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备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题24平面向量的数量积6题型分类(原卷版+解析)
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这是一份备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题24平面向量的数量积6题型分类(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了向量的夹角，平面向量的数量积，平面向量数量积的几何意义，向量数量积的运算律，平面向量数量积的有关结论，平面向量数量积运算的常用公式，有关向量夹角的两个结论等内容，欢迎下载使用。
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
6．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
7．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
一、单选题
1．（2024高三上·吉林四平·期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
2．（2024高一下·天津西青·阶段练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
3．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（ ）
A．1B．12C．或2D．或1
4．（2024·广东·模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·山东济宁·二模）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
6．（2024·吉林长春·模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·湖北·模拟预测）已知平面向量，，满足，，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·安徽·三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．3
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且恰好可在内任意旋转，则当时，（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·河南安阳·三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．1
13．（2024·全国）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024·全国）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
15．（2024高二上·江西九江·开学考试）在中，，，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·全国）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2024·山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2024·北京）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·全国）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
20．（2024·浙江）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A．B．C．2D．
21．（2024·全国）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·全国）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·吉林·二模）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（ ）
A．B．C．D．
24．（2024高三上·湖南·阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
25．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（ ）
A．1B．3C．2D．
26．（2024高三上·辽宁·阶段练习）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
27．（2024·福建漳州·模拟预测）已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ）
A．B．
C．D．
28．（2024·辽宁沈阳·一模）已知单位向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
29．（2024高三上·江西抚州·阶段练习）已知非零向量，满足，，则的最大值为
A．B．C．D．5
30．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
31．（2024高三下·陕西·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点），与轴交于点，若，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
32．（2024·全国）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
33．（2024·江苏连云港·模拟预测）设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则不与垂直D．不与垂直
三、填空题
34．（2024·上海杨浦·模拟预测）若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角 .
35．（2024·上海长宁·三模）已知是同一个平面上的向量，若，且，则 .
36．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为 .
37．（2024·山东·二模）已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为 （写出一个符合要求的答案即可）
38．（2024·全国）已知向量，满足，，则 ．
39．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为 ．
40．（2024高三下·广西·阶段练习）已知，，若，则 ．
41．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为 .
42．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是 .
43．（2024·四川巴中·模拟预测）已知向量，若，则 .
44．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若 ，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
45．（2024高三上·江西宜春·期末）设非零向量，的夹角为．若，且，则 ．
46．（2024·海南海口·模拟预测）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为 ．
47．（2024·全国·模拟预测）向量，且，则实数 ．
48．（2024·海南海口·模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标： .
49．（2024·河南开封·三模）已知向量，，若，则 .
50．（2024·浙江）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为
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几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
（一）
平面向量数量积的基本运算
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
题型1：平面向量数量积的基本运算
1-1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
1-2．（2024·北京）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
； .
1-3．（2024·全国）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
1-4．（2024·湖南长沙·二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
1-5．（2024·天津）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
1-6．（2024·全国·一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 .
（二）
平面向量数量积的应用
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
题型2：向量的模
2-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则 .
2-2．（2024高三上·海南·期末）已知向量，满足，，，则 ．
2-3．（2024·四川南充·二模）已知为单位向量，且满足，则 .
2-4．（2024·河南郑州·模拟预测）已知平面向量满足,且，则= ．
题型3：向量的垂直
3-1．（2024·全国）设向量，若，则 .
3-2．（2024·河南开封·模拟预测）已知向量，若，则 ．
3-3．（2024·江西赣州·一模）已知向量，.若，则实数的值为 .
3-4．（2024高三下·江西南昌·开学考试）已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数 ．
3-5．（2024高三·全国·专题练习）非零向量，，若，则 .
题型4：向量的夹角
4-1．（2024·河南驻马店·二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为 ．
4-2．（2024高三·广东·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为 .
4-3．（2024高三下·重庆·阶段练习）已知向量和满足：，，，则与的夹角为 ．
4-4．（2024·四川·模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为 ．
4-5．（2024·浙江）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
4-6．（2024·天津）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
题型5：向量的投影
5-1．（2024·全国·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为 .
5-2．（2024高三下·上海宝山·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 .
5-3．（2024高一下·山东泰安·期中）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是 ．
5-4．（2024高三上·云南昆明·开学考试）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为 .
5-5．（2024·上海虹口·三模）已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数 ．
（三）
平面向量的实际应用
用向量方法解决实际问题的步骤
题型6：平面向量的实际应用
6-1．（2024高三上·安徽合肥·开学考试）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为 牛顿.
6-2．（2024高三上·福建泉州·期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为 .
6-3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
专题24 平面向量的数量积6题型分类
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
6．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
7．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
一、单选题
1．（2024高三上·吉林四平·期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
【答案】B
【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.
【详解】`
由，且与的夹角为，
所以
.
故选：B.
2．（2024高一下·天津西青·阶段练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
【答案】A
【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.
【详解】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
3．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（ ）
A．1B．12C．或2D．或1
【答案】D
【分析】由题意结合向量加法的几何意义可得或，再根据数量积的定义计算，即得答案.
