2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题50抛物线(新高考专用)(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题50抛物线(新高考专用)(原卷版+解析)，共64页。
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】抛物线的定义和标准方程4
【考点2】抛物线的几何性质及应用5
【考点3】直线与抛物线的综合问题7
【分层检测】8
【基础篇】8
【能力篇】10
【培优篇】10
考试要求：
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
知识梳理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，称为抛物线的焦半径.
真题自测
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
二、多选题
2．（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
4．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（ ）
A．直线的斜率为B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
5．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
四、解答题
7．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
考点突破
【考点1】抛物线的定义和标准方程
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过抛物线上的一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则的最小值是（ ）
A．4B．C．6D．
2．（2024·河南南阳·模拟预测）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高三下·河北·开学考试）双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用．在空间直角坐标系中，将一条平面内开口向上的抛物线沿着另一条平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为，则下列说法正确的是（）
A．用平行于平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B．用法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C．用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D．用过原点且法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
4．（23-24高二下·河南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．到直线的距离为2
B．以为圆心，为半径的圆与相切
C．直线斜率的最大值为2
D．若，则的面积为2
三、填空题
5．（2024·北京朝阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线方程为，则 ；设为原点，点在抛物线上，若，则 .
6．（2024·安徽·二模）已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为 ，的面积为 （为坐标原点）．
反思提升：
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【考点2】抛物线的几何性质及应用
一、单选题
1．（2022·江苏·一模）是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则
A．B．32C．D．
2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
二、多选题
3．（2023·广东佛山·二模）如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）
A．B．四边形的面积为100
C．D．的取值范围为
4．（2024·浙江·模拟预测）已知曲线上的点满足：到定点1,0与定直线轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则（ ）
A．若，则曲线的图象为一条抛物线
B．若，则曲线的方程为
C．当时，对于任意的，，都有
D．当时，对于任意的，，都有
三、填空题
5．（22-23高三上·江苏南通·期中）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是 ．
6．（22-23高三上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.
①当时，有；
②当时，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有 .
反思提升：
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
【考点3】直线与抛物线的综合问题
一、解答题
1．（2024·广西南宁·一模）已知曲线．
(1)若点是上的任意一点，直线，判断直线与的位置关系并证明．
(2)若是直线上的动点，直线与相切于点，直线与相切于点．
①试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②若直线与轴分别交于点，证明：．
2．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.
①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；
②求点A到直线的距离的最大值.
3．（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．
4．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2024·浙江·模拟预测）已知点，，，均在抛物线：上，，关于轴对称，直线，关于直线对称，点在直线的上方，直线交轴于点，直线斜率小于2.
(1)求面积的最大值；
(2)记四边形的面积为，的面积为，若，求.
6．（2025·四川巴中·模拟预测）已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为，
①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；
②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程．
反思提升：
1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
2．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2024·河南驻马店·二模）已知点在焦点为的抛物线上，若，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
4．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多选题
5．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，若（O为坐标原点），则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·河北保定·二模）若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖南常德·模拟预测）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A． B．
C．D．
三、填空题
8．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ．
9．（2024·四川成都·模拟预测）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为
10．（2021·青海西宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与双曲线有公共焦点，抛物线Ｍ与双曲线交于，两点，，，三点共线，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
11．（2021·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为,直线:与抛物线交于两点,且(为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:直线恒过定点.
12．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知A，B两点的坐标分别是，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程．
(2)将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知斜率为3的直线l与曲线E有两个不同的交点且满足，求直线l的方程．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·三模）设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（ ）
A．1B．2C．4D．22
二、多选题
2．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（ ）
A．的准线方程为B．周长的最小值为5
C．四边形可能是平行四边形D．的最小值为
三、填空题
3．（2024·广东广州·一模）已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 .
四、解答题
4．（2024·广西来宾·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线MF的斜率为，的面积为4．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为.和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．四边形的面积为
C．D．的取值范围为
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）设点（）是抛物线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，分别交抛物线于点和点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．直线与抛物线相切图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
专题50 抛物线（新高考专用）
目录
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】12
【考点1】抛物线的定义和标准方程12
【考点2】抛物线的几何性质及应用17
【考点3】直线与抛物线的综合问题24
【分层检测】35
【基础篇】35
【能力篇】43
【培优篇】47
考试要求：
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
知识梳理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，称为抛物线的焦半径.
真题自测
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
二、多选题
2．（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
4．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（ ）
A．直线的斜率为B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
5．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
四、解答题
7．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
参考答案：
1．B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2．ABD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
3．AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

4．ACD
【分析】由及抛物线方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得B(p3,−6p3)，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由OA⋅OB