第五单元专练篇·11：含圆的阴影部分图形面积“进阶版”2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

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1．已知图中四个圆的直径都是10厘米，求涂色部分的面积。
【答案】257平方厘米
【分析】首先直接计算正方形中间的涂色部分的面积不好计算，可以看出正方形中的空白部分是4个四分之一圆，用割补法就可以得到下图：
原图涂色部分的面积就等于边长是10厘米的正方形面积与4个半径是5厘米的半圆（就是2个圆）的面积之和。再根据公式正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝进行计算即可。
【详解】102＋（10÷2）2×3.14×2
＝100＋52×3.14×2
＝100＋25×3.14×2
＝100＋157
＝257（平方厘米）
涂色部分的面积为257平方厘米。
2．计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】28.5平方厘米
【分析】根据题意，求的是正方形中阴影部分的面积，已知正方形边长为10厘米，先沿着正方形的对角做2条辅助线，然后利用割补迁移法（如图所示）将左下角的椭圆沿着正方形对角线1分为2，分开后，补在月牙图形上，然后，利用圆减蓝色部分正方形面积的一半即可求得阴影部分面积。
【详解】×3.14×102−×10×10
＝0.785×100−5×10
＝78.5−50
＝28.5（平方厘米）
答：阴影部分的面积是28.5平方厘米。
3．如图，已知等腰直角三角形ABC，直角边为3厘米，圆的半径为1厘米，求阴影部分的面积。
【答案】2.93平方厘米
【分析】由三角形的内角和是180度可知，三个扇形的面积等于半径为1厘米的圆面积的一半，阴影部分的面积等于等腰直角三角形ABC的面积减去半径为1厘米的圆面积的一半，据此列式解答即可。
【详解】3×3÷2－3.14×÷2
＝9÷2－3.14÷2
＝4.5－1.57
＝2.93（平方厘米）
【点睛】本题考查了组合图形的面积的计算方法，明确三个扇形的面积等于半径为1厘米的圆面积的一半是解题的关键。
4．求图中阴影部分的面积（图中，长方形内有一个最大的半圆，半圆内有一个最大的长方形）。
【答案】35.75cm2
【分析】
如图，求出图中阴影部分的面积，除以2就是所求阴影部分的面积。阴影部分的面积＝大正方形面积－空白部分的面积，空白部分的面积＝圆的面积－小正方形的面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，将小正方形分成2个完全一样的等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，乘2就是小正方形的面积，据此列式计算。
【详解】空白部分的面积：3.14×（10÷2）2－10×5÷2×2
＝3.14×52－50
＝3.14×25－50
＝78.5－50
＝28.5（cm2）
阴影部分的面积：10×10－28.5
＝100－28.5
＝71.5（cm2）
所求阴影部分的面积：71.5÷2＝35.75（cm2）
阴影部分的面积是35.75cm2。
【点睛】关键是看懂图示，转化成完整的图形后，再求阴影部分的面积。
5．求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】22.26平方厘米
【分析】观察图形，正方形左下角空白部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，阴影部分的面积＝大三角形的面积－正方形左下角空白部分的面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算求解。
【详解】6×6－3.14×62×
＝36－3.14×36×
＝36－28.26
＝7.74（平方厘米）
（6＋4）×6÷2－7.74
＝10×6÷2－7.74
＝30－7.74
＝22.26（平方厘米）
阴影部分的面积是22.26平方厘米。
6．求下图中阴影部分的面积。
【答案】12.5平方厘米
【分析】观察图形可知，阴影部分面积等于边长是5厘米的正方形面积，减去半径是（5÷2）厘米的圆的面积，再除以2，再加上半径是（5÷2）厘米的圆的面积一半；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】[5×5－3.14×（5÷2）2]÷2＋3.14×（5÷2）2÷2
＝[25－3.14×2.52]÷2＋3.14×2.52÷2
＝[25－3.14×6.25]÷2＋3.14×6.25÷2
＝[25－19.625]÷2＋19.625÷2
＝5.375÷2＋9.8125
＝2.6875＋9.8125
＝12.5（平方厘米）
阴影部分面积是12.5平方厘米。
7．求阴影部分的面积。
【答案】6.28平方分米
【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝半径为4分米的圆面积×－直径为4分米的圆面积×，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。
