2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略考点02常用逻辑用语5类常见考点全归纳(精选74题)(原卷版+解析)

这是一份2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略考点02常用逻辑用语5类常见考点全归纳(精选74题)(原卷版+解析)，共54页。试卷主要包含了充分条件与必要条件的判断，充分条件与必要条件的探求与应用，根据含有量词命题的真假求参数等内容，欢迎下载使用。

考点一 充分条件与必要条件的判断
考点二 充分条件与必要条件的探求与应用
（一）充分条件、必要条件的探求
（二）利用充分、必要条件求参数的取值范围
（1）利用充分不必要条件求参数的取值范围
（2）利用必要不充分条件求参数的取值范围
（3）利用充要条件求参数的取值范围
考点三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
考点四 全称量词命题与存在量词命题的否定
（一）全称量词命题的否定
（二）存在量词命题的否定
考点五 根据含有量词命题的真假求参数
（一）根据全称（存在）量词命题的真假求参数
（二）根据全称（存在）量词命题的否定的真假求参数
知识点1 充分条件、必要条件与充要条件的概念
知识点2 全称量词与存在量词
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假 的陈述句叫做命题．
2．全称量词命题与存在量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词 的命题，叫做全称量词命题．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词 的命题，叫做存在量词命题．
3．全称量词命题和存在量词命题的否定
1．充要条件的四种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
牢记：小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围
注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同．
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题
第一：化简条件和结论
第二：根据条件与结论范围的大小进行判断
第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
①若，则是的充分条件；
②若，则是的必要条件；
③若，则是的充分不必要条件；
④若，则是的必要不充分条件；
⑤若，则是的充要条件；
⑥若且，则是的既不充分也不必要条件
(3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件;
②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件;
③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件．
(4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
注：等价转化法判断充分条件、必要条件
（1）是的充分不必要条件是的充分不必要条件；
（2）是的必要不充分条件是的必要不充分条件；
（3）是的充要条件是的充要条件；
（4）是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
2.充分条件与必要条件的判断要明确三点
（1）要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
（2）充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
（3）充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．
3．判断充要条件需注意的三点
(1)要分清条件与结论分别是什么；
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断；
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
4．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
①准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
②注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．（对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.）
5．根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
6.常见的一些词语和它的否定词如下表
7.判断语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
注：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
图示如下：
8.全称量词命题和存在量词命题的不同表述方法
9.全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧
(1)全称量词命题的真假判定
要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)存在量词命题的真假判定
要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可，要判断一个存在量词命题为假,必须验证给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)不成立．
图示如下：
10.全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
11.全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
12.命题的否定与否命题的区别
“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
13.利用含量词的命题的真假求参数范围的技巧
(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意．
(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围．
具体如下：
(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或aymin(或a注：(1)含参数的全称量词命题为真时，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可通过构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围．
(2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．
考点一 充分条件与必要条件的判断
1．（2024·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.（2023秋·云南·高二统考期末）设集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.（2023秋·天津河北·高三统考期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．【多选】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（ ）
A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件
7．（2024·四川德阳·统考模拟预测）已知，q：任意，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2024·山东日照·统考二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2024·安徽·校联考二模）设，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）若，则“”是“，，成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2024·陕西榆林·统考三模）已知两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12.（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
13．（2024·全国·高三专题练习）已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．（2024·北京丰台·统考二模）已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．（2024·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
17.（2023·全国·高三专题练习）已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
18.（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点二 充分条件与必要条件的探求与应用
（一）充分条件、必要条件的探求
19．（2024·天津和平·统考二模）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
20.（2023·全国·高三专题练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·全国·高三专题练习）命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
22.（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）下列选项中，是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
24.（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·全国·高三专题练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
26．（2024·宁夏银川·统考模拟预测）的一个充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
27．（2024·海南海口·校考模拟预测）已知集合，则的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
（二）利用充分、必要条件求参数的取值范围
（1）利用充分不必要条件求参数的取值范围
28．（2024·全国·高三专题练习）若“”是“不等式成立”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
29．（2024·全国·高三对口高考）已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
30．（2024·全国·高三专题练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
31．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合，．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
32．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集，______，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
（2）利用必要不充分条件求参数的取值范围
33．（2024·全国·高三专题练习）已知“”是“”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数的一个值____________.
