高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）4.5.1 函数的零点与方程的解教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）4.5.1 函数的零点与方程的解教学设计及反思，共11页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1. 能够利用函数零点的定义，判断零点的存在性和确定零点范围，提升数学运算和逻辑推理的核心素养；
2. 掌握二次函数的图象，经历由特殊到一般的思维过程，了解函数零点存在定理，借助图象判断零点个数，发展数学直观想象和数学抽象核心素养；
3. 会利用函数判断方程是否有解，了解函数再解决数学问题方面的应用，发展数学建模核心素养；
4. 通过对函数的零点与方程的解学习，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力，体会数学的奥妙，提高学习数学的兴趣.

二、教学重难点
重点：方程的根与函数零点的关系的理解；函数零点存在定理的探究，构建与应用．
难点：函数零点存在定理应用；数形结合思想方法的渗透．

三、教学过程
（一）创设情境
回顾：通过提问的方式依次让学生回答问题上节课学习的内容.
师生活动：教师提问方式可以随机抽取学生点对点的回答，大众提问学生积极举手回答或者学生集体回答表格中的数据：
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，所以要判断一元二次方程是否有实数解，除了利用一元二次方程根的判别式，还可以利用二次函数．请回忆相关内容，说说从二次函数的观点，如何判断一元二次方程是否有实数解？
答：观察图象和数值得到一元二次方程的根的个数和对应二次函数与x轴交点个数相同，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.
像 lnx+2x−6=0 这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？我们一起探究吧.
设计意图：回顾新知，对求二次函数的零点与一元二次方程的实数根之间的关系探究的方式，对其使用条件的熟悉，初步了解解决问题的思路和方向， 为接下来的探究作铺垫.
（二）探究新知
任务1：探究函数的零点.
思考：函数y= lnx+2x−6 是否有零点？方程 lnx+2x−6=0是否有实数解？
师生活动：教师给与提示：类比二次函数的零点，也可以考虑此函数的零点，通过判断函数的图象与x轴是否有公共点，来判断方程是否有实数解.并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结.
分析：借助计算工具画出函数y=lnx+2x−6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助.
答：如下表（图）所示：
函数y= lnx+2x−6有零点即相应方程lnx+2x−6=0只有实数解.
思考：通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？
师生活动：学生思考后，由学生积极举手发言或者教师点学生发言，发表自己观点，教师总结：可以将这种方法推广到研究一般方程的解.并且给出函数的零点定义：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数 x 叫做函数y=f(x)的零点.
思考： 函数的零点、方程根、图象之间的关系？
师生活动：学生思考后，由学生积极举手发言或者教师点学生发言，发表自己观点，教师总结.
答：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
思考：函数的零点是点吗？如何求函数的零点？
师生活动：学生先合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.教师给与帮助并总结.
总结：1.函数的零点不是点，零点指的是实数；2.由定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)=0得到；3.一般地，对于不能用公式求解的方程f(x)=0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解.
设计意图：体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了一般函数零点存在性的运用，通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握零点的定义，结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生逻辑推理的核心素养.
任务2：函数零点存在定理.
思考：对于二次函数fx=x2−2x−3，观察它的图象，发现它在区间[2，4]上有零点. 这时，函数图象与x轴有什么关系？在区间[−2，0]上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系？
师生活动：教师可以给以提示：相应的函数fx的取值在零点左右两侧与0的大小关系；并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结
答：函数fx=x2−2x−3在区间(2，4)内有零点x=3，它是方程x2−2x−3=0的一个根:在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴;函数在端点x=2和x=4的取值异号，即f(2)f(4)