人教A版 (2019)5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切第3课时教学设计

这是一份人教A版 (2019)5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切第3课时教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

第3课时

一、教学目标
1.能够利用Sα±β，Cα±β，Tα±β推导出倍角公式，培养逻辑推理的核心素养；
2.能够正确理解“倍”的含义，增强对换元思想的应用能力，培养数学抽象的核心素养；
3.能够利用倍角公式解决数学问题，培养数学运算的核心素养.

二、教学重难点
重点：能够通过所学知识推导出倍角公式，正确理解“倍”的含义.
难点：能够利用倍角公式解决数学问题，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通，提升逻辑推理与数学运算的核心素养，增强问题解决能力.

三、教学过程
（一）创设情境

情境：在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，显示出简洁、奇峻之美．三角函数和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？让我们一起进入今天的学习：二倍角的正弦、余弦、正切公式！
师生活动：教师给出两张图片，一张是广袤无垠的大草原，一张是草原中一朵含苞待放的小白花，带领学生从生活实际出发，感受一般性与特殊性的区别与联系，从而感受三角函数和(差)角的正弦、余弦、正切公式与二倍角的正弦、余弦、正切公式之间的联系，引出本节课的内容.
设计意图：将生活实际与数学知识相关联，增强学生的学习兴趣，提升学生对二倍角公式的理解，培养学生逻辑推理的核心素养.
（二）探究新知
任务1：推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．
探究：我们前面以公式Cα−β为基础，已经得到了六个和(差)角公式.接下来，我们需要利用Sα±β，Cα±β，Tα±β推导出倍角公式，然后进行解题.
(1) Cα+β：csα+β=csαcsβ−sinαsinβ；
(2) Cα−β：csα−β=csαcsβ+sinαsinβ；
(3) Sα+β：sinα+β=sinαcsβ+csαsinβ；
(4) Sα−β：sinα−β=sinαcsβ−csαsinβ；
(5) Tα+β：tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
(6) Tα−β：tanα−β=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
你能利用上面的公式推导出sin2α、cs2α、tan2α吗？
思考：你能利用Sα±β推导出sin2α的公式吗？
提示：可以使用换元法，将β换为α．
答：已知Sα+β：sinα+β=sinαcsβ+csαsinβ，将β换为α后，得到sinα+α=sin2α=sinαcsα+csαsinα，整理得sin2α=2sinαcsα．
思考：你能利用Cα+β推导出cs2α的公式吗？
答：已知 Cα+β：csα+β=csαcsβ−sinαsinβ，将β换为α后，得到csα+α=cs2α=csαcsα−sinαsinα，整理得cs2α=cs2α−sin2α．
思考：你能利用Tα±β推导出tan2α的公式吗？
答：已知Tα+β：tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ，将β换为α后，得到tanα+α=tan2α=tanα+tanα1−tanαtanα，整理得tan2α=2tanα1−tan2α．
设计意图：利用之前所学的和角公式，应用换元的方法进行推导，提升学生对换元思想的理解和应用能力，增强学生的问题解决能力，培养学生逻辑推理的核心素养.
探究：你可以使二倍角的余弦公式C2α中仅含α的正弦或余弦吗？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
答：(1)要使二倍角的余弦公式C2α中仅含有α的正弦，根据同角三角函数的基本关系得到cs2α=1−sin2α，将其代入到cs2α=cs2α−sin2α中，得到cs2α=1−sin2α−sin2α，整理得cs2α=1−2sin2α．
(2)要使二倍角的余弦公式C2α中仅含有α的余弦，根据同角三角函数的基本关系得到sin2α=1−cs2α，将其代入到cs2α=cs2α−sin2α中，得到cs2α=cs2α−1−cs2α，整理得cs2α=2cs2α−1．
师生活动：教师引导学生思考仅含α的正弦或余弦的二倍角的余弦公式C2α，同学之间进行小组合作并回答问题，教师最后给出总结，同时根据实际情况进行针对性的解答.
设计意图：小组之间合作解决问题，增强学生的合作探究能力.教师给出总结，帮助学生进一步加深对二倍角公式的理解，增强学生的归纳总结能力，培养学生逻辑推理与数学抽象的核心素养.
总结：二倍角公式
sin2α=2sinαcsα，
cs2α=cs2α−sin2α=1−2sin2α=2cs2α−1，
tan2α=2tanα1−tan2α．
提示：这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．
师生活动：教师带领学生回顾之前所学的六个和(差)角公式，借助两角和的正弦、余弦、正切公式，教师带领学生使用换元法推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
任务2：归纳总结和(差)角公式与倍角公式之间紧密的逻辑联系．
换元
圆的旋转对称性
两点间的距离公式
思考：从和(差)角公式、倍角公式的推导过程中可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系，你能总结出来吗？
答：单位圆 两角差的余弦公式Cα−β Cα+β
Tα−β
tanα−β=sinα−βcsα−β
Sα−β
诱导公式五五
Cα−β
tanα+β=sinα+βcsα+β
Cα+β
诱导公式六五
Tα+β