【详解】3.14×42×－3.14×（4÷2）2×
＝3.14×16×－3.14×4×
＝12.56－6.28
＝6.28（平方分米）
阴影部分的面积是6.28平方分米。
8．如图，已知圆的周长是25.12厘米，圆的面积与长方形的面积相等，求阴影部分的周长和面积。
【答案】周长31.4厘米；面积37.68平方厘米
【分析】已知圆的面积与长方形的面积相等，由圆的面积公式推导过程可知，长方形的宽等于圆的半径r，长等于圆的周长的一半πr，则2条长相当于圆的周长；
如下图，把长方形右边的宽移补到箭头所示的位置，那么阴影部分的周长＝圆周长的＋2条长＝圆周长的＋圆的周长；据此求出阴影部分的周长。
已知圆的周长是25.12厘米，先根据r＝C÷π÷2，求出圆的半径。
已知圆的面积与长方形的面积相等，观察图形可得，阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积＝圆的面积－圆的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。
【详解】圆的半径：25.12÷3.14÷2＝4（厘米）
阴影部分的周长：
25.12×＋25.12
＝6.28＋25.12
＝31.4（厘米）
阴影部分的面积：
3.14×42－3.14×42×
＝3.14×16－3.14×16×
＝50.24－12.56
＝37.68（平方厘米）
阴影部分的周长是31.4厘米，面积是37.68平方厘米。
9．求如图所示图中阴影部分的周长和面积。
【答案】20.7cm；9.8125cm2
【分析】看图可知，阴影部分的周长＝半径5cm的圆的周长×＋直径5cm的圆周长的一半＋5cm，圆的周长＝圆周率×直径；
阴影部分的面积＝半径5cm的圆的面积×－直径5cm的半圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式计算。
【详解】2×3.14×5×＋3.14×5÷2＋5
＝7.85＋7.85＋5
＝20.7（cm）
3.14×52×－3.14×（5÷2）2÷2
＝3.14×25×－3.14×2.52÷2
＝19.625－3.14×6.25÷2
＝19.625－9.8125
＝9.8125（cm2）
10．求图中阴影部分的面积（单位：厘米）
【答案】3.14平方厘米
【分析】如图：，观察图形可知，阴影部分面积＝底是4厘米，高是2厘米的三角形面积－右下角空白面积；右边空白面积＝边长是（4÷2）厘米的正方形面积－半径是（4÷2）厘米圆的面积的，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2；正方形面积公式：面积＝边长×边长；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】4×2÷2－[（4÷2）×（4÷2）－3.14×（4÷2）2×]
＝8÷2－[2×2－3.14×22×]
＝4－[4－3.14×4×]
＝4－[4－12.56×]
＝4－[4－3.14]
＝4－0.86
＝3.14（平方厘米）
阴影部分面积是3.14平方厘米。
11．如图中阴影部分的面积是多少？
【答案】114
【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝圆的面积－圆内正方形的面积；
已知圆的直径是20，则圆的半径是（20÷2），根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积；
用一条对角线把圆内正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径20，高等于圆的半径（20÷2）；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是圆内正方形的面积；
最后用圆的面积减去圆内正方形的面积，即可求出阴影部分的面积。
【详解】3.14×（20÷2）2－20×（20÷2）÷2×2
＝3.14×102－20×10÷2×2
＝3.14×100－200÷2×2
＝314－200
＝114
阴影部分的面积是114。
12．求阴影部分的面积（π取3.14）。
大圆直径8厘米
小圆直径4厘米
【答案】18.84平方厘米
【分析】通过旋转，阴影部分可以拼成半个圆环，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），求出圆环面积，除以2即可。
【详解】8÷2＝4（厘米）
4÷2＝2（厘米）
3.14×（42－22）
＝3.14×（16－4）
＝3.14×12
＝37.68（平方厘米）
37.68÷2＝18.84（平方厘米）
阴影部分的面积是18.84平方厘米。
13．图中阴影部分的面积是30平方分米，求圆的面积。π取3.14。
【答案】94.2平方分米
【分析】由图片可知，阴影部分是正方形，它的边长等于圆的半径。设正方形边长为x分米，则圆的半径为x分米。x2＝30，圆的面积＝π×x2，据此解答。
【详解】解：设阴影部分正方形边长为x分米，则圆的半径为x分米。
x2＝30
π×x2
＝π×30
＝3.14×30
＝94.2（平方分米）
即，圆的面积是94.2平方分米。
