第五单元专练篇·12：含圆的阴影部分图形面积“拓展版”2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

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一、图形计算。
1．求下图阴影部分的面积。（单位：米。）

【答案】6平方米
【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝直径是3米的圆的面积一半＋直径是4米的圆的面积一半＋底是3米，高是4米的三角形面积－直径是5米的圆的面积一半，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2
＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋12÷2＋3.14×2.52÷2
＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6＋3.14×6.25÷2
＝3.5325＋6.28＋6－9.8125
＝6（平方米）
阴影部分的面积是6平方米。
2．求涂色部分的面积。

【答案】30.5cm2
【分析】
如上图，空白1的面积是长方形面积减半径为6的圆的面积的；涂色部分面积是半径为8厘米圆的面积的减去空白1的面积。长方形面积＝长×宽，圆的面积＝半径×半径×3.14，将数值代入计算即可。
【详解】空白1的面积：
6×8－3.14×62÷4
＝48－28.26
＝19.74（cm2）
涂色部分的面积：
3.14×82÷4－19.74
＝50.24－19.74
＝30.5（cm2）
【点睛】本题考查了圆的面积与长方形面积的应用。将不规则的空白1面积转化为长方形面积减圆面积的，是解答本题的关键。
3．求阴影部分的面积。（单位：厘米）

【答案】28.5平方厘米
【分析】如下图，连接BD。阴影①和阴影②的面积和＝以BC为直径的半圆面积－△BDC的面积；阴影③的面积＝以AB为半径的圆面积的－△ABD的面积；用阴影①和阴影②的面积和加上阴影③的面积即可求出图中阴影部分的面积。因为△ABC是等腰直角三角形，所以△BDC和△ABD是完全一样的等腰直角三角形，即△BDC的面积和△ABD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。

【详解】[3.14×（10÷2）2÷2－10×10÷2÷2]＋[3.14×102×－10×10÷2÷2]
＝[3.14×52÷2－100÷2÷2]＋[3.14×100×－100÷2÷2]
＝[3.14×25÷2－25]＋[314×－25]
＝[78.5÷2－25]＋[39.25－25]
＝[39.25－25]＋[39.25－25]
＝14.25＋14.25
＝28.5（平方厘米）
4．计算下图中阴影部分的面积。单位（厘米）
【答案】22.26平方厘米
【分析】连接正方形的对角线，则阴影部分的面积等于半径为6厘米的圆的面积的减去底和高都为6厘米的三角形的面积，再加上底为4厘米，高为6厘米的三角形的面积即可，根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此进行计算即可。
【详解】如图：
3.14×62×－6×6÷2＋4×6÷2
＝3.14×62×－36÷2＋24÷2
＝3.14×36×－36÷2＋24÷2
＝28.26－18＋12
＝10.26＋12
＝22.26（平方厘米）
5．计算阴影部分的周长和面积。
（1）
（2）
【答案】（1）周长：47.lcm
面积：78.5cm2
（2）周长：22.28cm
面积：12.56cm2
【分析】（1）根据上图可知，阴影部分的周长＝半径为10厘米的圆的周长的＋直径为10厘米的圆的周长；通过旋转后得出阴影部分的面积正好是半径为10厘米的圆的面积的；
（2）通过观察上图发现：两个阴影部分都是半径为4厘米的扇形并且圆心角的和180°－90°＝90°，90°÷360°＝，那么它们的周长的和是半径为4厘米圆周长的＋4个半径；面积和为：整圆面积的，据此解答。
【详解】（1）周长：
3.14×10×2×＋3.14×10
＝31.4×2×＋31.4
＝15.7＋31.4
＝47.l（cm）
面积：3.14×102×
＝314×
＝78.5（cm2）
（2）周长：3.14×4×2×＋4×4
＝12.56×2×＋16
＝6.28＋16
＝22.28（cm）
面积：3.14×42×
＝50.24×
＝12.56（cm2）
【点睛】是明确弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积和或差求解。
6．梯形的面积是54cm2，求下图中阴影部分的面积。（单位：cm）
【答案】14.13平方厘米
【分析】梯形的高等于半圆的直径，梯形的高＝梯形的面积×2÷上下底之和，阴影部分的面积＝半径为梯形高的圆面积的 －直径为梯形高的圆的 ，据此解答。
【详解】54×2÷（8＋10）
＝108÷18
＝6（厘米）
3.14×62×－3.14×（6÷2）2×
＝3.14×9－3.14×4.5
＝14.13（平方厘米）
7．求下图中阴影部分面积。
【答案】257
【分析】图中圆的面积减去菱形的面积能得到四周四个阴影部分的面积，有2个阴影部分在平行四边形内部，所以求出的面积除以2，再加上平行四边形面积减去菱形面积即可求出阴影部分面积。
【详解】圆内部阴影部分面积的：
3.14×－20×20÷2
＝3.14×100－200
＝114
114÷2＝57
平行四边形内部阴影部分面积：
20×20－20×20÷2
＝400－200
＝200
阴影部分面积：200＋57＝257
故阴影部分的面积为257。
【点睛】本题主要考查圆的面积，同时要注意平行四边形中的阴影部分面积包含了2个圆四周的阴影部分面积。
8．计算下图中阴影部分的面积。
【答案】107平方厘米
【分析】沿虚线剪拼如下：
由图可知阴影部分面积＝半圆面积－三角形面积。
【详解】3.14×（20÷2）2÷2－（20÷2）×（20÷2）÷2
＝3.14×50－100÷2
＝157－50
＝107（平方厘米）
【点睛】本题主要考查阴影部分的面积，解题的关键是通过剪拼转化原图。
9．求阴影部分的面积。（单位：分米）
【答案】88.32平方分米；19.44平方分米
【分析】如图：

