九年级数学上册单元巧练（人教版）第二十二章 二次函数（知识归纳+题型突破）（八大题型，100题）（解析版+原卷版）

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1、会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；
2、会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图；通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系；
3、会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题；
4、知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求-元二次方程的近似解。
题型一二次函数图象与各项系数符号
【例1】二次函数图象如图，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A．②③④B．①②④C．②③D．①②③④
巩固训练：
1．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，则下列各式正确的是（ ）

A．B．C．D．
2．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，则 0（填“”“”“”）

3．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，下列判断正确的是（ ）

A．B．当时，y随x的增大而减小
C．点B的坐标为D．
4．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论：①；②；③；④若m为任意实数，则，其中正确的是（ ）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
5．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）已知二次函数的图象如图所示且过，有以下结论：①；②；③；④；⑤．⑥若实数则；其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④．正确结论的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）某足球队在某次训练中，一队员在距离球门处挑射，正好射中了高的球门横梁．若足球运动的路线是抛物线，如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A．①③B．②③C．①④D．②④
8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）

A．4B．3C．2D．1
9．（2023·山东泰安·校考三模）如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，直线是对称轴，有下列结论：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；其中正确结论有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
10．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③，是抛物线上两点，则；
④若关于x的一元二次方程没有实数根，则；
⑤对于任意实数m，总有．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．（2020秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，正确的结论有 ．

12．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④已知、在该二次函数图像上，当且时，都有．其中正确的结论有 ．（填序号）

13．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．

题型二 二次函数对称性应用
【例2】（2023·陕西西安·校考二模）已知抛物线过不同的两点和，若点在这条抛物线上，则的值为（ ）
A．或B．C．D．或
【例3】（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标．
巩固训练
1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若抛物线上的，Q两点关于直线对称，则Q点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏南通·统考一模）抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则抛物线上的点在抛物线上的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·九年级假期作业）已知点、、在二次函数的图象，且C为抛物线的顶点．若，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图象的对称轴是直线 ．
8．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）抛物线经过和两点，则a值为 ．
9．（2023·浙江·九年级假期作业）如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是 ．
10．（2023·上海·一模）二次函数图像上部分点的坐标满足如表：
那么m的值为 ．
11．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
(1)若对于，有，求的值；
(2)若对于，，都有，求的取值范围．
12．（2023秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．

(1)求抛物线的对称轴及值；
(2)抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标；
(3)点是抛物线上一动点，且在第三象限，当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积．
13．（2023·山东临沂·统考二模）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形的面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标．
题型三 二次函数图象的综合问题
【例4】（2023·全国·九年级专题练习）在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( )
A． B． C． D．
【例5】（2023春·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
巩固训练
1．（2023·全国·九年级专题练习）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）不经过第三象限，那么的图象大致为 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）抛物线与直线同一坐标系的大致可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·广西南宁·八年级三美学校校考期末）记实数、，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为（ ）
A．－3B．－2C．2D．3
7．（2023·河南漯河·统考二模）已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)是x轴上方抛物线上的一动点，且与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交于点，设的长为，当随的增大而减小时，求的取值范围．
8．（2022春·九年级课时练习）已知抛物线与轴交于点，其关于轴对称的抛物线为：，且经过点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，抛物线与轴的交点记为点和点（在的右侧），与轴交于点，如果满足与相似，请求出平移后抛物线的表达式．
题型四 二次函数待定系数法
【例7】（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）在直角坐标平面内，抛物线，经过点与点．求：
(1)求抛物线的表达式；
(2)写出该抛物线的顶点坐标．
【例8】（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）在直角坐标平面内，抛物线，经过点与点．求：
(1)求抛物线的表达式；
(2)写出该抛物线的顶点坐标．
巩固训练
1．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）抛物线的顶点在，且过点，则函数的关系式： ．
2．（2023·全国·九年级专题练习）将抛物线沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ．
3．（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）一抛物线以为顶点，且经过点，求该抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标．
4．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求这个函数的解析式；
(2)求这条抛物线的顶点坐标．
5．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）已知抛物线过点和，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的顶点的坐标．
6．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）关于的函数的图像是一条开口向上的抛物线，对称轴为直线，求这条抛物线的顶点坐标．
7．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线的顶点，连接、，求的面积．
9．（安徽省安庆市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出点和点的坐标；
(3)若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．
10．（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，，点P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作轴，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值是________；
(3)求的最大值；
11．（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点．

