沪科版（2024）七年级上册数学第3章《一次方程及其方程组》单元测试卷（含答案解析）

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沪科版（2024）七年级上册数学第3章《一次方程及其方程组》单元测试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列是一元一次方程的是(    )A. x−2y=4 B. xy=4 C. 14x−4 D. 3y−1=42.下面是小玲同学在一次课堂测验中利用等式的基本性质解方程的过程，其中正确的是(    )A. −13x−5=4，得13x=4+5 B. 5y−3y+y=9，得(5−3)y=9C. x+7=26，得x=19 D. −5x=21，得x=−5213.把方程x2−x−13=1去分母后，正确的是(    )A. 3x−2(x−1)=1 B. 3x−2(x−1)=6C. 3x−2x−2=6 D. 3x+2x−2=64.已知关于x的方程mx+2=x的解是x=3，则m的值为(    )A. 13 B. 1 C. 53 D. 35.用代入法解方程组x=2y,y−x=3,  ①②下列说法正确的是(    )A. 直接把①代入②，消去y B. 直接把①代入②，消去xC. 直接把②代入①，消去y D. 直接把②代入①，消去x6.二元一次方程2x+y=4的自然数解有(    )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7.设甲数为x，乙数为y，则“甲数的3倍比乙数的一半少2”列方程是(    )A. 3x+12y=2 B. 3x−12y=2 C. 12y−3x=2 D. 12y+2=3x8.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题；今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则乘车人数为(    )A. 15 B. 35 C. 39 D. 419.《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，他原本是一位商人，经商之余便搜集各地算书和文字方面的书籍，编成一首首歌谣口诀，将枯燥的数学问题化成美妙的诗歌，读来朗朗上口，程大位还有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酵酒几多醇？”这首诗是说，好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为(    )A. x+y=193x+3y=33 B. x+y=19x3+3y=33 C. x+y=193x+y3=33 D. x+y=193x+y=3310.下列结论：①若a+b+c=0，且abc≠0，则方程a+bx+c=0的解是x=1;②若a(x−1)=b(x−1)有唯一的解，则a≠b;③若b=2a，则关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=−12；④若a+b+c=1，且a≠0，则x=1一定是方程ax+b+c=1的解；其中结论正确个数有(    )A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.已知关于x的方程(a−2)x=9与x+1=4的解相同，则a的值是          ．12.已知3 x 2a+b−3−5 y 3a−2b+2=−1是关于x，y的二元一次方程，则(a+ b)  ​b=____________．13.若关于x的方程2kx+m3=2+x−nk6，无论k为任何数时，它的解总是x=1，那么m+n=           ．14.对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d).我们规定：(a,b)⋆(c,d)=bc−ad.例如：(1,2)⋆(3,4)=2×3−1×4=2.根据上述规定解决问题：当满足等式(−3,2x−1)⋆(k,x+k)=−7+2k的x是整数时，整数k的所有可能的值的和是          ．三、计算题：本大题共2小题，共16分。15.解方程(1)3(x−2)+1=x−(2x−1)；(2)2x−13−2x−34=1．16.解方程组(1)3x+4y=22x−y=5(2)x2−y+13=13x+2y=10四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)小明学习了《等式的性质》后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程4x−2=3x−2，等式的两边同时加上2，得4x=3x，然后等式的两边同时除以x，得4=3.”(1)小明的说法对吗?为什么?(2)你能求出方程4x−2=3x−2的解吗?18.(本小题8分)如果方程3x−42−7=2x+13−1的解与方程4x−(3a+1)=6x+2a−1的解相同，求式子a2−a+1的值．19.(本小题10分)小明在商店里看中了一件夹克衫，店家说：“我这儿所有商品都是在进价上加50%的利润再标价的，这件夹克衫我给你按标价打8折，你就付168元，我可只赚了你8元钱啊！”