【详解】由题意单位向量，且，可知与的夹角为，
因为，所以或，
故当时，；
当时，，
故选：D.
4．（2024·广东·模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的坐标求出模长，再利用向量的数量积公式即可求解.
【详解】因为，所以，
因为向量绕坐标原点顺时针旋转得到，
所以向量与向量的夹角为，且，
所以
.
故选：B
5．（2024·山东济宁·二模）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由P、C、D三点共线及，可求m的值，再用、作基底表示，进而求即可.
【详解】∵，，
即且，
∴，
又C、P、D共线，有，即，
即，而，
∴
∴=.
故选：C
6．（2024·吉林长春·模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：
则，
设，则
且，
，解得，
，
在矩形中，为的中点，
所以，由，
所以，
，
故选：D.
7．（2024·湖北·模拟预测）已知平面向量，，满足，，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的垂直和数量积的坐标表示求出，再用坐标公式求模即可.
【详解】设，则，可得，
所以.
故选:A
8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用数量积定义可得的夹角为，不妨设，，即可得，再利用辅助角公式可得，即可求得其最小值.
【详解】设的夹角为，，，
，，，又，
不妨设，，
，所以，即，
，
由，
当时，即时，有最小值．
故选：B
9．（2024·安徽·三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则，，
由，得，
所以，，
所以．
故选：C.
10．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据余弦定理得到，确定为圆的直径，为等边三角形，建立坐标系，确定点坐标，计算向量的数量积得到答案.
【详解】连接，由余弦定理知，所以.
由正弦定理得，所以为圆的直径，
所以，所以，从而，
又，所以为等边三角形，
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则，
所以.
故选：C.
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且恰好可在内任意旋转，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先分别求出等边三角形和正方形的边长及其内切圆半径，根据所求结果和正方形可在内任意旋转可知，正方形各个顶点在三角形的内切圆上，建立合适的直角坐标系，求出三角形的顶点坐标和其内切圆的方程，设出的三角坐标，代入中求出结果即可.
【详解】因为是面积为的等边三角形，记边长为，所以，解得，记内切圆的半径为，根据，
可得：，解得，因为正方形的面积为2，所以正方形边长为，
记正方形外接圆半径为，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即，
根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知.正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，
因为正方形可在内任意旋转，
可知正方形各个顶点均在该的内切圆上，
以的底边为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系如图所示：
故可知，
圆的方程为，
故设，
即，，，
故选:A.
12．（2024·河南安阳·三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】先建立平面直角坐标，分别求出向量，的坐标，再利用向量数量积的坐标运算即可求出结果.
【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以
故选：C.
13．（2024·全国）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
14．（2024·全国）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
15．（2024高二上·江西九江·开学考试）在中，，，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，求得，再设，转化为三角函数的最值问题，即可求解.
【详解】在中，，，，
以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，
则，设，
因为，所以，
又由，
所以，
设，
则，其中，
当时，取得最小值；
当时，取得最小值，
所以的取值范围为.
故选：D.
16．（2024·全国）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
17．（2024·山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
18．（2024·北京）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
19．（2024·全国）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
20．（2024·浙江）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
21．（2024·全国）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
22．（2024·全国）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
23．（2024·吉林·二模）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．
【详解】设
①，
，②，
与向量(1，0)夹角为钝角，，③，
由①②③解得，，
故选：D．
24．（2024高三上·湖南·阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
25．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（ ）
A．1B．3C．2D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得.
【详解】将两边同时平方，得，而，，，
因此，即依题意，又，所以.
故选：A
26．（2024高三上·辽宁·阶段练习）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积为正数且两向量不同向即可根据坐标运算求解.
【详解】由题意得，，
若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们数量积为正值，
即，且，
解得，且，
所以实数的取值范围为．
故选:A
27．（2024·福建漳州·模拟预测）已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于的方程组，求解即可.
【详解】因为与共线，所以，解得.
又，所以，解得，所以，所以.
故选：C.
28．（2024·辽宁沈阳·一模）已知单位向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】由得，
又为单位向量，
，
，又，
.
故选：B.
29．（2024高三上·江西抚州·阶段练习）已知非零向量，满足，，则的最大值为
A．B．C．D．5
【答案】A
【分析】利用平面向量的数量积与模长关系先判定，再利用三角换元结合辅助角公式计算即可.
【详解】，由，则有，
又 ，
即，
令，
则，
故选：A．
30．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点，由，关于直线对称，联立方程求出点的坐标，求出，分类讨论求解最大值即可.
【详解】设点，因为，关于直线对称，
所以，可得：.
所以，，所以.
当时，；
当时，，此时，所以.
当时，，此时，
所以，故.
综上所述：，故的最大值为.
故选：D.
31．（2024高三下·陕西·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点），与轴交于点，若，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设点，利用导数求出直线的方程，可求出点的坐标，利用已知条件可得出关于、的方程，解出这两个量的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得向量与的夹角.
【详解】设点，抛物线对应的函数为，求导得，
所以，直线的斜率为，则直线的方程为，
即，
在直线的方程中，令，可得，即点，
由已知可得，解得，故抛物线的方程为，
则，
，，
所以，，，
所以，，
因为，故.
