精品解析：山西省名校协作2024-2025学年高一上学期11月期中质量检测数学试题

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一～三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，又，
所以.
故选：A.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，令求得对应的的值，从而得解.
【详解】因为，
令，解得，所以．
故选：B．
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解.
【详解】对于，
有，解得且，
则的定义域为.
故选：C.
4. 若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定与真假性，将问题转化为二次不等式的有解问题，从而得解.
【详解】因为“，”为假命题，
所以“，”为真命题，
则在区间上有解，
设，则的图象开口向上，对称轴为，
且，则当时，函数取得最大值为，
所以，即的取值范围是.
故选：C.
5. 下列各组中的函数和是表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同即可得解.
【详解】对于A，，，所以两函数不是同一个函数，故A错误；
对于B，的定义域为，的定义域为，
所以两函数不是同一个函数，故B错误；
对于C，的定义域为，的定义域为，
所以两函数不同一个函数，故C错误；
对于D，可知两个函数的定义域均为，且，
所以两函数是同一个函数，故D正确.
故选：D.
6. 小张、小胡两人解关于x的不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，结合韦达定理即可得解.
【详解】因为小张写错了常数，得到的解集为，所以，
小胡写错了常数，得到的解集为，所以，解得，
所以原不等式为，解得，
即原不等式的解集为.
故选：B.
7. 已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数单调性的定义与奇偶性分析得的性质，从而得到的正负情况，再将题设不等式转化为，进而得到相关不等式，解之即可得解.
【详解】对任意，都有，
不妨设，则，则，
所以函数在上单调递增，
又函数为偶函数，则该函数在上单调递减，
又，则
所以当时，，当或时，，
由，得，
所以或，解得或，
则不等式的解集为.
故选：D.
8. 已知函数，若实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造，利用函数单调性与奇偶性的定义与判断得的性质，从而得到，再利用配凑法与基本不等式即可得解.
【详解】令，则的定义域为，，
又，所以为奇函数，
又，都在上单调递增，所以在上单调递增，
又，所以，
所以，则，即，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】举反例排除AC，利用不等式的性质判断B，利用作差法判断D，从而得解.
【详解】对于A，取，，满足，但是，故A错误；
对于B，因为，所以，又，所以，故B正确；
对于C，取，，，，满足，，
但是，故C错误；
对于D，因为，所以，，
所以，则，故D正确.
故选：BD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值是2
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 若函数的值域为，则m的取值范围是
D. 已知关于x的一元二次方程的两个不同的根都在内，则m的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】利用基本不等式“一正二定三相等”可判断A，利用抽象函数定义域的求法可判断B，利用根式函数的值域与判别式法可判断C，利用一元二次方程根的分布可判断D，从而得解.
【详解】对于A，由，
当且仅当时，即时等号成立，显然等号不成立，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为，所以，解得，
即函数的定义域为，故B正确；
对于C，因为函数的值域为，
所以，解得或，
即的取值范围是，故C错误；
对于D，因为的两个不同的根都在内，
设，
则，解得，
即的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法可判断AC，利用赋值法与奇偶函数定义可判断B，利用赋值法得到，再依次赋值可判断D，从而得解.
【详解】对于A，因为，
令，，则，
又，所以，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为，
又令，得，
所以，所以为偶函数，故B正确；
对于C，令，则，
即，所以，故C正确；
对于D，令，得，
所以，
所以当时，得，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的定义求得的值，进而得到，从而代入即可得解.
【详解】因为是幂函数，所以，解得，
所以，则.
故答案为：.
13. 若函数在上单调递减，则a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用反比例函数与一次函数的单调性，结合分段函数的单调性即可得解.
【详解】因为在上单调递减，
所以，解得，即的取值范围是.
故答案为：.
14. 若，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用配凑法，两次利用基本不等式即可得解.
【详解】因为，所以，，
又，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解二次与一次不等式化简集合，代入再次化简集合，进而利用集合的交并补运算即可得解；
（2）根据题意得到是的真子集，从而利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
由题意知，
，
若，则，所以，
所以.
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
因为，所以，
所以且等号不同时成立，解得，
则的取值范围是.
16. （1）若，，求证：；
（2）若，，且，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用作差法，结合因式分解即可得证；
（2）利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】（1）因为，，
则，
所以.
（2）因为，，，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
17. 已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数，结合已知条件列式即可得解；
（2）利用（1）中结论，整理关于x的不等式，分类讨论的大小关系，利用二次不等式的解法即可得解.
【小问1详解】
因为是二次函数，可设，
所以，
所以，解得，所以，
又，所以，解得，
所以.
【小问2详解】
由，得，
整理得，则，
又，所以，
当，即时，原不等式的解集为；
当，即时，原不等式的解集为；
当，即时，原不等式的解集为.
18. 已知函数为奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断函数在和上的单调性并证明；
（3）若对任意的，，都有，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质得到关于的方程，解后再进行检验即可得解；
（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证；
（3）根据题意，将问题转化为，结合（2）中结论得到关于的不等式，解之即可得解.
【小问1详解】
由为奇函数，定义域为，可得，
即，解得，
此时，又，满足为奇函数，所以.
【小问2详解】
函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：
，且，
有，
当时，，所以，则，
所以在上单调递增；
当时，，所以，则，
所以在上单调递减.
【小问3详解】
若对任意的，都有，
只需，
由（2）可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，
所以，解得或，
故的取值范围是.
19. 对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”.
（1）判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；
（2）已知函数，试判断是否为其定义域上的“弱奇函数”？若是，求出所有满足的的值；若不是，请说明理由；
（3）若函数为其定义域上的“弱奇函数”，求a的取值范围.
【答案】（1）既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数”
（2）不是其定义域上的“弱奇函数”，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用“弱偶函数”与“弱奇函数”的定义列式即可判断；
（2）假设是“弱奇函数”，得到关于的绝对值方程，分类讨论，与三种情况，解方程即可判断；
（3）由“弱奇函数”的定义得到，分类讨论的取值范围，结合去绝对值的方法与二次方程根的分布，得到关于的不等式（组），解之即可得解.
【小问1详解】
若为“弱奇函数”，则存在，使得，
即，则，无解，
所以不是“弱奇函数”；
若为“弱偶函数”，则存在，使得，
即，则，无解，
所以不是“弱偶函数”；
综上，函数既不“弱奇函数”也不是“弱偶函数”.
【小问2详解】
不是其定义域上的“弱奇函数”，理由如下：
假设为其定义域上的“弱奇函数”，
则存在，使得，即，
若，则，则，舍去；
若，则，则，舍去；
若，则，则，舍去，
从而无解，所以不是其定义域上“弱奇函数”.
【小问3详解】
因为函数为其定义域上的“弱奇函数”，
所以存在实数，使得，
当时，则，所以，
即，即在上有解，
若，则，解得，所以；
若，不符合题意；
若，则，不符合题意；
当时，，所以，
即，即在上有解，
若，则，解得；
若，不符合题意；
若，则，无解；
当时，，
所以，则，即该方程在上无解，
当时，则，
所以，即，
即在上有解，
若，则，解得；
当，不符合题意；
当时，则，无解；
当时，即，所以，即，
所以在上有解，
若，则，解得，所以；
当，不符合题意；
若，则，不符合题意；
综上，的取值范围是.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.