(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求的面积；
(3)是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．
题型五 二次函数图象平移
【例9】（2023秋·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的解析式（ ）
A． B． C． D．
巩固训练：
1．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如果点在抛物线上，将此抛物线向右平移3个单位后，点同时平移到点，那么坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口方向向下B．当时，函数有最大值
C．当时，随的增大而减小D．该抛物线可由经过平移得到
3．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象关于x轴对称后，再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为( )
A．B．C．D．
4．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）若将抛物线所在的平面直角坐标系中的x轴向上平移1个单位，把y轴向右平移2个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系下的函数表达式为 ．
5．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）点是抛物线：上一点，将抛物线平移，得到抛物线：，点P平移后的对应点为点，则点坐标为 ．
6．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，求得到的新抛物线的解析式．
7．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）已知二次函数图像的对称轴为直线．
(1)求a的值；
(2)将该二次函数的图像沿x轴向右平移2个单位后得到一个新的二次函数，求新二次函数的解析式．
8．（2023·全国·九年级专题练习）已知一个二次函数的图像如图所示，将该函数图像先向左平移2个单位再向下平移1个单位得到新函数的图像，求出新函数的表达式．
9．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，二次函数的图像经过点，顶点坐标为．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，的取值范围为_______；
(3)直接写出该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点，且与轴只有一个公共点．
题型六 二次函数图象、方程与不等式
【例10】（2022秋·河北保定·九年级校考阶段练习）根据下列表格对应值：判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A．B．C．D．无法判定
【例11】如图，二次函数的图象与y交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B．
(1)求二次函数与一次函数的表达式．
(2)根据图象，写出满足的x的取值范围．
巩固训练：
1．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解为（ ）

A．，B．，C．，D．，
2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）如图，二次函数的图象与y轴的交点在与之间，对称轴为，函数最大值为，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则；⑤当时，随的增大而减小．其中正确的结论有( )

A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（ ）

A．，B．，C．，D．，
4．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标为 ．
5．（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）已知：二次函数，
①当时，随的增大而减小
②若图象与轴有交点，则
③当时，不等式的解集是
④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点，则
其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）
6．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴是直线．
(1)求函数的解析式；
(2)当x取何值时，y随x的增大而减小？
(3)当x取何值时，函数值y大于0．
7．（2022秋·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图像上一对对称点，一次函数的图像过点、．

(1)直接写出点、的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)将二次函数向左平移2个单位，并向下平移2个单位，写出得到的图像的解析式；
(4)根据图像求的解集．
8．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）已知二次函数．
(1)求出该抛物线与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，顶点坐标，并画出函数的图象；
(2)直接写出当时，的取值范围_____，当时，的取值范围_____．
9．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）如图，已知二次函数的图象过和两点，

(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线，并直接写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
题型七 二次函数图象实际应用问题
【例12】（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）某商店开始时，将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件，店方想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．
(1)如果涨价3元，每天的销售利润是多少？
(2)如何定价，使每天所得的利润最大？最大利润是多少？
【例13】（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
巩固训练：
1．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．

(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若矩形空地的面积为，求的值；
(3)为何值时，有最大值？最大值是多少？
2．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）某鱼塘里饲养了鱼苗10千尾，预计平均每千尾鱼的产量为．若再向该鱼塘里投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少．
(1)如果再投放鱼苗后能使总产量为，那么应再投放鱼苗多少千尾？
(2)应再投放鱼苗多少千尾时，能使总产量y最大？最大总产量y是多少？
3．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）超市某种水果的进价是每千克元，当售价为每千克元时，每天可售出千克，若每千克降价元，每天的销售量将增加千克．
(1)若超市每天销售这种水果获利元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的售价为每千克多少元？
(2)求该种水果每千克售价为多少元时，超市一天销售该种水果所获利润最大？并求出最大利润．
4．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)求这枝垂柳的最高点P到地面的距离；
(3)踩着高跷的小明头顶距离地面，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？
5．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）心理学家研究发现，某年龄段的学生内对概念的接受能力y与提出概念所用时间x之间的函数表达式：：
(1)所用时间为多少时学生接受概念的能力最强？并说明理由
(2)什么时段学生接受概念的能力逐步降低？为什么？
6．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）空气净化器可以保持室内空气清鲜，某商场代理销售某种空气净化器，其进价是500元/台，经过市场销售后发现，当售价是1000元/台时，每月可售出50台，且售价每降低20元，每月就可多售出5台，且每次降价均以20元为一个单位．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务．
(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
(2)当售价x(元/台)定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大并且尽可能让利于消费者?此时的最大利润是多少?
7．（2022秋·河北张家口·九年级张家口市实验中学校考期中）524红薯富含膳食纤维，维生素（A，B，C，D，E）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱．某土特产批发店以30元/箱的价格进货．根据市场调查发现，批发价定位58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱．
(1)直接写出每天的利润 与降价 元的函数关系式；
(2)当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？
(3)要使每天的利润为21600元，并让利于民，应降价多少元？
8．（2020秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒，回答下列问题：