故选：B.
二、多选题
32．（2024·全国）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
33．（2024·江苏连云港·模拟预测）设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则不与垂直D．不与垂直
【答案】AB
【分析】根据模长公式即可判断A，根据数量积是否为0可判断BCD.
【详解】对于A，由平方可得
，故A正确，
对于B,若则，所以，故B正确，
对于C, 若，则或或（舍去），故可能与垂直，故C错误，
对于D，，所以 ，故D错误，
故选：AB
三、填空题
34．（2024·上海杨浦·模拟预测）若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角 .
【答案】
【分析】根据平面向量的数量积求夹角即可.
【详解】由题意可得： ，
故： ，即向量 与的夹角为 .
故答案为：
35．（2024·上海长宁·三模）已知是同一个平面上的向量，若，且，则 .
【答案】
【分析】根据向量的数量积公式确定，根据垂直得到，代入计算得到答案.
【详解】设，则，，
故，
，
则，，，故，
设，，则，
又，解得，故.
故答案为：.
36．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为 .
【答案】
【分析】根据已知条件列方程，由此求得向量与的夹角大小.
【详解】由于，所以，
所以，
所以为锐角，所以.
故答案为：
37．（2024·山东·二模）已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为 （写出一个符合要求的答案即可）
【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.
【分析】利用两个向量夹角的余弦公式，通过两个余弦相等，化简即可求出结果.
【详解】设，因为，，
所以，
，
因为与，的夹角均相等，所以，
所以，
化简得，所以，
因为为非零向量，可取，此时.
故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.
38．（2024·全国）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
39．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】解设点坐标，根据已知得出，利用直线方程，解设点坐标，再根据，得出答案即可.
【详解】由题知，，设，
，，，，
，，
，，则直线方程为，
设点坐标为，，
，，
求解可得，，，即点坐标为.
故答案为：
40．（2024高三下·广西·阶段练习）已知，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据数量积的坐标表示求出，即可求出的坐标，再利用坐标法求出模.
【详解】因为，且，
所以，解得，所以，
所以，
所以.
故答案为：
41．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为 .
【答案】2
【分析】首先求出，再根据数量积的运算律求出，最后根据计算可得.
【详解】因为，所以，又，，
所以，所以，
所以向量在向量方向上的投影为.
故答案为：
42．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是 .
【答案】
【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两式得出，进而得出夹角.
【详解】因为，所以，即①.
因为向量在向量方向的投影向量是，
所以.所以②，
将①代入②得，，又，所以.
故答案为：
43．（2024·四川巴中·模拟预测）已知向量，若，则 .
【答案】
【分析】由数量积等于0并结合数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】由题意可得，
因为，
则，解得.
故答案为：
44．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若 ，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据向量垂直时数量积的表示方法，运用坐标运算求解.
【详解】因为是相互垂直的单位向量，不妨设
，即 ，
，即 ，即向量的端点在圆心为，半径为 的圆周上，
故可以取 ，即；
故答案为：1.
45．（2024高三上·江西宜春·期末）设非零向量，的夹角为．若，且，则 ．
【答案】60°/
【分析】由向量垂直的表示，应用数量积的运算律及定义求夹角即可.
【详解】由题设，
所以，又，
所以.
故答案为：
46．（2024·海南海口·模拟预测）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为 ．
【答案】/
【分析】结合投影向量的概念得到，再根据平面向量垂直及数量积的运算律列式计算即可求解.
【详解】因为向量在上的投影向量为，所以，
又为单位向量，所以，
因为，所以，
所以，所以，
故，
故答案为：.
47．（2024·全国·模拟预测）向量，且，则实数 ．
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求.
【详解】因为向量，所以，
又，
所以，得，
解得．
故答案为：.
48．（2024·海南海口·模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】设，由平行的坐标表示可得，再由数量积的定义可得，即可得出答案.
【详解】由题意得，，则，设，
得，且，满足条件的向量的坐标可以为（答案不唯一或者）.
故答案为：（答案不唯一）
49．（2024·河南开封·三模）已知向量，，若，则 .
【答案】13
【分析】根据给定条件，利用向量运算的坐标表示列式计算作答.
【详解】因为，，则，又，
所以，解得.
故答案为：13
50．（2024·浙江）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值
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几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
（一）
平面向量数量积的基本运算
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
题型1：平面向量数量积的基本运算
1-1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
【答案】D
【分析】先根据题意确定向量，的倍数关系，然后可直接求解.
【详解】因为向量，满足同向共线，所以设，
又因为，，所以，
所以或，即或.
①当时，；
②当时，；
所以的值为3或15.
故选：D.
1-2．（2024·北京）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
； .
【答案】 0 3
【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
.
故答案为：0；3.
1-3．（2024·全国）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
1-4．（2024·湖南长沙·二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由题意可得出，点G为的重心，所以，，再由向量的数量及定义求解即可.
【详解】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，
所以，
所以，则为等边三角形，因为，
所以，设点M为BC的中点，则，所以，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为的重心，故，
在等边中，M为BC的中点，则，
所以.