14．如图，两个相同的半圆叠拼放置，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】41.04平方厘米
【分析】
如图：，4个阴影部分的面积相等，2个阴影部分面积等于半径是（12÷2）厘米的半圆面积减去底是12厘米，高是（12÷2）厘米的三角形面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径×半径，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出2个阴影部分面积，再乘2，即可解答。
【详解】3.14×（12÷2）2÷2－12×（12÷2）÷2
＝3.14×62÷2－12×6÷2
＝3.14×36÷2－72÷2
＝113.04÷2－36
＝56.52－36
＝20.52（平方厘米）
20.52×2＝41.04（平方厘米）
阴影部分面积是41.04平方厘米。
15．求下图中阴影部分的面积。
【答案】7.74平方分米
【分析】看图，阴影部分的面积等于三角形的面积减去圆的面积。三角形面积＝底×高÷2，圆面积＝πr2，其中三角形的底是（6×2）分米，高是6分米，圆的半径是（6÷2）分米。将数据代入公式，先分别求出三角形和圆的面积，再将三角形的面积减去圆的面积，求出阴影部分的面积即可。
【详解】6×2＝12（分米）
6÷2＝3（分米）
12×6÷2－3.14×32
＝36－28.26
＝7.74（平方分米）
所以，阴影部分的面积是7.74平方分米。
16．求阴影部分的面积。（π取3.14，单位：cm。）
【答案】214cm2
【分析】阴影部分的面积＝半径为20cm的圆的面积的－底为10cm高为20cm的三角形面积。圆的面积S＝πr2，三角形面积＝底×高÷2。
【详解】
＝3.14×400×－100
＝314－100
＝214（cm2）
阴影部分的面积是214cm2。
17．求阴影部分的面积。（长度单位：厘米）

【答案】19.44平方厘米；20平方厘米
【分析】（1）观察图形可知，阴影部分的面积＝平行四边形的面积－圆的面积；根据平行四边形的面积公式S＝ah，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解；
（2）如下图箭头所示，把阴影部分移到一起，这样阴影部分组成一个上底为（7－4）厘米、下底为7厘米、高为4厘米的梯形，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，代入数据计算求解。
【详解】（1）8×4－3.14×（4÷2）2
＝32－3.14×4
＝32－12.56
＝19.44（平方厘米）
阴影部分的面积是19.44平方厘米。
（2）（7－4＋7）×4÷2
＝10×4÷2
＝20（平方厘米）
阴影部分的面积是20平方厘米。
18．求下面图形中阴影部分的周长和面积。

【答案】35.4cm；31.4cm2
41.12cm；6.88cm2
【分析】如图所示，圆环的内直径是8cm，外直径是12cm，阴影部分周长等于内外圆周长的一半的和加上圆环宽度的2倍；利用圆环的面积公式求出整个圆环的面积，阴影面积等于圆环面积的一半。
如图所示，阴影部分周长是直径为4cm的圆的周长的2倍与正方形周长的和；正方形面积减去圆的面积是阴影面积的一半，求出一半阴影部分的面积乘2即可。
【详解】周长：
（cm）
第一个阴影部分的周长是35.4cm。
面积：
（cm2）
第一个阴影部分的面积是31.4cm2。
周长：
（cm）
第二个阴影部分的周长是41.12cm。
面积：
（cm2）
第二个阴影部分的面积是6.88cm2。
19．求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米，圆周率取3.14）
【答案】1平方厘米；2平方厘米
【分析】面对不规则图形，我们可以先把图形进行切割和拼接变成我们熟悉的图形后再计算。
第一幅图，将两部分阴影部分合在一起，可以形成边长为1厘米的正方形，正方形面积＝边长×边长，据此列式计算；
第二幅图，将右边尖角形的阴影部分剪开并旋转拼到左边可以形成一个长2厘米宽（2÷2）厘米的长方形，长方形面积＝长×宽，据此列式计算。
【详解】1×1＝1（平方厘米）
2×（2÷2）
＝2×1
＝2（平方厘米）
图形阴影部分的面积分别是1平方厘米、2平方厘米。
20．求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米，圆周率取3.14）

【答案】4.5平方厘米；25平方厘米
【分析】第一幅图，通过对称，将右边阴影部分补到左边，可以拼成等腰三角形，直角三角形的两直角边可以看作底和高，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可；
第二幅图，通过对称，将右边阴影部分补到左边，可以拼成等腰三角形，三角形的底10厘米，高等于圆的半径（10÷2）厘米，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。
【详解】3×3÷2＝4.5（平方厘米）
10×（10÷2）÷2
＝10×5÷2
＝25（平方厘米）
阴影部分的面积分别是4.5平方厘米，25平方厘米。