聪明的小明经过思考后觉得店家的说法不可信，请你通过计算，说明店家是否诚信？20.(本小题10分)已知代数式M=a+b+1x3+2a−bx2+a+3bx−5是关于x的二次多项式．(1)若关于y的方程3a+by=ky−8的解是y=4，求k的值；(2)若当x=2时，代数式M的值为−39，求当x=−1时，代数式M的值．21.(本小题12分)把y=ax+b(其中a、b是常数，x、y是未知数)这样的方程称为“雅系二元一次方程”当y=x时，“雅系二元一次方程y=ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”.例如：当y=x时，雅系二元一次方程”y=3x−4化为x=3x−4，其“完美值”为x=2．(1)求“雅系二元一次方程”y=−5x+6的“完美值”；(2)x=3是“雅系二元一次方程”y=3x+m的“完美值”，求m的值；(3)“雅系二元一次方程”y=kx+1(k≠0,k是常数)存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由．22.(本小题12分)某工厂将一批纸板按甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒．设x块纸板按甲方式进行加工，y块纸板按乙方式进行加工．(1)补全表格．(2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完，能做多少个礼盒？(3)若现有B板块4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完，则a的最小值为______.(请直接写出答案)23.(本小题14分)我们规定：形如关于x，y的方程x+ky=b与kx+y=b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1;由这两个方程组成的方程组x+ky=b,kx+y=b叫做共轭方程组．(1)方程3x+y=5的共轭二元一次方程是          ．(2)若关于x，y的方程组x+(1−a)y=b+2,(2a−2)x+y=4−b为共轭方程组，求a，b的值．(3)若方程x+ky=b中x，y的值满足下表：求这个方程的共轭二元一次方程．(4)解下列方程组(直接写出方程组的解即可)． ①x+2y=3,2x+y=3的解为          ; ②3x+2y=10,2x+3y=10的解为          ; ③2x−y=4,−x+2y=4的解为          ;结论：若共轭方程组x+ky=b,kx+y=b的解是x=m,y=n,请直接写出m与n的数量关系．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：A含有两个未知数，故不是一元一次方程；B含有两个未知数，故不是一元一次方程；C不是等式，故不是方程；D符合一元一次方程的定义．2.【答案】C 【解析】略3.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握去分母的步骤和方法是解题的关键．方程两边都乘以6即可得出答案．【解答】解：x2−x−13=1，去分母，方程两边都乘以6得：3x−2(x−1)=6，故选：B．4.【答案】A 【解析】【分析】此题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．把x=3代入关于x的方程mx+2=x，得到关于m的新方程，通过解新方程求得m的值即可．【解答】解：把x=3代入关于x的方程mx+2=x，得3m+2=3，解得m=13．故选：A．5.【答案】B 【解析】【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.根据代入消元法求解的步骤即可得．【解答】解：将①代入②，得：y−2y=3，由此可知①代入②可消去x，故选B．6.【答案】C 【解析】【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．把x看做已知数表示出y，即可确定出方程的自然数解．【解答】解：方程2x+y=4，解得：y=−2x+4，当x=0时，y=4；x=1时，y=2；x=2，y=0；则方程的自然数解有3个，故选C．7.【答案】C 【解析】解：若甲数为x，乙数为y，可列方程为12y−3x=2．故选：C．因为“甲数的3倍比乙数的一半少2”，则可列成方程12y−3x=2．此题考查由实际问题抽象出二元一次方程，比较容易．8.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解此题的关键．设有x辆车，找准等量关系：人数是定值，列一元一次方程可解此题．【解答】解：设有x辆车，依题意得：3(x−2)=2x+9，解得x=15，则2x+9=2×15+9=39．答：共有39人．故选：C．9.【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．直接利用“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒”，分别得出等式求出答案．