故选：A
1-5．（2024·天津）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
1-6．（2024·全国·一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标系表示向量，写出的解析式，再求的取值范围即可.
【详解】以原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.
因为正方形的边长为，所以，
则、，则，
设的中点为，则，，所以，，
因为是半圆上的动点，设点，
则，其中，则，
所以，，
由对称性可知，当点在第三象限的半圆弧上运动时（包含点、），
，
当点在第一象限的半圆弧上运动时（包含点、），的中点为，半圆的半径为，
可设点，其中，则，
，则，
同理可知，当点在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点、），
.
综上可知，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
（二）
平面向量数量积的应用
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
题型2：向量的模
2-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则 .
【答案】2
【分析】根据数量积的性质，结合投影定义求解可得.
【详解】∵，∴，∴，
∵向量在向量方向上的投影为，∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2
2-2．（2024高三上·海南·期末）已知向量，满足，，，则 ．
【答案】
【分析】由可得，再由，代入化简即可得出答案.
【详解】因为，，，则，
所以，所以，解得：，
.
故答案为：.
2-3．（2024·四川南充·二模）已知为单位向量，且满足，则 .
【答案】
【分析】将两边平方可得，进而可得.
【详解】为单位向量，且满足，所以，
即，解得，
所以.
故答案为：.
2-4．（2024·河南郑州·模拟预测）已知平面向量满足,且，则= ．
【答案】
【分析】由数量积的运算律求出，再由向量的模长公式即可得出答案.
【详解】由,得,
所以.
故答案为：
题型3：向量的垂直
3-1．（2024·全国）设向量，若，则 .
【答案】5
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
3-2．（2024·河南开封·模拟预测）已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，所以，
又，所以，解得.
故答案为：
3-3．（2024·江西赣州·一模）已知向量，.若，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据两个向量垂直的坐标公式计算求解即可.
【详解】因为，,所以，
又因为,所以，
所以.
故答案为: .
3-4．（2024高三下·江西南昌·开学考试）已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数 ．
【答案】/-0.8
【分析】利用向量的数量积公式和向量垂直的性质解决本题.
【详解】因为单位向量的夹角为，所以；
因为，所以
，所以．
故答案为：.
3-5．（2024高三·全国·专题练习）非零向量，，若，则 .
【答案】/-0.5
【分析】由得，从而求得的值.
【详解】因为，所以，
由题易知，，
所以.
故答案为：
题型4：向量的夹角
4-1．（2024·河南驻马店·二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】利用性质，将已知条件转化为数量积求解即可.
【详解】设向量，的夹角为，因为，所以．
又，所以，所以．
故答案为：
4-2．（2024高三·广东·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为 .
【答案】/
【分析】先利用数量积公式求出，再求出，最后代入向量的夹角公式得解.
【详解】是夹角为的两个单位向量，则，
，
，
，，
，.
故答案为：
4-3．（2024高三下·重庆·阶段练习）已知向量和满足：，，，则与的夹角为 ．
【答案】/
【分析】记向量和的夹角为，将平方化简即可求出答案.
【详解】记向量和的夹角为，将平方得到：
或，
又因为，即．
故答案为：.
4-4．（2024·四川·模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为 ．
【答案】
【分析】
由可得，，后由向量夹角的坐标表示可得答案.
【详解】，则，则，又，则
故答案为：.
4-5．（2024·浙江）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
4-6．（2024·天津）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
题型5：向量的投影
5-1．（2024·全国·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为 .
【答案】
【分析】设，利用数量级的坐标运算得的坐标，再利用投影向量的公式求解即可.
【详解】解：设，因为
所以
所以
则向量在向量上的投影向量为：.
故答案为：.
5-2．（2024高三下·上海宝山·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.
【详解】因为向量，，
所以在方向上的数量投影为.
故答案为：.
5-3．（2024高一下·山东泰安·期中）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是 ．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义结合条件即得.
【详解】因为向量、的夹角等于，，为单位向量，
所以向量在向量上的投影向量是.
故答案为：.
5-4．（2024高三上·云南昆明·开学考试）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为 .
【答案】
【分析】利用向量的投影的定义直接求解即可.
【详解】.
故答案为：
5-5．（2024·上海虹口·三模）已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数 ．
【答案】3
【分析】根据数量投影公式，代入求值.
【详解】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为，
解得：.
故答案为：3
（三）
平面向量的实际应用
用向量方法解决实际问题的步骤
题型6：平面向量的实际应用
6-1．（2024高三上·安徽合肥·开学考试）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为 牛顿.
【答案】6
【分析】根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可
【详解】设三个力，，分别对于的向量为：
则由题知
所以
所以
又
所以
所以的大小为：6
故答案为：6
6-2．（2024高三上·福建泉州·期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为 .
【答案】8
【分析】设，的合力为，则，根据力的平衡有,两边平方后可求出.
【详解】解：设，的合力为，则，
∵，的夹角为，
∴，
∴，
∵物体平衡状态.∴物体的重力大小为=8.
故答案为：8.