34．（2024·全国·高三专题练习）已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．
35．（2024·全国·高三专题练习）如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
36.（2023秋·山东济南·高一统考期末）已知集合或，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围.
37.（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）设p：实数x满足，q：实数x满足．
(1)若q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
38.（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设全集，集合，其中．
(1)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若命题“，使得”是真命题，求的取值范围．
（3）利用充要条件求参数的取值范围
39.（2024秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．
40.（2024秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设集合，；
(1)用列举法表示集合；
(2)若是的充要条件，求实数的值.
41.（2024秋·高一单元测试）请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？
42．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
考点三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
43.（2023·高一课时练习）下列命题中是真命题的有________________（填序号）．
（1），
（2）所有的正方形都是矩形
（3），
（4）至少有一个实数，使
44．（2024·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
45.（2023·河北·高三学业考试）下列命题中的假命题是
A．，B．，
C．，D．，
46.（2023·全国·高三专题练习）已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（ ）
A．①③B．②④C．①②D．③④
47．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）下列命题中，真命题是（ ）
A．，
B．，
C．“”是“”的必要不充分条件
D．命题“，”的否定为“，”
48．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题（为自然对数的底数），则下列为真命题的是（ ）
A．真，假B．真，真
C．假，真D．假，假
49．（2024·河北·高三学业考试）设非空集合，满足，则下列选项正确的是（ ）
A．，有B．，有
C．，使得D．，使得
50.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
考点四 全称量词命题与存在量词命题的否定
（2）全称量词命题的否定
51．（2024·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
52．（2024·全国·高三专题练习）已知命题：，，则该命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
53．（2024·全国·高三专题练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
54．（2024·全国·高三专题练习）命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
55.（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）命题“，是奇函数”的否定是（ ）
A．，是偶函数B．，不是奇函数
C．，是偶函数D．，不是奇函数
（2）存在量词命题的否定
56．（2024·全国·高三专题练习）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
57．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
58．（2024·重庆·统考模拟预测）命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
59.（2023·全国·模拟预测）已知命题，使得，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
60．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）已知命题的否定为“”,则下列说法中正确的是（ ）
A．命题为“,”且为真命题
B．命题为“,”且为假命题
C．命题为“,”且为假命题
D．命题为“,”且为真命题
61.（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知命题：，使得且，则为（ ）
A．，使得且B．，使得或
C．，使得或D．，使得且
62.（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数B．任意一个偶数都不是素数
C．存在一个奇数不是素数D．存在一个偶数不是素数
考点五 根据含有量词命题的真假求参数
（一）根据全称（存在）量词命题的真假求参数
63．（2024·全国·高三专题练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
64．（2024·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）命题“，”是真命题的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
65．（2024·全国·高三专题练习）已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
66．（2024·全国·高三专题练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
67．（2024·江西南昌·校联考模拟预测）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）
68．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.
69.（2023·高三课时练习）已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______.
70．（2024·全国·高三专题练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
71．（2024·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
（二）根据全称（存在）量词命题的否定的真假求参数
72．（2024·全国·高一假期作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.