(1)运动开始后第几秒时的面积等于．
(2)设五边形的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．
9．（2023·上海·九年级假期作业）如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽为12米，如图建立直角坐标系．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中）
10．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）一位运动员投掷铅球的成绩是，当铅球运行的水平距离是时达到最大高度，若铅球运行的路线是抛物线，如图建立平面直角坐标系，

(1)求此抛物线的解析式；
(2)求铅球出手时距地面的高度．
11．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点E到的距离为．

(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点G、M在上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/．已知，求每个B型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户的成本）
12．（2023春·北京海淀·九年级校考阶段练习）某景观公园的人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下表中的数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．

(2)①求喷泉抛物线的解析式；
②求喷泉的落水点距水枪的水平距离．
(3)已知喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为，此时喷泉 （填“会”或“不会”）喷到水池外．
13．（2023·山东聊城·统考三模）如图，是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．

(1)灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表．
结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程的长度．
(2)为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式，此水流最大射程米，求此水流距离地面的最大高度．
14．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．

(1)当___________时，元/；
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
15．（2023·陕西渭南·统考二模）夏天到了，姗姗的妈妈买了一个防蚊罩以保护饭菜（如图1），将罩子开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形．姗姗测得罩子的直径为40厘米，罩子内壁的最大高度为20厘米，她以罩子左边缘点为原点、所在的水平线为x轴建立平面直角坐标系（如图2）．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)某天，姗姗将一盘菜沿水平线（圆形盘子直径与重合）放置在罩子下，盘子左侧边缘离O点的水平距离为4厘米，她想在盘子右侧紧挨盘子沿水平线再放置高度为6厘米的一碗稀饭（碗的俯视图也是圆形，其直径与重合），已知盘子和碗的直径分别为20厘米、12厘米，要使罩子紧贴水平桌面，请通过计算说明：她这样放，罩子能否接触到碗？
16．（2023·全国·九年级假期作业）2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．

某跳水运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
②运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）．
17．（2023·湖北武汉·统考中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
题型八 二次函数图象综合问题
【例14】（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，二次函数的图像与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点P是直线上方抛物线上的一个动点，连接．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)设的面积为S，点P的横坐标为m，求S与m之间的函数表达式；
(3)点P在运动过程中，能否使的面积S恰好为整数？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
巩固训练：
1．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第三象限内二次函数图象上一动点，设点P的横坐标为m，过点p作直线分别交x轴，y轴于点D，E．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的表达式；
(2)当时，求m的值；
(3)连接，试探究：在点P的运动过程中，是否存在点P，使得是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与实践
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接．

(1)求抛物线的解析式：
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．
3．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，抛物线：与轴交于，．与轴交于点，点的坐标为．

(1)请求出的解析式及对称轴．
(2)当点在上时，求的值．
(3)过点作轴的垂线，分别与轴、抛物线交于点，．若点，，三点不重合，当其中两点关于第三点对称时，直接写出的值．
4．（2023年辽宁省盘锦市光正、实验、兴隆中学多校联考中考一模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线过A、B两点，点D为线段上一动点，过点D作轴于点C，交抛物线于点E．

(1)求抛物线的解析式．
(2)连接，若，求出点D的坐标．
(3)若点E关于直线的对称点的横纵坐标相等，请直接写出点E的坐标．
5．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点，作，垂足为，若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的面积的最大值；
(3)如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由．
6．（2022秋·湖北宜昌·九年级枝江市实验中学校联考期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．

(1)请写出抛物线的顶点坐标______；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标_____；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为______．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．
7．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
8．（2022秋·四川南充·九年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图1，抛物线，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于点E，当时，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由．
知识点1：二次函数的概念及解析式
1.二次函数的定义
y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
知识点2：二次函数的图像和性质
2.解析式
（1）三种解析式：
①一般式：y=ax2+bx+c;
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
3.二次函数的图象和性质
图象
开口
向上
向下
对称轴
x＝
顶点坐标
增减性
当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.
当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.
最值
x=，y最小＝.
x=，y最大＝.
3.系数a、b、c的作用
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点3：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）
x
…
…
y
…
…
x
1.1
1.2
1.3
1.4
0.84
2.29
3.76
0
2
3
4
…
…
水平距离x/米
0
0.6
1
2
3
4
竖直高度y/米
1.5
1.71875
1.875
2
1.875
1.5
水平距离
0
竖直高度
飞行时间
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离
0
10
20
30
40
…
飞行高度
0
22
40
54
64
…