6-3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，做轴于点，可求出、、坐标，及、、，再由向量的坐标运算可得答案.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于点，所以，
由已知可得，，，
所以，，，
所以.
故选：B.
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
6．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
7．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
一、单选题
1．（2024高三上·吉林四平·期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
2．（2024高一下·天津西青·阶段练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
3．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（ ）
A．1B．12C．或2D．或1
4．（2024·广东·模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·山东济宁·二模）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
6．（2024·吉林长春·模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·湖北·模拟预测）已知平面向量，，满足，，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·安徽·三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．3
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且恰好可在内任意旋转，则当时，（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·河南安阳·三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．1
13．（2024·全国）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024·全国）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
15．（2024高二上·江西九江·开学考试）在中，，，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·全国）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2024·山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2024·北京）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·全国）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
20．（2024·浙江）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A．B．C．2D．
21．（2024·全国）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·全国）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·吉林·二模）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（ ）
A．B．C．D．
24．（2024高三上·湖南·阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
25．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（ ）
A．1B．3C．2D．
26．（2024高三上·辽宁·阶段练习）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
27．（2024·福建漳州·模拟预测）已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ）
A．B．
C．D．
28．（2024·辽宁沈阳·一模）已知单位向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
29．（2024高三上·江西抚州·阶段练习）已知非零向量，满足，，则的最大值为
A．B．C．D．5
30．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
31．（2024高三下·陕西·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点），与轴交于点，若，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
32．（2024·全国）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
33．（2024·江苏连云港·模拟预测）设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则不与垂直D．不与垂直
三、填空题
34．（2024·上海杨浦·模拟预测）若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角 .
35．（2024·上海长宁·三模）已知是同一个平面上的向量，若，且，则 .
36．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为 .
37．（2024·山东·二模）已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为 （写出一个符合要求的答案即可）
38．（2024·全国）已知向量，满足，，则 ．
39．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为 ．
40．（2024高三下·广西·阶段练习）已知，，若，则 ．
41．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为 .
42．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是 .
43．（2024·四川巴中·模拟预测）已知向量，若，则 .
44．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若 ，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
45．（2024高三上·江西宜春·期末）设非零向量，的夹角为．若，且，则 ．
46．（2024·海南海口·模拟预测）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为 ．
47．（2024·全国·模拟预测）向量，且，则实数 ．
48．（2024·海南海口·模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标： .
49．（2024·河南开封·三模）已知向量，，若，则 .
50．（2024·浙江）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为
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几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
（一）
平面向量数量积的基本运算
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
题型1：平面向量数量积的基本运算
1-1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
1-2．（2024·北京）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
； .
1-3．（2024·全国）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
1-4．（2024·湖南长沙·二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
1-5．（2024·天津）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
1-6．（2024·全国·一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 .
（二）
平面向量数量积的应用
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
题型2：向量的模
2-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则 .
2-2．（2024高三上·海南·期末）已知向量，满足，，，则 ．
2-3．（2024·四川南充·二模）已知为单位向量，且满足，则 .
2-4．（2024·河南郑州·模拟预测）已知平面向量满足,且，则= ．
题型3：向量的垂直
3-1．（2024·全国）设向量，若，则 .
3-2．（2024·河南开封·模拟预测）已知向量，若，则 ．
3-3．（2024·江西赣州·一模）已知向量，.若，则实数的值为 .
3-4．（2024高三下·江西南昌·开学考试）已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数 ．
3-5．（2024高三·全国·专题练习）非零向量，，若，则 .
题型4：向量的夹角
4-1．（2024·河南驻马店·二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为 ．
4-2．（2024高三·广东·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为 .
4-3．（2024高三下·重庆·阶段练习）已知向量和满足：，，，则与的夹角为 ．
4-4．（2024·四川·模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为 ．
4-5．（2024·浙江）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
4-6．（2024·天津）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
题型5：向量的投影
5-1．（2024·全国·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为 .
5-2．（2024高三下·上海宝山·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 .
5-3．（2024高一下·山东泰安·期中）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是 ．
5-4．（2024高三上·云南昆明·开学考试）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为 .
5-5．（2024·上海虹口·三模）已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数 ．
（三）
平面向量的实际应用
用向量方法解决实际问题的步骤
题型6：平面向量的实际应用
6-1．（2024高三上·安徽合肥·开学考试）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为 牛顿.
6-2．（2024高三上·福建泉州·期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为 .
6-3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
专题24 平面向量的数量积6题型分类
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
6．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
7．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
一、单选题
1．（2024高三上·吉林四平·期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
【答案】B
【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.
【详解】`
由，且与的夹角为，
所以
.
故选：B.
2．（2024高一下·天津西青·阶段练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
【答案】A
【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.
【详解】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
3．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（ ）
A．1B．12C．或2D．或1
【答案】D
【分析】由题意结合向量加法的几何意义可得或，再根据数量积的定义计算，即得答案.
【详解】由题意单位向量，且，可知与的夹角为，
因为，所以或，
故当时，；
当时，，
故选：D.
4．（2024·广东·模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的坐标求出模长，再利用向量的数量积公式即可求解.