第一题观察图可知，由于②是等腰三角形，一个底角是30°，由此即可求出圆心角；①＋②的面积相当于一个圆心角为120°，直径是24分米的扇形面积，②的面积相当于底是（24÷2）分米、高是10.4分米的三角形面积，根据三角形的面积公式，用（24÷2）×10.4÷2即可求出②的面积，根据扇形的面积公式，用3.14×（24÷2）2×即可求出扇形的面积，最后用扇形的面积减去②的面积，即可求出阴影部分的面积。
第二题阴影部分的面积＝一个上底为4分米、下底为12分米、高为4分米的梯形面积－一个半径是4分米的圆面积的，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，用（4＋12）×4÷2即可求出梯形的面积，用3.14×42×即可求出圆面积的是多少，最后将两部分相减，即可求出阴影部分的面积。
【详解】（24÷2）×10.4÷2
＝12×10.4÷2
＝62.4（平方分米）
3.14×（24÷2）2×
＝3.14×122×
＝3.14×144×
＝150.72（平方分米）
150.72－62.4＝88.32（平方分米）
第一题阴影部分的面积是88.32平方分米。
（4＋12）×4÷2
＝16×4÷2
＝32（平方分米）
3.14×42×
＝3.14×16×
＝12.56（平方分米）
32－12.56＝19.44（平方分米）
第二题阴影部分的面积是19.44平方分米。
10．求下面图形中涂色部分的面积（单位：厘米）
【答案】25.12平方厘米；48平方厘米
【分析】圆环面积＝大圆面积－小圆面积，根据S＝πr2，将数值代入计算；
将原图割补后如图所示：
涂色部分的面积＝梯形的面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，将数值代入计算即可。
【详解】圆环面积：
3.14×（6÷2）2－3.14×（2÷2）2
＝3.14×9－3.14
＝25.12（平方厘米）
梯形涂色面积：
（6＋10）×6÷2
＝16×6÷2
＝48（平方厘米）
11．求图中阴影部分的周长。

