高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5.3 函数模型的应用第2课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5.3 函数模型的应用第2课时教案，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时 函数模型的应用

一、教学目标
1.能将具体问题化归成函数问题，并能通过分析函数图象及表格数据了解相应的对数函数、一次函数、指数函数的变化差异；
2.理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实意义；
3.能正确选择合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等核心素养.

二、教学重难点
重点：选择合适的函数模型分析和解决实际问题，体会数学建模的一般过程.
难点：理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实意义.

三、教学过程
（一）复习导入
师生活动：教师提出问题，学生思考、交流，教师根据学生的回答情况评价补充.
思考1：我们学过哪些函数模型？
答：(1)y=kx+bk,b为常数，k≠0；
(2)y=ax2+bx+ca,b,c为常数，a≠0；
(3)y=bax+ca,b,c为常数，b≠0,a>0且a≠1；
(4)y=mlgax+nm,a,n为常数，m≠0,a>0且a≠1；
(5)y=axn+ba,b为常数，a≠0.
思考2：根据已学的不同函数增长的差异相关内容，指出“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”的含义分别是什么？
答：直线上升：增长速度不变，是一个固定的值；
对数增长：增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x轴平行一样；
指数爆炸：增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与x轴垂直一样.
思考3：构建函数模型解决实际问题的主要步骤是什么？
答：构建函数模型解决实际问题的主要步骤是
(1)理解题意；
(2)提炼信息；
(3)构建函数模型；
(4)求解模型；
(5)检验模型；
(6)应用模型.
设计意图：通过对函数模型等相关内容的回顾，引导学生感受不同函数模型所描述的客观事实，为进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此选择合适的函数模型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律作铺垫.
（二）探究新知
任务一：构建数学模型解决实际问题
情境1：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元;
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
师生活动：教师依次提出问题，逐步深入，引导学生分析其中的数量关系，写出三种投资方案所对应的函数关系式，再利用表格和图象比较分析三种函数模型的增长情况，作出需要分投资天数进行选择的初步判断.
探究1：请初步选择一种你认为合适的投资方案.
师生活动：学生组内讨论、交流，教师选择有代表性的解答展示，暂不给予点评.
探究2：你能根据问题提供的三种投资方案的描述，分析出其中的常量、变量及相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模型吗？
思考1：你能分别写出三种方案前30天的回报吗？
答：三种方案前30天的回报如下表所示：
思考2：你发现这三种方案的日增加量有什么不同？
答：前两种方案的增加量都是常数，第三种方案的日增加量成倍数增加.
思考3：你能用函数关系式描述三种方案中第x天所得回报y吗？
答：从表格中y的增加量可以看出，方案一是常数函数模型；方案二是一次函数模型；方案三是以指数函数为核心的模型.
方案一：y=40x∈N∗；
方案二、方案三可利用待定系数法依次求得为：
方案二：y=10xx∈N∗；
方案三：y=0.4×2x−1x∈N∗.
思考4：还可以用什么方式进一步研究这三个函数模型的变化趋势？
答：利用三个函数模型的图象，如下图所示.
思考5：你可以从图象上获取什么信息？
答：在第1~3天，方案一的回报最多；第4天，方案一与方案二回报一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；从第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
思考6：你能据此判断投资1~3天，使用方案一；投资5~8天，使用方案二；投资9天以上，使用方案三吗？
答：不能.投资n天，应该看前n天累计的回报数哪个方案最多作出选择.
累计的回报数列表如下：
从表格可以看出，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
师生活动：回到探究1作出的方案选择，学生反思，教师评价.
设计意图：通过设置分层次、有针对性的问题，逐步深入，引导学生将实际问题转化为数学问题，并根据不同函数模型的增长差异选择合适的函数模型，借助计算结果与图象直观理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”的含义.引导学生分析影响方案选择的因素，使学生作出正确选择.
任务2：选择合适的函数模型解决实际问题
情境2：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=lg7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
师生活动：教师提出问题，引导学生分析问题、解决问题；学生思考并解答问题.
探索：根据题目条件，你认为应该选择哪个奖励模型才符合公司的要求？
思考1：x的取值有限定范围吗？
答：由于个人利润不会超过公司总利润，所以x≤1000，即x∈10,1000.
思考2：要想符合公司的要求，应该满足哪些条件？这对选择模型有什么帮助？
答：(1)奖金总数不超过5万.
从形的角度：画出y=5的图象，所选函数模型的图象应在它的下方；
从数的角度：若存在x带入解析式中，使得y>5，则排除.
(2)奖金不超过利润的25%，即y≤25%x.
思考3：你能作出函数的图象，并通过观察作出判断并给出本题的解答过程吗？
答：不妨先检验条件1是否满足.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=5，y=0.25x，y=lg7x+1，y=1.002x的图象，如图所示．
观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在y=5的上方，只有模型y=lg7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=lg7x+1进行奖励才能符合公司要求．
下面通过计算确认上述判断：
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．
对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上是单调递增的，
当x∈(20,1000]时，y>5，因此该模型不符合要求．
对于模型y=1.002x，由参考数据可知，1.002806≈5，
由于y=1.002x是增函数，
故当x∈(806,1000]时，y>5，因此也不符合题意．
对于模型y=lg7x+1，它在区间[10,1000]上单调递增，
且当x=1000时，y=lg71000+1≈4.550)
【答案】C
解：由图表可知：y随x的增大而增大，且增长越来越快，
对于A，y随x的增大而减小，故排除A；
对于B，y随x的增大而增大，但增长的越来越慢，故排除B；
对于D，y随x的增大而增大，但增长速度不变，故排除D；
对于C，y随x的增大而增大，且增长越来越快，故C符合题意．
故选：C．
3.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)=kP1+lg(t+1)，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)=16P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为 .(保留到个位)(lg 61≈1.79)
【答案】462
解：因为f(t)= kP1+lg(t+1)，
所以f(60)= kP1+lg(60+1)，所以 kP1+lg61= 16P.
所以 k=1+lg616≈2.796=0.465，
所以f(100)= 0.4651+lg(100+1) ×400≈62．
所以估计该生高考中可能取得的分数在462分左右．
故答案为462．
4.学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟，0≤x≤60)的函数关系式，
要求如下：
(i)函数的图象接近图示;
(ii)每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分;
(iii)每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分;
(iiii)每天得分最多不超过12分．
现有以下三个函数模型供选择：
①y=k x+b(k>0); ②y=1.01xk+b(k>0); ③y=3lg3(kx+3)+m(k>0)．
(1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式;
(2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟?(参考值：lg3163≈4.63)
【答案】解：(1)对于模型 ①:由题意，有b=0 9k+b=6，得b=0k=2，
∴y=2 x(0≤x≤60)，
当x=60时，y=2 60>2 49=14>12，不合题意；
对于模型 ②: y=k·1.01x+b(k>0)的增长越来越快，图像越来越“陡峭”，不合题意；
对于模型 ③:由题意，有3lg33+m=03lg3(9k+3)+m=6得m=−3k=83，
∴y=3lg3(83x+3)−3(0≤x≤60)，该函数图像增长符合题设图像要求．
当0≤x≤60时，y=3lg3(83x+3)−3≤3lg3(83×60+3)−3，
=3lg3163−3≈3×4.63−3