为棱上一点，若二面角为，则平面截内切球所得截面面积为 .
参考答案：
1．A
【分析】设出点的坐标，得点的坐标，求出直线的斜率可得，再由得，又得，根据之间的关系求离心率.
【详解】设，则，
根据可得，
则，
因为，所以，
又，
所以，
故双曲线的离心率.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用直线斜率之间的关系、得到之间的关系.
2．BD
【分析】举出反例判断A；说明的图象关于点成中心对称，结合太极函数定义判断B；说明图象关于对称，不在函数图象上，结合太极函数定义判断C；求出直线过的定点，恰为圆心，即可判断D.
【详解】对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足，

显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误；
对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象，
即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称，
因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确；
对于C，的定义域为，且，
即为奇函数，图象关于对称，

若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上，
因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误；
对于D，直线，即，
由，解得，则直线恒过定点，
显然直线经过圆的圆心，
该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确，
故选：BD
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
3．
【分析】由内切球的半径得正三棱柱的高和底面边长，求球心到平面的距离，勾股定理求截面圆的半径，可得截面面积.
【详解】正三棱柱内切球的半径是，则棱柱的高，
正三角形内切圆的半径是，则，
得，
分别为的中点，则，，，
二面角为，则，
内切圆的圆心为上靠近点的三等分点，内切圆的圆心为上靠近点的三等分点，
为正三棱柱内切球球心，则为的中点，
则，，
，，
由对称性可知，球心到平面的距离等于到直线的距离，
平面中，以为原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
有，，所在直线方程为，即，
则点到直线的距离，即球心到平面的距离，
平面截内切球所得截面圆的半径为，则，
所以截面圆的面积.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
正三棱柱的内切球中，如果内切球的半径为，那么正三棱柱的高为，底面正三角形的边长为，截面圆的半径由球的半径和球心到截面距离利用勾股定理计算
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
α
0
0<αeq \f(π,2)
eq \f(π,2)<α<π
k
0
k>0
不存在
k<0