【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为：x+y=193x+y3=33．故选：C．10.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键，根据方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，即可判断．【解答】解：①当x=1时，代入方程a+bx+c=0即可得到a+b+c=0，成立，故正确；②a(x−1)=b(x−1)，去括号得：ax−a=bx−b，即(a−b)x=a−b，方程有唯一的解x=1，则a≠b，故正确；③方程ax+b=0，移项得：ax=−b，则x=−ba，∵b=2a，∴ba=2，则x=−2，故错误；④把x=1代入方程ax+b+c=1，得到a+b+c=1，则x=1一定是方程ax+b+c=1的解，故正确．故选B．11.【答案】5 【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握同解方程的解法，代入求值是解题的关键．先解一元一次方程x+1=4，把x的值代入方程(a−2)x=9得a的值即可．【解答】解：x+1=4，解得，x=3．因为方程(a−2)x=9与x+1=4的解相同，所以把x=3代入方程(a−2)x=9，得，3(a−2)=9，3a−6=9，3a=15，a=5．故答案为：5．12.【答案】9 【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的概念，二元一次方程组的解法，代数式求值，关键是掌握二元一次方程的概念．根据二元一次方程的概念得到关于a，b的方程组，解出a，b，代入代数式即可．【解答】解：根据题意，得方程组2a+b−3=13a−2b+2=1,解得a=1b=2,把a=1，b=2代入(a+b)b中，得(1+2)2=9．故答案为9．13.【答案】52 【解析】【分析】本题考查的是一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念．将x=1代入原方程即可求出答案．【解答】解：将x=1代入2kx+m3=2+x−nk6得，2k+m3=2+1−nk6，∴(4+n)k=13−2m，由题意可知：无论k为任何数时(4+n)k=13−2m恒成立，∴n+4=0，∴n=−4，m=132，∴m+n=−4+132=52，故答案为52．14.【答案】−6 【解析】【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算规则以及理解题意列出方程是解题的关键．已知等式利用题中新定义化简，计算即可求出整数k的值，然后相加即可．【解答】根据题意得，k(2x−1)−[−3(x+k)]=−7+2k，化简可得2xk+3x=−7，所以x=−72k+3，又因为x为整数，k为整数，所以2k+3=−7，−1，1，7，解得k=−5，−2，−1，2，所有k的值相加得−6，故答案为−6．15.【答案】解：(1)去括号得：3x−6+1=x−2x+1，移项合并得：4x=6，解得：x=32；(2)去分母得：8x−4−6x+9=12，移项合并得：2x=7，解得：x=72． 【解析】(1)方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解；(2)方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．16.【答案】解：(1)3x+4y=2①2x−y=5②，②×4+①得：11x=22，解得：x=2，把x=2代入②得：4−y=5，解得：y=−1，方程组的解为：x=2y=−1，(2)原方程组可整理得：3x−2y=8①3x+2y=10②，①+②得：6x=18，解得：x=3，把x=3代入①得：9−2y=8，解得：y=0.5，方程组的解为：x=3y=0.5． 【解析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．(1)利用加减消元法解之即可；(2)利用加减消元法解之即可．17.【答案】解：(1)不对，因为等式4x=3x中x的值为0，等式的两边不能同时除以0．(2)方程两边同时加2得4x=3x，然后两边同时减3x，得x=0． 【解析】见答案．18.【答案】解方程3x−42−7=2x+13−1得x=10，将x=10代入方程4x−(3a+1)=6x+2a−1，可得40−(3a+1)=60+2a−1，解得a=−4.所以a2−a+1=(−4)2−(−4)+1=21． 【解析】略19.【答案】解：设进价是x元，根据题意得：1.5×0.8x=168，解得：x=140．则168−140=28(元)．∴赚了28块．所以店家在撒谎． 【解析】本题考查了一元一次方程的应用知识点；解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．设进价是x元，根据售价是168元，可列方程，解方程即可求得进价，再算出利润与8元比较即可．20.