【详解】因为，所以，
因为向量绕坐标原点顺时针旋转得到，
所以向量与向量的夹角为，且，
所以
.
故选：B
5．（2024·山东济宁·二模）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由P、C、D三点共线及，可求m的值，再用、作基底表示，进而求即可.
【详解】∵，，
即且，
∴，
又C、P、D共线，有，即，
即，而，
∴
∴=.
故选：C
6．（2024·吉林长春·模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：
则，
设，则
且，
，解得，
，
在矩形中，为的中点，
所以，由，
所以，
，
故选：D.
7．（2024·湖北·模拟预测）已知平面向量，，满足，，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的垂直和数量积的坐标表示求出，再用坐标公式求模即可.
【详解】设，则，可得，
所以.
故选:A
8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用数量积定义可得的夹角为，不妨设，，即可得，再利用辅助角公式可得，即可求得其最小值.
【详解】设的夹角为，，，
，，，又，
不妨设，，
，所以，即，
，
由，
当时，即时，有最小值．
故选：B
9．（2024·安徽·三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则，，
由，得，
所以，，
所以．
故选：C.
10．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据余弦定理得到，确定为圆的直径，为等边三角形，建立坐标系，确定点坐标，计算向量的数量积得到答案.
【详解】连接，由余弦定理知，所以.
由正弦定理得，所以为圆的直径，
所以，所以，从而，
又，所以为等边三角形，
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则，
所以.
故选：C.
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且恰好可在内任意旋转，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先分别求出等边三角形和正方形的边长及其内切圆半径，根据所求结果和正方形可在内任意旋转可知，正方形各个顶点在三角形的内切圆上，建立合适的直角坐标系，求出三角形的顶点坐标和其内切圆的方程，设出的三角坐标，代入中求出结果即可.
【详解】因为是面积为的等边三角形，记边长为，所以，解得，记内切圆的半径为，根据，
可得：，解得，因为正方形的面积为2，所以正方形边长为，
记正方形外接圆半径为，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即，
根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知.正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，
因为正方形可在内任意旋转，
可知正方形各个顶点均在该的内切圆上，
以的底边为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系如图所示：
故可知，
圆的方程为，
故设，
即，，，
故选:A.
12．（2024·河南安阳·三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】先建立平面直角坐标，分别求出向量，的坐标，再利用向量数量积的坐标运算即可求出结果.
【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以
故选：C.
13．（2024·全国）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
14．（2024·全国）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
15．（2024高二上·江西九江·开学考试）在中，，，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，求得，再设，转化为三角函数的最值问题，即可求解.
【详解】在中，，，，
以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，
则，设，
因为，所以，
又由，
所以，
设，
则，其中，
当时，取得最小值；
当时，取得最小值，
所以的取值范围为.
故选：D.
16．（2024·全国）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
17．（2024·山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
18．（2024·北京）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
19．（2024·全国）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
20．（2024·浙江）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
21．（2024·全国）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
22．（2024·全国）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
23．（2024·吉林·二模）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．
【详解】设
①，
，②，
与向量(1，0)夹角为钝角，，③，
由①②③解得，，
故选：D．
24．（2024高三上·湖南·阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
25．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（ ）
A．1B．3C．2D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得.
【详解】将两边同时平方，得，而，，，
因此，即依题意，又，所以.
故选：A
26．（2024高三上·辽宁·阶段练习）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积为正数且两向量不同向即可根据坐标运算求解.
【详解】由题意得，，
若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们数量积为正值，
即，且，
解得，且，
所以实数的取值范围为．
故选:A
27．（2024·福建漳州·模拟预测）已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于的方程组，求解即可.
【详解】因为与共线，所以，解得.
又，所以，解得，所以，所以.
故选：C.
28．（2024·辽宁沈阳·一模）已知单位向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】由得，
又为单位向量，
，
，又，
.
故选：B.
29．（2024高三上·江西抚州·阶段练习）已知非零向量，满足，，则的最大值为
A．B．C．D．5
【答案】A
【分析】利用平面向量的数量积与模长关系先判定，再利用三角换元结合辅助角公式计算即可.
【详解】，由，则有，
又 ，
即，
令，
则，
故选：A．
30．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点，由，关于直线对称，联立方程求出点的坐标，求出，分类讨论求解最大值即可.
【详解】设点，因为，关于直线对称，
所以，可得：.
所以，，所以.
当时，；
当时，，此时，所以.
当时，，此时，
所以，故.
综上所述：，故的最大值为.
故选：D.
31．（2024高三下·陕西·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点），与轴交于点，若，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设点，利用导数求出直线的方程，可求出点的坐标，利用已知条件可得出关于、的方程，解出这两个量的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得向量与的夹角.
【详解】设点，抛物线对应的函数为，求导得，
所以，直线的斜率为，则直线的方程为，
即，
在直线的方程中，令，可得，即点，
由已知可得，解得，故抛物线的方程为，
则，
，，
所以，，，
所以，，
因为，故.
故选：B.