73．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨德强学校校考期末）若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是____．
（2024·河南·统考模拟预测）设命题：，.若是假命题，则实数的取值范围是_________
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若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
量词命题
量词命题的否定
结论
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，¬p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，¬p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
原词语
等于
大于
小于
是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于
小于等于
大于等于
不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有
考点02 常用逻辑用语5类常见考点全归纳(精选74题）
考点一 充分条件与必要条件的判断
考点二 充分条件与必要条件的探求与应用
（一）充分条件、必要条件的探求
（二）利用充分、必要条件求参数的取值范围
（1）利用充分不必要条件求参数的取值范围
（2）利用必要不充分条件求参数的取值范围
（3）利用充要条件求参数的取值范围
考点三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
考点四 全称量词命题与存在量词命题的否定
（一）全称量词命题的否定
（二）存在量词命题的否定
考点五 根据含有量词命题的真假求参数
（一）根据全称（存在）量词命题的真假求参数
（二）根据全称（存在）量词命题的否定的真假求参数
知识点1 充分条件、必要条件与充要条件的概念
知识点2 全称量词与存在量词
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假 的陈述句叫做命题．
2．全称量词命题与存在量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词 的命题，叫做全称量词命题．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词 的命题，叫做存在量词命题．
3．全称量词命题和存在量词命题的否定
1．充要条件的四种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
牢记：小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围
注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同．
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题
第一：化简条件和结论
第二：根据条件与结论范围的大小进行判断
第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
①若，则是的充分条件；
②若，则是的必要条件；
③若，则是的充分不必要条件；
④若，则是的必要不充分条件；
⑤若，则是的充要条件；
⑥若且，则是的既不充分也不必要条件
(3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件;
②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件;
③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件．
(4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
注：等价转化法判断充分条件、必要条件
（1）是的充分不必要条件是的充分不必要条件；
（2）是的必要不充分条件是的必要不充分条件；
（3）是的充要条件是的充要条件；
（4）是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
2.充分条件与必要条件的判断要明确三点
（1）要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
（2）充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
（3）充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．
3．判断充要条件需注意的三点
(1)要分清条件与结论分别是什么；
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断；
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
4．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
①准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
②注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．（对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.）
5．根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
6.常见的一些词语和它的否定词如下表
7.判断语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
注：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
图示如下：
8.全称量词命题和存在量词命题的不同表述方法
9.全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧
(1)全称量词命题的真假判定
要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)存在量词命题的真假判定
要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可，要判断一个存在量词命题为假,必须验证给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)不成立．
图示如下：
10.全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
11.全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
12.命题的否定与否命题的区别
“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
13.利用含量词的命题的真假求参数范围的技巧
(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意．
(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围．
具体如下：
(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或aymin(或a注：(1)含参数的全称量词命题为真时，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可通过构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围．
(2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．
考点一 充分条件与必要条件的判断
1．（2024·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合题意即可下结论.
【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件.
故选：B.
2.（2023秋·云南·高二统考期末）设集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当时，，此时有，则条件具有充分性；
当时，有或，得到，故不具有必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
3．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】分别求出命题，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】，即
解得，
，
所以推不出，推不出，
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4.（2023秋·天津河北·高三统考期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由得：或，
，，
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5.（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】不等式，解得
记，
因为，所以“”是“”成立充分不必要条件.
故选：A
6．【多选】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（ ）
A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数的取值范围，结合充分必要条件即可得答案.
【详解】已知：，恒成立，则方程无实根，
所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确；
又：，恒成立，所以在时恒成立，
又函数的最大值为，
所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
7．（2024·四川德阳·统考模拟预测）已知，q：任意，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式恒成立解得：，结合充分、必要条件的概念即可求解.
【详解】命题：一元二次不等式对一切实数x都成立，
当时，,符合题意；
当时，有，即，解为，
∴：．又：，
设，则是的真子集，
所以p是q成立的充分非必要条件，
故选：A．
8．（2024·山东日照·统考二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，结合简易逻辑用语判断选项即可.
【详解】因为定义域上单调递减，故由得，而定义域上单调递增，故，满足充分性；
又，满足必要性，
故选：C
9．（2024·安徽·校联考二模）设，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据为奇函数，可得，即可求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】若为奇函数，
则，
，
解得，经检验，符合题意，
“”是“为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A．
10．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）若，则“”是“，，成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等比中项的性质结合充分不必要条件的判定即可得到答案.
【详解】因为，则，且，所以，，成等比数列，故前者可以推出后者，
若，，成等比数列，举例，则不满足，故后者无法推出前者，
所以“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件.
故选：A.