【答案】解：(1)∵代数式M=a+b+1x3+2a−bx2+a+3bx−5是关于x的二次多项式，∴a+b+1=0，且2a−b≠0，∴a+b=−1，∵关于y的方程3a+by=ky−8的解是y=4，∴3a+b×4=4k−8，∵a+b=−1，∴3×−1×4=4k−8，解得k=−1；(2)∵当x=2时，代数式M=2a−bx2+a+3bx−5的值为−39，∴将x=2代入，得42a−b+2a+3b−5=−39，整理，得10a+2b=−34，{a+b=−1①10a+2b=−34② ，由②，得5a+b=−17③，③−①，得4a=−16，系数化为1，得a=−4，把a=−4代入①，解得b=3，∴原方程组的解为a=−4b=3,∴M=[2×−4−3]x2+−4+3×3x−5=−11x2+5x−5．将x=−1代入，得−11×−12+5×−1−5=−21． 【解析】本题考查了代数式求值，多项式以及一元一次方程的解的定义，根据“二次多项式”的定义得到a+b=−1是解题的关键．(1)根据二次多项式的定义表示出a、b的关系，再把y=4代入方程得到关于k的一元一次方程，然后求解即可；(2)把x=2代入M得到一个关于a、b的方程，然后联立a+b=−1解方程组求出a、b的值，然后求出M，再把x=−1代入M进行计算即可得解．21.【答案】解：(1)由已知可得，x=−5x+6，解得x=1，∴“雅系二元一次方程”y=−5x+6的“完美值”为x=1；(2)由已知可得x=3x+m，x=3，∴m=−6；(3)若“雅系二元一次方程”y=kx+1(k≠0,k是常数)存在“完美值”，则有x=kx+1，∴(1−k)x=1，当k=1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=11−k． 【解析】本题考查二元一次方程的解，新定义；能够理解题意，将所求问题转化为一元一次方程求解是关键．(1)由已知得到式子x=−5x+6，求出x即可；(2)由已知可得x=3x+m，将x=3代入即可求m；(3)假设存在，得到x=kx+1，所以(1−k)x=1，当k=1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=11−k．22.【答案】解：(1)由甲、乙两种加工方式所裁剪的A板块、B板块的数量可知，x块纸板按甲方式进行加工，可得到A板块2x块，B板块6x块，y块纸板按乙方式进行加工，可得A版块4y块，故答案为：6x，4y；(2)由题意得，x+y=142x+4y=2×6x，解得x=4y=10，即有4块采用甲方式进行加工，10块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完，此时，礼盒的个数为6×4÷2=12(个)，答：现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完，能做12个礼盒；(3)由题意得，x+y=a2x+4y=2(6x+4)，解得x=2(a−2)7，∵x、a都是正整数，∴a的最小整数值为9，故答案为：9． 【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键．(1)根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A板块、B板块的数量进行计算即可；(2)设未知数，列方程组求解即可；(3)利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可．23.【答案】解：(1)x+3y=5．(2)由于关于x，y的方程组x+(1−a)y=b+2(2a−2)x+y=4−b为共轭方程组，所以1−a=2a−2，b+2=4−b，解得a=1，b=1．(3)把x=−1，y=0和x=0，y=2代入x+ky=b，，−1=b2k=b,解得b=−1，k=−12，∴这个方程为x−12y=−1，∴方程为x−12y=−1的共轭二元一次方程是−12x+y=−1．(4)①x=1y=1，②x=2y=2③x=4y=4; 结论：由(4)所呈现的规律可得，若共轭方程组x+ky=bkx+y=b的解是x=my=n，则m=n． 【解析】解：(1)由共轭二元一次方程的定义可得，方程3x+y=5的共轭二元一次方程是x+3y=5，故答案为：x+3y=5．(2)见答案．(3)见答案．(4)解方程组①x+2y=32x+y=3可得解为x=1y=1;解方程组②x+2y=62x+y=6可得解为解为x=2y=2解方程组③2x−y=4−x+2y=4可得解为解为x=4y=4;故答案为①x=1y=1，②x=2y=2，③x=4y=4．结论见答案．本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法，理解共轭方程、共轭方程组的定义是正确解答的前提．(1)根据互为共轭二元一次方程的定义可得答案；(2)根据互为共轭二元一次方程的定义得出1−a=2a−2，b+2=4−b，即可求出a、b的值；(3)把x=−1，y=0和x=0，y=2代入x+ky=b求出k、b的值，确定这个方程后，再根据共轭二元一次方程的定义得出答案；(4)分别解这三个二元一次方程组，求出它们的解即可．结论：根据解得特征和呈现的规律得出结论即可．x块甲方式加工的纸板y块乙方式加工的纸板A板块2x______B板块______∖ x−10y02