二、多选题
32．（2024·全国）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
33．（2024·江苏连云港·模拟预测）设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则不与垂直D．不与垂直
【答案】AB
【分析】根据模长公式即可判断A，根据数量积是否为0可判断BCD.
【详解】对于A，由平方可得
，故A正确，
对于B,若则，所以，故B正确，
对于C, 若，则或或（舍去），故可能与垂直，故C错误，
对于D，，所以 ，故D错误，
故选：AB
三、填空题
34．（2024·上海杨浦·模拟预测）若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角 .
【答案】
【分析】根据平面向量的数量积求夹角即可.
【详解】由题意可得： ，
故： ，即向量 与的夹角为 .
故答案为：
35．（2024·上海长宁·三模）已知是同一个平面上的向量，若，且，则 .
【答案】
【分析】根据向量的数量积公式确定，根据垂直得到，代入计算得到答案.
【详解】设，则，，
故，
，
则，，，故，
设，，则，
又，解得，故.
故答案为：.
36．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为 .
【答案】
【分析】根据已知条件列方程，由此求得向量与的夹角大小.
【详解】由于，所以，
所以，
所以为锐角，所以.
故答案为：
37．（2024·山东·二模）已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为 （写出一个符合要求的答案即可）
【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.
【分析】利用两个向量夹角的余弦公式，通过两个余弦相等，化简即可求出结果.
【详解】设，因为，，
所以，
，
因为与，的夹角均相等，所以，
所以，
化简得，所以，
因为为非零向量，可取，此时.
故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.
38．（2024·全国）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
39．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】解设点坐标，根据已知得出，利用直线方程，解设点坐标，再根据，得出答案即可.
【详解】由题知，，设，
，，，，
，，
，，则直线方程为，
设点坐标为，，
，，
求解可得，，，即点坐标为.
故答案为：
40．（2024高三下·广西·阶段练习）已知，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据数量积的坐标表示求出，即可求出的坐标，再利用坐标法求出模.
【详解】因为，且，
所以，解得，所以，
所以，
所以.
故答案为：
41．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为 .
【答案】2
【分析】首先求出，再根据数量积的运算律求出，最后根据计算可得.
【详解】因为，所以，又，，
所以，所以，
所以向量在向量方向上的投影为.
故答案为：
42．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是 .
【答案】
【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两式得出，进而得出夹角.
【详解】因为，所以，即①.
因为向量在向量方向的投影向量是，
所以.所以②，
将①代入②得，，又，所以.
故答案为：
43．（2024·四川巴中·模拟预测）已知向量，若，则 .
【答案】
【分析】由数量积等于0并结合数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】由题意可得，
因为，
则，解得.
故答案为：
44．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若 ，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据向量垂直时数量积的表示方法，运用坐标运算求解.
【详解】因为是相互垂直的单位向量，不妨设
，即 ，
，即 ，即向量的端点在圆心为，半径为 的圆周上，
故可以取 ，即；
故答案为：1.
45．（2024高三上·江西宜春·期末）设非零向量，的夹角为．若，且，则 ．
【答案】60°/
【分析】由向量垂直的表示，应用数量积的运算律及定义求夹角即可.
【详解】由题设，
所以，又，
所以.
故答案为：
46．（2024·海南海口·模拟预测）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为 ．
【答案】/
【分析】结合投影向量的概念得到，再根据平面向量垂直及数量积的运算律列式计算即可求解.
【详解】因为向量在上的投影向量为，所以，
又为单位向量，所以，
因为，所以，
所以，所以，
故，
故答案为：.
47．（2024·全国·模拟预测）向量，且，则实数 ．
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求.
【详解】因为向量，所以，
又，
所以，得，
解得．
故答案为：.
48．（2024·海南海口·模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】设，由平行的坐标表示可得，再由数量积的定义可得，即可得出答案.
【详解】由题意得，，则，设，
得，且，满足条件的向量的坐标可以为（答案不唯一或者）.
故答案为：（答案不唯一）
49．（2024·河南开封·三模）已知向量，，若，则 .
【答案】13
【分析】根据给定条件，利用向量运算的坐标表示列式计算作答.
【详解】因为，，则，又，
所以，解得.
故答案为：13
50．（2024·浙江）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值
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几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
（一）
平面向量数量积的基本运算
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
题型1：平面向量数量积的基本运算
1-1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
【答案】D
【分析】先根据题意确定向量，的倍数关系，然后可直接求解.
【详解】因为向量，满足同向共线，所以设，
又因为，，所以，
所以或，即或.
①当时，；
②当时，；
所以的值为3或15.
故选：D.
1-2．（2024·北京）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
； .
【答案】 0 3
【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
.
故答案为：0；3.
1-3．（2024·全国）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
1-4．（2024·湖南长沙·二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由题意可得出，点G为的重心，所以，，再由向量的数量及定义求解即可.
【详解】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，
所以，
所以，则为等边三角形，因为，
所以，设点M为BC的中点，则，所以，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为的重心，故，
在等边中，M为BC的中点，则，
所以.
故选：A
1-5．（2024·天津）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
1-6．（2024·全国·一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标系表示向量，写出的解析式，再求的取值范围即可.
