四川省成都市成都七中万达学校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

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1．已知集合，则（ ）
A．B． C．D．
【答案】A【详解】，故.
2．十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数，关于，，的方程没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理.则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数，关于，，的方程都没有正整数解
B．存在正整数，关于，，的方程至多存在一组正整数解
C．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解
【答案】D【详解】“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”的否定为：
存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解.
3．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，
故函数不是相同函数；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故函数不是相同函数；
对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故函数不是相同函数；
对于D，两函数的定义域都是，又，所以函数表示同一个函数.
4．已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B． C．D．
【答案】C【详解】根据题意作出函数的示意图，
由，可得，由，可得，解得，
所以不等式的解集为.故选：C.
5．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【详解】二次函数的对称轴为，
因为函数是R上的增函数，所以有，
6．下列比较大小中正确的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C【详解】解：对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误，
对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误，
对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，又，所以，故C正确，
对于D选项，在上是递增函数，又，所以，所以，故D错误.
7．已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【详解】函数，
当时，，则，则，
函数在的值域记为，
对任意的，存在，使，则，
①当时，，则，则；
②当时，因为，则，则，所以，，解得；
③当时，因为，则，即，
所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是.
8．已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，且，，此时，；
①若时，函数在区间上单调递减，则，即，
那么，当时，，，
由题意可得，则有，解得，此时，；
②当时，且当时，，则，，成立，此时；
③当时，函数在区间上单调递增，则，即，则，，
由题意可得，则有，解得，此时.综上所述，.
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB【详解】对于选项A，因为，所以，故选项A正确，
对于选项B，因为，所以，所以，故选项B正确，
对于选项C，取时，满足，
此时，，，故选项C错误，
对于选项D，当时，，，此时，故选项D错误，
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值为6
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．幂函数在上为减函数，则的值为2
D．若不等式的解集为或，则
【答案】BD
【详解】对于A，令，则 ， 是对勾函数，且在内单调递增，
当时，，所以fx的最小值为 ，故A错误；
对于B，，，则函数的定义域为，故B正确；
对于C， ，且，解得 ，故C错误；
对于D，依题意，方程 的两个解是 或 ，并且，
由韦达定理： ， ， ，D正确；
11．根据已学函数的图象与性质来研究函数的图象与性质，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，在为增函数
B．若，，方程一定有4个不同实根
C．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则8
D．若，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是
【答案】BCD
【详解】解：，当，则 ，易知在为增函数，
则在为减函数，故A错误．
设，又为奇函数，则，即是偶函数，当时，的图象如图，
所以，方程一定有4个不同实根，故B正确;
易知在为奇函数，则，
又，所以．故C正确．
由，得，整理得：，即恒成立．
当时，，因为在上无最大值，因此此时不合题意；
当时，，因为在上的最小值为2，所以，即，解得或舍去．综合可得：．故D正确．
三、填空题
12．已知函数且，则实数的值为 .
【答案】13或.
【详解】函数若，当时，，解得，符合；
当时，，解得（舍去）或，综上可得或.
13．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【答案】【详解】根据题意得，则，当且仅当即且时等号成立，
因为不等式恒成立，所以，即，解得.
14．若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】因为对任意的，，且，都有，
不妨设，则，可得，则，
构造函数，则，，所以函数在上为单调递减函数，
又因为为奇函数，所以，所以函数为上的偶函数，
所以函数在为单调递增函数，当时，即时，有，
由，可得，所以，解得，此时无解；
当时，即时，由，可得，
所以，解得或，综上可得，不等式的解集为.
四、解答题
15．已知全集，集合.
(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或x>5，(2)
【详解】（1）当时，，或，
因为，所以或，.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，满足，当时，即，此时，满足，
当时，则，解得，且和不能同时成立，
综上所述：实数a的取值范围为.
16．定义在上的函数满足，且当时，．
(1)求，的值，并判断函数的奇偶性；(2)判断并用定义证明函数在上的单调性；
【答案】(1)，，偶函数(2)函数在上单调递增，证明见解析
【详解】（1），，，又，即，
，，其定义域为，且满足，函数为偶函数；
（2）函数在上单调递增．证明：令，则，
，，在上单调递增．
17．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）
【详解】（1）由题意可得，
所以.
（2）当时，，当时，取最大值，（万元）；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为，
故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）.
18．对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记．
(1)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若，且，求使得等式成立的x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，求在区间上的最小值．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）解：由题意可得，（2）恒成立，
即对任意的恒成立，所以，解得，；
（2）解：因为，所以，
因为，，所以，时，；
①当时，，所以，又因为，所以；
②当时，，所以，
因为，，所以，，所以上式不成立；
综上可知，的取值范围是；
（3）由（2）知，且，
即，
所以当时，，所以（1），
当时，，
①当时，又，即时，；
②当时，即时，（6）；
综上，，，，
由，解得时，；
由，解得时，；
当，即时，（6）；
综上．
19．设函数的定义域分别为，且．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数．
(1)若是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式；
(2)设为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数．
①证明：当时，．
②判断在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②单调递增，证明见解析
【详解】（1）依题可知，
当时．则，
，
为奇函数，，
.
（2）①证明：当时，
，
.
②当时且单调递增，
在上单调递增，
，
即，即，
同理可得，
将上述两个不等式相加可得．
原不等式成立.