11．（2024·陕西榆林·统考三模）已知两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的共线的坐标运算，求得，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】因为且，可得，解得或，
又因为为非零向量，所以，即，故“”是“”的充要条件．
故选：C.
12.（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，所以；
若，则，解得，得不出．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
13．（2024·全国·高三专题练习）已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】斜率相等且截距不同的两条直线平行，或不存在斜率的两个不同直线也平行，由此利用条件的充分性和必要性定义即可得出答案.
【详解】当时，：，：，所以，充分性成立；
当时，，即，可得或，必要性不成立
故选：A．
14．（2024·北京丰台·统考二模）已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立.
【详解】因为为锐角三角形，所以且，所以，
其中，
因为在上单独递增，所以，充分性成立，
若，不妨设，满足，但为直角三角形，故必要性不成立.
故选：A
15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数区间上单调递增，
则令，，
解得，，
结合是区间，
所以，
解得.
“”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
16．（2024·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用必要不充分条件的概念，结合三角函数知识可得答案.
【详解】因为，
若函数是偶函数，则，即 ，又，故或，
若，则为偶函数，
所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.
故选：B.
17.（2023·全国·高三专题练习）已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若“直线平面”成立，设，且，又平面，所以平面，又，所以“平面平面”成立；
若“平面平面”成立，且直线平面，可推出平面或平面，
所以“直线平面”不一定成立.
综上，“直线平面”是“平面平面”的充分不必要条件.
故选：A.
18.（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
考点二 充分条件与必要条件的探求与应用
（一）充分条件、必要条件的探求
19．（2024·天津和平·统考二模）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】由，推不出，排除AB；
由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C；
，反之不成立，D正确；
故选：D．
20.（2023·全国·高三专题练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为为真命题，所以或，
对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对，
对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错，
对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错，
对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错，
故选：A
21．（2024·全国·高三专题练习）命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案．
【详解】命题”为假命题，命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，，故方程的解得：，
故的取值范围是：，要满足题意，则选项是集合真子集，故选项B满足题意.
故选：B
22.（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）下列选项中，是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，其图象开口向上，
∵不等式在上恒成立，
∴，解得，
又∵，
∴是的必要不充分条件，
选项,,则是的充要条件，
选项,,则是的充分不必要条件，
选项,,则是的充分不必要条件.
故选：A.
23．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对于命题，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.
【详解】若，使得，则，可得，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，即，
所以，的一个必要不充分条件是.
故选：A.
24.（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为若不等式的解集为，
所以与3是方程的两个根，且，
由韦达定理可知，，，
所以可化为，解得．
由A，B，C，D四个选项中可知，只有选项D满足是的真子集，
从而成立的一个必要不充分条件是.
故选：D.
25．（2024·全国·高三专题练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.
【详解】∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
26．（2024·宁夏银川·统考模拟预测）的一个充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用举例说明，排除AB；利用对数函数的单调性判断C；利用指数函数的单调性判断D.
【详解】A：若，取，则不成立，故A不符题意；
B：若，取，则不成立，故B不符题意；
C：函数在上单调递增，
由，得，故C不符题意；
D：函数在R上单调递增，
由，得；由，得，
所以“”是“”的充要条件，故D符合题意.
故选：D.
27．（2024·海南海口·校考模拟预测）已知集合，则的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求集合P，解根式不等式求集合Q，根据集合并集结果有即可求参数a的范围，最后由充分、必要性定义可得答案.
【详解】由题设，，，
若，则，故，可得.
所以是的充要条件.
故选：B
（二）利用充分、必要条件求参数的取值范围
（1）利用充分不必要条件求参数的取值范围
28．（2024·全国·高三专题练习）若“”是“不等式成立”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【详解】解：由得，
是不等式成立的充分不必要条件，
满足，且等号不能同时取得，
即，
解得，
故选：C．
29．（2024·全国·高三对口高考）已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据不等式的解法求集合，根据题意可得A是B的真子集，结合真子集关系分析求解.
【详解】由题意可得：，或，
若“”是“”的充分非必要条件，则A是B的真子集，
所以.