【答案】27.98cm；4.71cm
【分析】由图可知，阴影部分的周长＝半径为4cm的半圆弧＋半径为3cm的半圆弧＋4＋2，根据圆的周长＝2r，代入即可求解；
由图可知，阴影部分周长＝直径为1cm的圆的周长＋半径为1cm的圆弧长度，根据圆的周长＝2r＝，代入即可求解。
【详解】2×3.14×4÷2＋2×3.14×3÷2＋4＋3－（4－3）
＝6.28×4÷2＋6.28×3÷2＋4＋3－1
＝25.12÷2＋18.84÷2＋4＋3－1
＝12.56＋9.42＋4＋3－1
＝21.98＋4＋3－1
＝25.98＋3－1
＝28.98－1
＝27.98（cm）
3.14×1＋2×3.14×1÷4
＝3.14＋6.28÷4
＝3.14＋1.57
＝4.71（cm）
12．求下面图形中涂色部分的面积。（单位：厘米）
【答案】39.25cm²；36 cm²
【分析】第一个图形的阴影部分面积，观察图形可知，阴影部分面积就是直径为5厘米的圆的面积的一半×4，根据圆的面积公式：π×半径2，代入数据即可解答；第二个阴影部分面积，观察图形可知，用底边为12cm，高为12cm的三角形面积减去底边为12cm，高为6cm三角形面积，根据三角形面积公式：底×高÷2，即可解答。
【详解】3.14×（10÷2÷2）2÷2×4
＝3.14×2.52÷2×4
＝3.14×6.25÷2×4
＝19.625÷2×4
＝9.8125×4
＝39.25（cm²）
12×12÷2－12×（12÷2）÷2
＝144÷2－12×6÷2
＝72－72÷2
＝72－36
＝36（cm²）
二、解决问题。
13．如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】45平方厘米
【分析】如图：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的面积=大圆的半径×大圆的半径＝大圆半径的平方，小圆的面积=小圆的半径×小圆的半径＝小圆半径的平方，设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积为π（R2－r2）＝141.3（平方厘米），据此用圆环的面积除以π即可解答。
【详解】设大圆半径为R，小圆半径为r。
则圆环面积为：π（R2－r2）＝141.3（平方厘米）
R2－r2
＝141.3÷3.14
＝45（平方厘米）
答：阴影部分的面积是45平方厘米。
【点睛】本题关键是将阴影部分的面积转化为两个正方形的面积差。再结合圆环的面积公式解答。
14．如图，长方形的长是8厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。
【答案】30.5平方厘米
【分析】如图所示，阴影部分的面积＝以8厘米为半径的圆的面积－空白①的面积，而空白①的面积＝长方形的面积－以6厘米为半径的圆的面积，据此根据长方形的面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，代入数据即可求解。
【详解】如图：
（平方厘米）
（平方厘米）
答：阴影部分的面积是30.5平方厘米。
【点睛】需要仔细观察图示，能够从复杂的图示中提取出有效的信息。
15．如图：（1）是一个直径是12厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）
【答案】75.36平方厘米
【分析】阴影部分的面积等于整个图形的面积减去半圆的面积，整个图形的面积等于一个半圆的面积加上一个圆心角为60°的扇形的面积，所以阴影部分的面积等于圆心角为60°的扇形的面积，这个扇形的半径等于半圆的直径，即。12厘米
【详解】
＝
＝75.36（平方厘米）
答：图中阴影部分的面积是75.36平方厘米。
【点睛】本题考查了不规则图形的面积的计算方法，把不规则图形转化为规则图形来计算是常用的方法。
16．求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。
【答案】8平方厘米
【分析】如下图箭头所示移动阴影部分，这样阴影部分的面积＝正方形的面积－4个等腰直角三角形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可求解。
【详解】
（平方厘米）
答：四个扇形的弧围成的阴影部分面积是8平方厘米。
17．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，已知AB＝BC＝10厘米，那么阴影部分的面积是多少？
【答案】32.125平方厘米
【分析】如下图，作出辅助线，使四边形BEDO是一个边长等于圆的半径的正方形；
则阴影部分的面积＝直角三角形AED的面积－正方形BEDO的面积＋圆的面积；
根据三角形的面积公式S＝ah÷2，正方形的面积公式S＝a2，圆的面积S＝πr2，代入数据计算求解。
【详解】OB、OD、BE、ED：10÷2＝5（厘米）
直角三角形AED的面积：
（10＋5）×5÷2
＝15×5÷2
＝37.5（平方厘米）
正方形BEDO的面积：
5×5＝25（平方厘米）
圆的面积：
3.14×52×
＝3.14×25×
＝19.625（平方厘米）
阴影部分的面积：
37.5－25＋19.625
＝12.5＋19.625
＝32.125（平方厘米）
答：阴影部分的面积是32.125平方厘米。
【点睛】解题的关键是做出合适的辅助线，把图形进行相应的转换，分析出阴影部分的面积是由哪些图形的面积相加或相减得到，利用图形的面积公式求解。
18．如图，两阴影部分的面积分别是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求图中扇形所在圆的半径。
