2025年高考数学一轮复习讲义之滚动测试卷01(新高考专用)(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义之滚动测试卷01(新高考专用)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·全国·高考真题）集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高考真题）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）函数（为自然函数的底数）的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·福建福州·模拟预测）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
7．（2024·北京·高考真题）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·河南·三模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．
D．的单调递增区间为
10．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（ ）
A．或
B．
C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
11．（2024·湖北·模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．
C．D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·山东济宁·三模）已知函数，则 .
13．（2024·重庆·模拟预测）已知，若实数m，n满足，则的最小值为
14．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.设的零点为r，取，则r的1次近似值为 ；若为r的n次近似值，设，，数列的前n项积为.若任意，恒成立，则整数的最大值为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （22-23高一上·山东济南·期末）已知集合或，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求a的取值范围.
16. (15分) （23-24高三上·山东威海·期末）在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
17. (15分) （23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明）；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
18. (17分) （2024·湖南长沙·模拟预测）设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.
(1)若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；
(2)对于正整数时，是否有成立？
(3)已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：.
19. (17分) （2024·山东·模拟预测）法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，将其推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理，即如果是关于x的实系数一元n次方程在复数集C内的n个根，则
试运用韦达定理解决下列问题：
(1)已知，，，求的最小值；
(2)已知，关于x的方程有三个实数根，其中至少有一个实效根在区间内，求的最大值
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2025年高考数学一轮复习讲义之滚动测试卷01（新高考专用）
测试范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与基本初等函数
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·全国·高考真题）集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高考真题）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）函数（为自然函数的底数）的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·福建福州·模拟预测）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
7．（2024·北京·高考真题）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·河南·三模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．
D．的单调递增区间为
10．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（ ）
A．或
B．
C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
11．（2024·湖北·模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．
C．D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·山东济宁·三模）已知函数，则 .
13．（2024·重庆·模拟预测）已知，若实数m，n满足，则的最小值为
14．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.设的零点为r，取，则r的1次近似值为 ；若为r的n次近似值，设，，数列的前n项积为.若任意，恒成立，则整数的最大值为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （22-23高一上·山东济南·期末）已知集合或，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求a的取值范围.
16. (15分) （23-24高三上·山东威海·期末）在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
17. (15分) （23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明）；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
18. (17分) （2024·湖南长沙·模拟预测）设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.
(1)若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；
(2)对于正整数时，是否有成立？
(3)已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：.
19. (17分) （2024·山东·模拟预测）法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，将其推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理，即如果是关于x的实系数一元n次方程在复数集C内的n个根，则
试运用韦达定理解决下列问题：
(1)已知，，，求的最小值；
(2)已知，关于x的方程有三个实数根，其中至少有一个实效根在区间内，求的最大值．
参考答案：
1．D
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
2．A
【分析】正向可得，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得或，则必要性不成立.
【详解】若，则，则，故充分性成立；
若，设，则，，
则，或与不一定相等，则必要性不成立，
则“”是“”的充分非必要条件，
故选：A
3．C
【分析】根据奇偶性定义得出为上偶函数，当时，得出，即可得出的单调性，将转化为，求解即可．
【详解】定义域为，，故为上偶函数，
当时，，
因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
整理得，，解得，
故选：C．
4．B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
5．A
【分析】由函数的奇偶性可排除B，C；再由趋近，，排除D，即可得出答案.
【详解】的定义域为，
，
所以为奇函数，故排除B，C；
当趋近，，所以，，
所以，故排除D.
故选：A.
6．C
【分析】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，根据题意列方程，再由对数的运算性质计算可得．
【详解】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，
由题意得：，整理得：，
两边取常用对数得：，即，
即，
所以，即，
所以大约经过时，两位患者体内药品的残余量恰好相等．
故选：C．
7．A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误，
故选：A.
8．B
【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知，结合分析求解即可.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，

设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为，
因为，可得，
由题意可知：均与y轴垂直，且，
作垂足为，则，
因为，即，解得；
又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为，
所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：建系，设动点P的轨迹与y轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.
9．ABC
【分析】根据函数的解析式，求出函数的定义域值域即可判断A、B，求出利用对数运算法则即可求解C，根据复合函数的单调性即可判断D.
【详解】对AB，由，得，则的定义域为，值域为，A，B均正确；
对C，，C正确；
对D，因为，所以，外层函数为增函数，
，令，所以函数定义域为，
内层函数，在上单调递增，上单调递减，
所以的单调递增区间为不是D错误.