故选：A.
30．（2024·全国·高三专题练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件得到，即可得到答案.
【详解】，解得，，
因为是的充分不必要条件，
所以，即.
故选：A
31．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合，．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；
（2）由题意知若“”是“”的充分不必要条件则集合是集合的真子集，求出m的取值范围，再讨论即可.
【详解】（1）由，可得，
所以，所以集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，
则集合是集合的真子集，
由集合不是空集，故集合也不是空集，
所以，
当时，满足题意，
当时，满足题意，
故，即m的取值范围为.
32．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集，______，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A；（2）对集合B中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.
【详解】（1）若选①：
，
，
所以，
，
，
故.
若选②：
，
所以，
，
，
故.
若选③：
，
，
所以，
，
，
故.
（2）由（1）知，
，
因为“”是“”的充分不必要条件，
（i）若，即，
此时，
所以
等号不同时取得，
解得.
故.
（ii）若，则，不合题意舍去；
（iii）若，即，
此时，
等号不同时取得，
解得.
综上所述，a的取值范围是.
（2）利用必要不充分条件求参数的取值范围
33．（2024·全国·高三专题练习）已知“”是“”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数的一个值____________.
【答案】
【分析】先解出的解集，然后根据必要不充分条件判断两集合的包含关系即可求解.
【详解】由，得,
令，，
“”是“”成立的必要不充分条件，.
（等号不同时成立），解得，故整数的值可以为.
故答案为：中任何一个均可.
34．（2024·全国·高三专题练习）已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．
【答案】
【分析】设将满足p,q的x的集合即为A,B．已知条件转化为，根据集合间的关系列式可解得结果.
【详解】∵“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：是的充分不必要条件．
设．
是的充分不必要条件，所以．
（两个等号不能同时取到），
．
故答案为：.
【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了充分不必要条件和必要不充分条件,考查了集合间的关系，属于基础题.
35．（2024·全国·高三专题练习）如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解绝对值不等式，得到，结合题干条件得到是的真子集，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】，解得：，
所以成立的充分不必要条件是，
故是的真子集，
所以或，
解得：，
故实数的取值范围是.
故选：B
36.（2023秋·山东济南·高一统考期末）已知集合或，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）当时，或，
由，得，所以，
所以或.
（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，
故，解得.
37.（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）设p：实数x满足，q：实数x满足．
(1)若q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若q为真，则实数x满足，即，
所以，解得：，
即q为真时，实数x的取值范围为；
（2）对于p：实数x满足，变形为：，
即，所以，
对于q，由（1）有：，
因为p是q的必要不充分条件，则q可推出p，而p不能推出q
则，解得，
故实数a的取值范围为.
38.（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设全集，集合，其中．
(1)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若命题“，使得”是真命题，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），得，解得：，即，
因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以，
则，解得：；
（2）由条件可知，，或，
所以或，解得：，
所以的取值范围是
（3）利用充要条件求参数的取值范围
39.（2024秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．
【答案】3
【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值.
【详解】由得，故，
因为“”是“”的充要条件，
所以，解得，
所以实数m的取值是3.
故答案为：3.
40.（2024秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设集合，；
(1)用列举法表示集合；
(2)若是的充要条件，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接解方程即可；
（2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值.
【详解】（1）集合，
即；
（2）由已知，，
若是的充要条件，则，
，
.
41.（2024秋·高一单元测试）请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？
【答案】答案见解析
【分析】若选择条件①，可得集合A是集合B的真子集，列出不等式组可得实数m的取值范围；若选择条件②，可得集合B是集合A的真子集，列出不等式组可得实数的取值范围；若选择条件③，列出方程组可得集合A等于集合B可得答案.
【详解】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得，
所以，实数m的取值范围是；
若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
则有，解得，
所以，实数的取值范围是；
若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解，
所以，不存在满足条件的实数.
42．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)或
(2)条件选择见解析，答案见解析
【分析】（1）求出集合、，利用补集和的交集的定义可求得结果；
（2）求出集合，根据所选条件可得出集合、的包含关系，可得出关于实数的不等式组，解之即可得出结论.