【详解】以原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.
因为正方形的边长为，所以，
则、，则，
设的中点为，则，，所以，，
因为是半圆上的动点，设点，
则，其中，则，
所以，，
由对称性可知，当点在第三象限的半圆弧上运动时（包含点、），
，
当点在第一象限的半圆弧上运动时（包含点、），的中点为，半圆的半径为，
可设点，其中，则，
，则，
同理可知，当点在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点、），
.
综上可知，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
（二）
平面向量数量积的应用
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
题型2：向量的模
2-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则 .
【答案】2
【分析】根据数量积的性质，结合投影定义求解可得.
【详解】∵，∴，∴，
∵向量在向量方向上的投影为，∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2
2-2．（2024高三上·海南·期末）已知向量，满足，，，则 ．
【答案】
【分析】由可得，再由，代入化简即可得出答案.
【详解】因为，，，则，
所以，所以，解得：，
.
故答案为：.
2-3．（2024·四川南充·二模）已知为单位向量，且满足，则 .
【答案】
【分析】将两边平方可得，进而可得.
【详解】为单位向量，且满足，所以，
即，解得，
所以.
故答案为：.
2-4．（2024·河南郑州·模拟预测）已知平面向量满足,且，则= ．
【答案】
【分析】由数量积的运算律求出，再由向量的模长公式即可得出答案.
【详解】由,得,
所以.
故答案为：
题型3：向量的垂直
3-1．（2024·全国）设向量，若，则 .
【答案】5
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
3-2．（2024·河南开封·模拟预测）已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，所以，
又，所以，解得.
故答案为：
3-3．（2024·江西赣州·一模）已知向量，.若，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据两个向量垂直的坐标公式计算求解即可.
【详解】因为，,所以，
又因为,所以，
所以.
故答案为: .
3-4．（2024高三下·江西南昌·开学考试）已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数 ．
【答案】/-0.8
【分析】利用向量的数量积公式和向量垂直的性质解决本题.
【详解】因为单位向量的夹角为，所以；
因为，所以
，所以．
故答案为：.
3-5．（2024高三·全国·专题练习）非零向量，，若，则 .
【答案】/-0.5
【分析】由得，从而求得的值.
【详解】因为，所以，
由题易知，，
所以.
故答案为：
题型4：向量的夹角
4-1．（2024·河南驻马店·二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】利用性质，将已知条件转化为数量积求解即可.
【详解】设向量，的夹角为，因为，所以．
又，所以，所以．
故答案为：
4-2．（2024高三·广东·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为 .
【答案】/
【分析】先利用数量积公式求出，再求出，最后代入向量的夹角公式得解.
【详解】是夹角为的两个单位向量，则，
，
，
，，
，.
故答案为：
4-3．（2024高三下·重庆·阶段练习）已知向量和满足：，，，则与的夹角为 ．
【答案】/
【分析】记向量和的夹角为，将平方化简即可求出答案.
【详解】记向量和的夹角为，将平方得到：
或，
又因为，即．
故答案为：.
4-4．（2024·四川·模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为 ．
【答案】
【分析】
由可得，，后由向量夹角的坐标表示可得答案.
【详解】，则，则，又，则
故答案为：.
4-5．（2024·浙江）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
4-6．（2024·天津）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
题型5：向量的投影
5-1．（2024·全国·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为 .
【答案】
【分析】设，利用数量级的坐标运算得的坐标，再利用投影向量的公式求解即可.
【详解】解：设，因为
所以
所以
则向量在向量上的投影向量为：.
故答案为：.
5-2．（2024高三下·上海宝山·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.
【详解】因为向量，，
所以在方向上的数量投影为.
故答案为：.
5-3．（2024高一下·山东泰安·期中）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是 ．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义结合条件即得.
【详解】因为向量、的夹角等于，，为单位向量，
所以向量在向量上的投影向量是.
故答案为：.
5-4．（2024高三上·云南昆明·开学考试）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为 .
【答案】
【分析】利用向量的投影的定义直接求解即可.
【详解】.
故答案为：
5-5．（2024·上海虹口·三模）已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数 ．
【答案】3
【分析】根据数量投影公式，代入求值.
【详解】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为，
解得：.
故答案为：3
（三）
平面向量的实际应用
用向量方法解决实际问题的步骤
题型6：平面向量的实际应用
6-1．（2024高三上·安徽合肥·开学考试）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为 牛顿.
【答案】6
【分析】根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可
【详解】设三个力，，分别对于的向量为：
则由题知
所以
所以
又
所以
所以的大小为：6
故答案为：6
6-2．（2024高三上·福建泉州·期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为 .
【答案】8
【分析】设，的合力为，则，根据力的平衡有,两边平方后可求出.
【详解】解：设，的合力为，则，
∵，的夹角为，
∴，
∴，
∵物体平衡状态.∴物体的重力大小为=8.
故答案为：8.
6-3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，做轴于点，可求出、、坐标，及、、，再由向量的坐标运算可得答案.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于点，所以，
由已知可得，，，
所以，，，
所以.
故选：B.
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