高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5.3 函数模型的应用第1课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5.3 函数模型的应用第1课时教案，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时 函数模型的应用

一、教学目标
1.能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图象及表格数据了解其中的数学关系；
2.在已知函数模型时，能够确定参数，计算求解，验证结果；
3.发展学生逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养.

二、教学重难点
重点：利用已知函数模型解决实际问题，初步体会数学建模的基本步骤；
难点：选择合适的函数模型分析和解决实际问题.

三、教学过程
（一）创设情境
情境：某企业由于引进新的技术，产值逐年增长，如果从2023年起，每年的产值比上一年平均增加20%，那么至少经过多少年产值能翻两番？(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
师生活动：教师给出问题，引导学生思考，教师评价.
思考1：问题中的关键词有哪些？它们的含义分别是什么？
答：年平均增长率、翻两番.
前者指的是每年在上一年的基础上增长的比例；后者指的是翻了4倍.
思考2：结合所学知识，你能给出完整的解答过程吗？
答：设经过x年可以翻两番，依题意得：(1+20%)x=4，
即65x=4，
两边同时取常用对数得xlg65=lg4=2lg2，
即x=2lg2lg65
=2lg2lg6−lg5
=2lg2lg2+lg3−lg5
=2lg2lg2+lg3−1+lg2
=2lg22lg2+lg3−1≈7.61，
所以至少要经过8年产值翻两番．
设计意图：学生对单独的函数问题比较熟悉，但是在利用函数解决生活中的实际问题时，往往因为对某些关键词理解困难而导致错误，所以在课堂或练习中教师应该注意引导学生去理解，熟知这些词汇.此外，以问题的形式引入，让学生感受指数函数在生活中的应用，提高学生的学习兴趣，为接下来的学习做铺垫.
（二）探究新知
任务一：利用已知函数模型解决实际问题
探究1：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数大约分别为55196万和67207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型．
(2)利用(1)中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布
的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.
(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
师生活动：教师出示例题并提出问题，引导学生分析问题、分析数据，学生思考、讨论、交流后回答，教师点评并总结.
思考1：要建立这个模型，需要确定哪些参数的值？
答：需要确定y0和r.
思考2：我国自1950年起的人口增长模型中人口数初始量y0是多少？
答：依题意1950年末的人口总数是55196万，即y0=55196.
思考3：如果将1950年记为第一年，那么1959年是第几年？从1950年到1959年经过了几年？
答：1959年是第十年；从1950年到1959年经过了9年.
思考4：如何计算1950～1959年期间我国人口的平均增长率r？
答：根据已知得y0=55196，且当t=9时，y=67207.利用人口增长模型y=y0ert可以求出在1950～1959年期间我国人口的年平均增长率r.
师生活动：教师组织学生小组合作，利用多种方法计算出结果，集体交流、总结后教师出示规范解答：
解：（1）由题意知y0=55196，设1950～1959年期间我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有67207=55196e9r，由计算工具得r≈0.021876.
因此我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.021876t，t∈0,9
思考5：如何检验所得模型与实际人口数据是否吻合？
答：①利用确定的人口增长模型计算求得我国1950～1959年各年末人口总数，再与国家统计局网站公布的我国在1950～1959年各年末的实际人口总数相比较，即可检验所得模型与实际人口数据是否相符.
②画出函数y=55196e0.021876t，t∈0,9的图象，并根据国家统计局网站公布的1950～1959年各年末的我国人口总数实际数据画出散点图，通过观察图象即可检验所得模型与实际人口数据是否相符.
思考6：所得模型与1950～1959年的实际人口数据是否为吻合？
答：首先利用人口增长模型y=55196e0.021876t，t∈0,9求得我国在1950～1959年各年末人口总数，再查阅国家统计局网站公布的我国在1950～1959年各年末的实际人口总数，列出表格，比较可知所得模型与实际人口数据基本吻合.
师生活动：教师鼓励学生动手检验，学生完成后，教师出示第（2）题的规范解答：
解：（2）分别取t=1,2，⋯，8，由y=55196e0.021876t可得我国在1951~1958年各年末的人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数，如下表所示：
根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y=55196e0.021876t，t∈0,9的图象，如图.
由上表和上图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
思考7：如果利用所得模型计算，大约在哪一年我国人口达到13亿？
答：将y=130000带入函数模型，由计算工具算出结果即可.
师生活动：教师出示第（3）题规范解答：
解：（3）将y=130000代入y=55196e0.021876t，由计算工具得t≈39.16.
所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿.
思考8：事实上，我国1990年人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿.对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
答：因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策.因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况.
总结：在人口红利出现拐点、老龄化加速的背景下，我国逐步放开了二胎政策，有兴趣的同学可以继续关注国家统计局网站中有关人口的数据，探究我国人口变化的规律.数学建模主要表现为发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.本例是利用已知得函数模型解决实际问题.在用已知得函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件.
设计意图：通过对具体问题的分析建模、解模过程，发展学生的数学建模、直观想象、数学抽象及数学运算等核心素养.
任务2：构建函数模型解决实际问题
探究2：2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的?
师生活动：教师提出问题，引导学生分析问题、解决问题.学生思考并解答问题.
思考1：什么是“碳14年代学检测”？
答：碳14年代学检测是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种检测方法，这一原理通常用来测得古生物化石的年代.
思考2：什么是“半衰期”？
答：当生物死亡后，它机体内碳14的初始量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.
思考3：应选择什么函数模型比较合适？其中自变量与因变量分别是什么？
答：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y=kaxk∈R,k≠0；a>0,a≠1建立数学模型.其中衰减年数为x，残余量为y.
师生活动：通过上述分析，初步建立了函数模型，教师组织学生类比探究1继续按照问题的提示，小组合作完成解答，完成后集体点评、总结，并给出规范解答过程.
思考（4）：如果利用这种对应关系由碳14的残留量推断此水坝建成的大概年代，需要确定哪个参数？
如何确定这个参数？
确定这个参数后，如何进一步确定函数关系？
利用确定的函数关系如何推断水坝大概是什么年代建成的？
解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0