【详解】（1）解：由不等式，解得，可得
当时，不等式，解得，即，
可得或，
所以或.
（2）解：由不等式，解得，
所以.
若选择条件①，则集合是的真子集，得，解得.
当时，，，合乎题意；
若选择条件②，则集合是的真子集，得，解得.
当时，，则，合乎题意；
若选择条件③，则集合，得无解，所以不存在满足条件③的实数.
考点三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
43.（2023·高一课时练习）下列命题中是真命题的有________________（填序号）．
（1），
（2）所有的正方形都是矩形
（3），
（4）至少有一个实数，使
【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为，故（1）正确；
（2）因为正方形的四个角都是直角，故（2）正确；
（3）因为恒成立，故（3）错误；
（3）因为没有实数根，故（4）错误.
综上所述，正确的有（1）（2）.
故答案为：（1）（2）.
44．（2024·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，构造函数，所以在区间上，递减，在上，递增.所以在处取得极小值也即是最小值，所以，即.所以A选项正确.
对于B选项，由于A选项正确，所以B选项错误.
对于C选项，当时，，所以C选项不正确.
对于D选项，当时，，当且仅当时等号成立，所以D选项错误.
故选：A
45.（2023·河北·高三学业考试）下列命题中的假命题是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B．
46.（2023·全国·高三专题练习）已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（ ）
A．①③B．②④C．①②D．③④
【答案】C
【解析】对于①，由得：，，，则，①正确；
对于②，，，即，则，②正确；
对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；
对于④，当时，，，即，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
47．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）下列命题中，真命题是（ ）
A．，
B．，
C．“”是“”的必要不充分条件
D．命题“，”的否定为“，”
【答案】C
【分析】运用指数幂与根式互化分析选项A即可，举反例可分析选项B，解指数不等式可分析选项C，运用含有一个量词的命题的否定可分析选项D.
【详解】对于选项A，因为，当时，恒成立，所以，故A项错误；
对于选项B，当时，，故B项错误；
对于选项C，因为，是的必要不充分条件，故C项正确；
对于选项D，命题“”的否定为“”，故D项错误.
故选：C.
48．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题（为自然对数的底数），则下列为真命题的是（ ）
A．真，假B．真，真
C．假，真D．假，假
【答案】C
【分析】由全称量词，特称量词定义判断命题p，q正误可得答案.
【详解】命题为假命题，，必有，所以，
命题为真命题.
故选：C.
49．（2024·河北·高三学业考试）设非空集合，满足，则下列选项正确的是（ ）
A．，有B．，有
C．，使得D．，使得
【答案】B
【分析】利用元素与集合的关系和集合间的包含关系对选项逐一判断即可．
【详解】，，
当⫋时，，使得，故A错误；
，，必有，即，必有，故B正确；
由B正确，得，必有，，使得错误，即C错误；
当时，不存在，使得，故D错误，
综上只有B是正确的．
故选：B．
50.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
【答案】C
【解析】对于①，若，则，该方程组无解，①错；
对于②，若，则，解得，②对；
对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；
对于④，直线的方程为，
若，使得原点到的距离为，则，整理可得，
，方程有解，④对.
故选：C.
考点四 全称量词命题与存在量词命题的否定
（2）全称量词命题的否定
51．（2024·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.
【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p：，的否定为：，.
故选：D
52．（2024·全国·高三专题练习）已知命题：，，则该命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.
【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.
故选：C.
53．（2024·全国·高三专题练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得答案.
【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，
命题“，”的否定是，.
故选：C.
54．（2024·全国·高三专题练习）命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定为：“，”.
故选：B
55.（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）命题“，是奇函数”的否定是（ ）
A．，是偶函数B．，不是奇函数
C．，是偶函数D．，不是奇函数
【答案】B
【详解】命题“，是奇函数”的否定是：，不是奇函数.
故选：B.