故选：ABC
10．ABD
【分析】根据新定义，归纳推理即可判断A，根据A及求和公式化简即可判断B，根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值，建立方程求解正整数可判断CD.
【详解】因为，，所以，
，依次类推，可得，故A正确；
由A选项知，，故B正确；
当时，的对称轴，
所以在区间上单调递减，故当时，，方程无整数解，故C错误；
当时，的对称轴，
所以当时，，解得，故D正确.
故选：ABD
11．AC
【分析】对于A：由可设，根据题意分析可得，，即可得结果；对于C：结合奇偶性可得函数的周期，结合周期性分析求解；对于B：分析可知，根据周期性分析求解；对于D：结合选项BC中的结论运算求解.
【详解】对于选项A：因为，则，
可得，
又因为，可得.
令，可得，解得，
可得，所以函数的图象关于直线对称，A正确；
对于选项C：因为为奇函数，
可知的图象关于点对称，且，
令，可得，即；
令，可得；
令，可得；
由函数的图象关于直线对称，可得；
所以，
又因为，则，
可知函数的周期，
所以，故C正确；
对于选项B：由AC可知，
可得，，
所以，故B错误；
对于选项D：可得，故D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
12．
【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求即可.
【详解】因为，所以.
所以.
故答案为：.
13．4
【分析】利用导数求解函数单调性，由得，即可利用不等式求解最值.
【详解】由可得，故在单调递增，
而，
故得，
，当且仅当，即时取等号，
故答案为：4
14． 3 1
【分析】利用给定定义，整理出，求值解决第一空即可，利用求出，进而得到，再确定的最大值即可.
【详解】易知，设切点为，
由切线几何意义得斜率为，故切线方程为，
由给定定义知在该直线上，代入直线得，
当时，易知，故的1次近似值为，
由得，，
，
而函数的零点为，且，
故在上单调递增，且，，
故，由零点存在性定理得，
由题意得，故，而是整数，故，
故答案为：3；1
【点睛】关键点点睛：本题考查数列和导数新定义，解题关键是利用给定定义，然后表示出，求出，得到所要求的参数最值即可．
15．(1)或；
(2).
【分析】（1）化简，根据并集的概念可求出结果；
（2）转化为是的真子集，再根据真子集关系列式可求出结果.
【详解】（1）当时，或，
由，得，所以，
所以或.
（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，
故，解得.
16．(1)
(2)24
【分析】（1）根据向量数量积公式及面积公式求出角A即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式求出最值即得解.
【详解】（1）因为，所以，
可得， 因为，所以.
（2）由余弦定理可知，即，
因为，所以，
所以，可得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
17．(1)
(2)在，上单调递减.
(3)
【分析】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.
（2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性.
（3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.
【详解】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，
函数为奇函数，所以，
即在上恒成立，即，（舍），
当时，，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，
此时，函数定义域为，
，函数为奇函数，满足，
综上所述：；
（2）在和上单调递减，证明如下：
，定义域为，
设，且，
则
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递减，
同理可证，所以在上单调递减；
所以在，上单调递减.
（3）函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
时，，所以当时的值域，
又，
设，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，所以，解得，即.
18．(1)
(2)成立
(3)证明见解析
【分析】（1）利用展开计算，根据切比雪夫多项式可求得；（2）要证原等式成立，只需证明成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立；
（3）由已知可得方程在区间上有3个不同的实根，令，结合（1）可是，可得，计算可得结论.
【详解】（1）依题意，
，
因此，即，则，
（2）成立.
这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式.
首先有如下两个式子：
，
，
两式相加得，，
将替换为，所以.
所以对于正整数时，有成立.
（3）函数在区间上有3个不同的零点，
即方程在区间上有3个不同的实根，
令，由知，而，则或或，
于是，
则，
而，
所以.
19．(1)
(2)4
【分析】（1）构造函数求导，根据函数的单调性求解极值，即可得，进而可求解，
（2）根据韦达定理可得，即可表达出，进而化简可得，即可根据，利用不等式求解.
【详解】（1）根据韦达定理可设是的三个实数根，
令，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
故的极大值为极小值为
由于不可能相等，否则，与矛盾，
故有两个或者三个零点，则且，故，
由，结合，，
所以
由，
所以，
则，
故的最小值为，
（2）设方程的三个实数根分别为，其中，
由韦达定理可得，
由和，得，当且仅当时等号成立，
又，故，
，即，
由，得，
因此，当且仅当时等号成立，
由和可得，
结合可得，
由于以及，
故，
当时，且时等号成立，此时，符合，
综上可知的最大值为4，
【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：
（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.
（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.
（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.