Sα+β
T2α，T
换元
Tα+β
S2α，T
换元
C2α，
Sα+β
换元
Cα+β
思考：从和(差)角公式、倍角公式的推导过程中可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联倍角公式可以通过和角公式推导出来，是两角相等的特殊情形，和(差)角公式用于处理两个角的和或差，而倍角公式则用于处理一个角的两倍．两者在处理角的问题时互为补充，使三角函数的运算更加灵活多样．
师生活动：教师通过问答的方式，通过总结所学内容之间的关系，帮助学生理解和(差)角公式和倍角公式之间的逻辑联系，逐步完成这部分的教学.
设计意图：对和(差)角公式和倍角公式进行综合整理，探寻其间的逻辑联系，使知识点之间融会贯通，加深了学生对倍角公式的理解，增强学生的归纳总结能力，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养.
（三）应用举例
例1：已知sin2α=513，π4<α<π2，求sin4α，cs4α，tan4α的值．
解：由π4<α<π2，得π2<2α<π.又sin2α=513，所以cs2α=1−5132=−1213.于是sin4α=sin2×2α=2sin2αcs2α=2×513×−1213=−120169；cs4α=cs2×2α=1−2sin22α=1−2×5132=119169；tan4α=sin4αcs4α=−120169×169119=−120119.
总结：我们在解答二倍角的相关问题时，首先要理解“倍”的含义．“倍”是描述两个数量之间关系的，例如2α是α的二倍，α2是α4的二倍，这里蕴含着换元思想．以例1为例，sin4α，cs4α，tan4α中的4α便是2α的二倍，我们就可以使用倍角公式进行解答．
例2：在△ABC中，csA=45，tanB=2，求tan2A+2B的值．
各抒己见：2A+2B与A，B之间能构成怎样的关系？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
答：我们可以把2A，2B分别看作A，B的倍角，然后把2A+2B看作2A与2B的和角．也可以把2A+2B看作A+B的倍角．这两种方法分别体现了2A+2B与A，B之间不同的内在联系．
解法1：在△ABC中，csA=45，由0解法2：在△ABC中，由csA=45，0总结：二倍角公式的变换：
(1)因式分解变换：cs2α=1−2sin2α=2cs2α−1=cs2α−sin2α=csα+sinαcsα−sinα；
(2)降幂公式(降幂扩角变换)：cs2α=1+cs2α2，sin2α=1−cs2α2；
(3)升幂公式(升幂缩角变换)：1+csα=2cs2α2，1−csα=2sin2α2.
例3：(多选)下列各式的值为12的是( )．
A. sin7π6B. 2sinπ12sin5π12C. 22csπ12+sinπ12D. tanπ81−tan2π8
解：对于A，sin7π6=−sinπ6=−12，故A错误；
对于B，2sinπ12sin5π12=2sinπ12csπ12=sinπ6=12，故B正确；
对于C，22csπ12+sinπ12=22csπ12+22sinπ12=sinπ4csπ12+csπ4sinπ12=sinπ4+π12=sinπ3=32，故C错误；
对于D，tanπ81−tan2π8=12×2tanπ81−tan2π8=12tanπ4=12，故D正确．故选：BD．
总结：公式的逆用及拓展：
sin3αcs3α=12sin6α，4sinα4csα4=2sinα2，cs22α−sin22α=cs4α；
1±sin2α=1±2sinαcsα=sinα±csα2；
cs4α−sin4α=cs2α，cs4α+sin4α=1−2sin2αcs2α．
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1，2)，则sinα+cs2α=( )．
A. 15 B. 45 C. 13 D. 95
解：根据任意角的三角函数的定义，可得csα=14+1=55，sinα=24+1=255，sin2α=sinαcsα=45，cs2α=2cs2α−1=−35，∴sin2α+cs2α=15，故选：D．
2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=−3x上，则tan2θ+π4=( )．
A. −17B.17C. 7D.−7
解：由于直线y=−3x经过第二、第四象限，故角θ的终边在第二、或第四象限，①若角θ的终边在第二象限，在角θ的终边y=−3x上任意取一点−1，3，则由任意角的三角函数的定义，可得tanθ=−3；②若角θ的终边在第四象限，在角θ的终边y=−3x上任意取一点1，−3，则由任意角的三角函数的定义，可得tanθ=−3，于是tan2θ=2tanθ1−tan2θ=34，故tan2θ+π4=tan2θ+tanπ41−tan2θtanπ4=34+11−34=7．故选：C．
3.已知角α终边上一点M的坐标为1，3，则sin2α=( )．
A. −12 B. 12 C. −32 D. 32
解：因为角α终边上一点M的坐标为1，3，所以OM=1+3=2，sinα=32，csα=12．则sin2α=2sinαcsα=2×32×12=32．故选D．
4.已知点P4，3是角α的终边上一点，则tanα2=( )．
A. 13B. ±13 C. −3 D. 3
解：因点P4，3是角α的终边上一点，则tanα=34，而tanα=2tanα21−tan2α2，于是得2tanα21−tan2α2=34，解得tanα2=13或tanα2=−3，显然2kπ<α<2kπ+π4，k∈Z，即kπ<α25.已知锐角α的终边上一点Psin40°，1+cs40°，则锐角α=( )．
A. 80°B.20° C. 70° D.10°
解：∵锐角α的终边上一点Psin40°，1+cs40°，∴sin40°>0，1+cs40°>0，∴终边上一点P在第一象限，∴tanα=yx=1+cs40°sin40°=2cs220°2sin20°cs20°=cs20°sin20°=tan70°，α为锐角，∴α=70°，故答案选：C．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.