（2）存在量词命题的否定
56．（2024·全国·高三专题练习）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“”的否定是“”.
故选：A.
57．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由特称命题的否定形式可直接确定结果.
【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.
故选：D.
58．（2024·重庆·统考模拟预测）命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为，.
故选：C
59.（2023·全国·模拟预测）已知命题，使得，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】因为，使得，
根据特称命题的否定得：，．
故选：B．
60．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）已知命题的否定为“”,则下列说法中正确的是（ ）
A．命题为“,”且为真命题
B．命题为“,”且为假命题
C．命题为“,”且为假命题
D．命题为“,”且为真命题
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定为全称命题排除AD,再举出反例即可得到答案.
【详解】∵命题的否定为特称命题,
∴:,,排除AD;
因为当时,,
∴为假命题,排除B.
故选:C.
61.（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知命题：，使得且，则为（ ）
A．，使得且B．，使得或
C．，使得或D．，使得且
【答案】C
【详解】“存在一个符合A且B”的否定为“任意一个都不符合A且B”，即“任意一个都符合或”.
即使得或,
故选：C.
62.（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数B．任意一个偶数都不是素数
C．存在一个奇数不是素数D．存在一个偶数不是素数
【答案】B
【解析】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.
故选：B
考点五 根据含有量词命题的真假求参数
（一）根据全称（存在）量词命题的真假求参数
63．（2024·全国·高三专题练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的真假，转化为可求解.
【详解】命题“”是真命题，
则，
又因为，
所以，即实数的取值范围是.
故选：A.
64．（2024·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）命题“，”是真命题的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数a的取值范围．
【详解】命题“，”为真命题，则在上恒成立，
∵，∴，则.
故选∶B．
65．（2024·全国·高三专题练习）已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先得出题设假命题的否命题“，”，则等价于，，求最小值即可.
【详解】因为命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，所以，．
易知函数在上单调递增，所以当时，取最小值，所以．所以实数a的取值范围为．
故选：D．
66．（2024·全国·高三专题练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据命题是真命题，转换为求函数的最大值，即可求解.
【详解】，函数的最大值是，
根据命题是真命题可知，，即.
故选：A
67．（2024·江西南昌·校联考模拟预测）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）
【答案】
【分析】求出函数的值域，结合存在量词命题为是真命题作答.
【详解】因为，即函数的值域为，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
68．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“”的否定为：“，”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.
综上有
故答案为：.
69.（2023·高三课时练习）已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】由，可得：.
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以在上的值域为.
若命题“存在，使等式成立”是真命题，则.
所以命题“存在，使等式成立”是假命题时，实数m的取值范围是或.
即实数m的取值范围是.
故答案为：.
70．（2024·全国·高三专题练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题首先可根据题意得出命题“，”是真命题，然后分为、、三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
若，即或，
当时，不等式为，恒成立，满足题意；
当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；
当时，则需要满足，
即，解得，
综上所述，的范围是，
故选：B.
71．（2024·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.
【详解】（1）由q真：，得或，
所以q假：；
（2）p真：推出，
由和有且只有一个为真命题，
真假，或假真，
或，
或或.
（二）根据全称（存在）量词命题的否定的真假求参数
72．（2024·全国·高一假期作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【分析】问题等价于有解，即或，解得答案.
【详解】已知问题等价于有解，即或，解得.
故答案为：
73．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨德强学校校考期末）若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是____．
【答案】
【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“”是真命题，再利用存在量词命题为真得关于x的方程有实根，最后利用判别式计算得结论．
【详解】因为“”的否定是假命题，
所以“”是真命题，
因此关于x的方程有实根，
所以，解得．
因此实数m的取值范围是．
故答案为：．
74．（2024·河南·统考模拟预测）设命题：，.若是假命题，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据是假命题，得到是真命题，利用恒成立求解.
【详解】解：因为是假命题，
所以是真命题，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
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若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
量词命题
量词命题的否定
结论
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，¬p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，¬p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
原词语
等于
大于
小于
是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于
小于等于
大于等于
不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有