【答案】4厘米
【分析】根据图形可知，两个阴影部分的面积分别是S1，S2，由于S1－S2＝2.44平方厘米；说明上面阴影部分面积比下面阴影部分面积多2.44平方厘米，由于空白部分加上S2是扇形的面积，空白部分加S1是长方形面积，那么可知长方形面积比扇形面积多了2.44平方厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；代入数据，求出长是3厘米，宽是5厘米的长方形的面积；再用长方形的面积减去2.44平方厘米，求出扇形的面积，再乘4，就是这个扇形所在圆的面积，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，即可求半径。
【详解】（3×5－2.44）×4÷3.14
＝（15－2.44）×4÷3.14
＝12.56×4÷3.14
＝50.24÷3.14
＝16（平方厘米）
4×4＝16，扇形所在圆的半径是4厘米。
答：图中扇形所在圆的半径是4厘米。
【点睛】解答本题的关键明确长方形面积减去两个阴影部分的面积的差就是扇形的面积，再根据长方形面积公式和圆的面积公式进行解答。
19．小明家客厅的地面想用一种形状像图1，尺寸规格为1.2米×1.2米的方砖铺贴。设计师在研究设计效果图时，把其中一块方砖画在了边长为6厘米的正方形图纸上（如图1）。
（1）方砖中的阴影图案可以由图2通过（ ）运动得到。
（2）正方形图纸（图1）的比例尺是（ ）。
（3）若这个客厅的地面长是7.2米，宽是4.8米。地面铺好后（缝隙忽略不计），阴影图案部分的面积一共占多少平方米？（π取3.14）
【答案】（1）旋转和平移
（2）1∶20
（3）19.6992平方米
【分析】（1）旋转的特征：图形旋转后，形状和大小都没有发生变化，只是位置发生了变化；在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动叫做平移。平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变；由此可知，方砖中的阴影图案可以由图2通过旋转和平移运动得到。
（2）根据图上距离∶实际距离＝比例尺进行解答。
（3）图2的实际面积＝两个半径为1.2÷2＝0.6（米）、圆心角是90°扇形面积－边长0.6米正方形的面积，每块地砖阴影图案面积＝图2实际面积×4；客厅地砖阴影图案部分的面积＝每块地砖阴影图案面积×地砖的块数；地砖的块数＝（客厅长÷地砖边长）×（客厅宽÷地砖边长）。据此解答即可。
【详解】（1）方砖中的阴影图案可以由图2通过旋转和平移运动得到。
（2）1.2米＝120厘米
6∶120＝1∶20
所以，正方形图纸（图1）的比例尺是1∶20。
（3）1.2÷2＝0.6（米）
一块方砖的阴影面积：
（3.14×0.6×0.6××2－0.6×0.6）×4
＝（1.1304×－0.36）×4
＝（0.5652－0.36）×4
＝0.2052×4
＝0.8208（平方米）
总的阴影面积：（7.2÷1.2）×（4.8÷1.2）×0.8208
＝6×4×0.8208
＝24×0.8208
＝19.6992（平方米）
答：阴影图案部分的面积一共占19.6992平方米。
【点睛】本题的难点是计算图2的面积，掌握“图2的实际面积＝两个半径为1.2÷2＝0.6（米）、圆心角是90°扇形面积－边长0.6米正方形的面积”是解答本题的关键。
20．下面图中的长方形ABCD的长BC为30厘米、宽CD为10厘米，圆O的直径为10厘米。
图（1） 图（2）
（1）如上图（1）所示，圆不动，长方形以每秒2厘米的速度从左向右水平匀速平移，请问圆完全被长方形包含在内的时间一共有多少秒？
（2）如上图（2）所示，长方形不动，圆沿着长方形外边缘滚动一周。当圆O滚到长方形的顶点时，需绕顶点旋转一定角度（如图示的顶点C）后继续滚动。那么圆O扫过的面积是多少平方厘米？
【答案】（1）10秒
（2）1114平方厘米
【分析】（1）当长方形ABCD平移到长方形A'B'C'D'的位置时，圆完全被长方形包围在内。此时，长方形需要平移的距离是原来长方形左边到完全包含圆时左边的距离，即30－10＝20（厘米）。已知长方形以每秒2厘米的速度平移，用平移的距离除以平移的速度，即可求出平移所需的时间。
（2）圆O沿长方形滚过一周扫过的面积可以分成三部分，如下图所示：
第一部分：圆O在长方形的上下两条长滚动时，圆O扫过的面积是两个长为30厘米，宽为10厘米的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可；
第二部分：圆O在长方形的左右两条宽滚动时，圆O扫过的面积是两个边长为10厘米的正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可；
第三部分：圆O在绕四个顶点旋转一定角度后，圆O扫过的面积是四个半径为10厘米的圆的面积，可以看作一个半径为10厘米整圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算即可；
最后把这三部分的面积加在一起，即可求出O扫过的面积。
【详解】（1）（30－10）÷2
＝20÷2
＝10（秒）
答：圆完全被长方形包含在内的时间一共有10秒。
（2）30×10×2＝600（平方厘米）
10×10×2＝200（平方厘米）
3.14×102÷4×4
＝3.14×100÷4×4
＝314÷4×4
＝314（平方厘米）
600＋200＋314＝1114（平方厘米）
答：O扫过的面积是1114平方厘米。
【点睛】这道题主要是分析长方形的平移和圆的滚动过程，通过作图的方法体现出长方形平移的距离以及圆的运动轨迹所形成的图形。