第五单元圆·总集篇·阴影图形面积法【十八大考点】2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

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【第一篇】专题解读篇
【第二篇】目录导航篇
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc17802" 【考点一】不规则图形或组合图形的周长其一：基础型 PAGEREF _Tc17802 \h 4
\l "_Tc23357" 【考点二】不规则图形或组合图形的周长其二：拓展型 PAGEREF _Tc23357 \h 5
\l "_Tc8318" 【考点三】面积法其一：直接求法（公式法） PAGEREF _Tc8318 \h 6
\l "_Tc19676" 【考点四】面积法其二：相加法（S阴影=S1+S2） PAGEREF _Tc19676 \h 8
\l "_Tc26062" 【考点五】面积法其三：相减法（S阴影=S整体-S空白） PAGEREF _Tc26062 \h 9
\l "_Tc18823" 【考点六】面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S阴影=S1+S2-S3） PAGEREF _Tc18823 \h 10
\l "_Tc14490" 【考点七】面积法其五：平移法 PAGEREF _Tc14490 \h 12
\l "_Tc27352" 【考点八】面积法其六：拼接法 PAGEREF _Tc27352 \h 13
\l "_Tc11050" 【考点九】面积法其七：旋转法（翻转法） PAGEREF _Tc11050 \h 15
\l "_Tc9408" 【考点十】面积法其八：割补法 PAGEREF _Tc9408 \h 16
\l "_Tc2380" 【考点十一】面积法其九：重组法 PAGEREF _Tc2380 \h 18
\l "_Tc9456" 【考点十二】面积法其十：整体代换法 PAGEREF _Tc9456 \h 19
\l "_Tc32412" 【考点十三】面积法其十一：辅助线法 PAGEREF _Tc32412 \h 22
\l "_Tc4731" 【考点十四】面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路） PAGEREF _Tc4731 \h 24
\l "_Tc16425" 【考点十五】面积法其十三：差不变原理（差不变思想） PAGEREF _Tc16425 \h 25
\l "_Tc22386" 【考点十六】面积法其十四：图示法（羊吃草问题） PAGEREF _Tc22386 \h 28
\l "_Tc23563" 【考点十七】面积法其十五：平移运动问题＊ PAGEREF _Tc23563 \h 31
\l "_Tc11412" 【考点十八】面积法其十六：旋转运动问题＊ PAGEREF _Tc11412 \h 32
【第三篇】典型例题篇
【考点一】不规则图形或组合图形的周长其一：基础型。
【方法点拨】
求不规则或组合图形的周长，要寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。
【典型例题】
求阴影部分的周长。（单位：cm）（取3.14）
【对应练习1】
求阴影部分的周长。（单位：cm)
【对应练习2】
如图，已知圆心为O的半圆里还有两个较小的半圆，其中半圆A的半径为3cm，半圆B的半径为1cm，求阴影部分的周长。（单位：cm)
【对应练习3】
求阴影部分的周长。（单位：dm)
【考点二】不规则图形或组合图形的周长其二：拓展型。
【方法点拨】
求不规则或组合图形的周长，要寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。
【典型例题】
将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是4分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计）
【对应练习1】
如图，将两根直径是15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接口处不计）
【对应练习2】
用一根绳子把4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要15厘米长的绳子。问这根绳子长多少厘米？
【对应练习3】
把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。
（1）像这样继续捆下去，第④组至少需要（ ）厘米的绳子。请说明理由。
（2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要（ ）厘米的绳子。
【考点三】面积法其一：直接求法（公式法）。
【方法点拨】
直接求法，即根据已知条件，从整体出发，利用面积相关公式可以直接求出阴影部分的面积，是最为简单的求面积方法，熟练掌握图形面积公式是解决问题的关键。
【典型例题】
求圆的面积和周长。（单位：m)

【对应练习1】
求圆的周长和面积。（单位：厘米）
【对应练习2】
求下面各圆的周长和面积。（单位：cm)

【对应练习3】
求下面各圆的周长。（单位：cm)
【考点四】面积法其二：相加法（S阴影=S1+S2）。
【方法点拨】
相加法，即加法分割思路，把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。
【典型例题】
求下面图形的周长和面积。（单位：cm)
【对应练习1】
图中爱心是由一个正方形和两个半圆拼成的，请计算出它的周长和面积。（单位：cm)
【对应练习2】
求下面图形的周长和面积。（单位：cm)
【对应练习3】
计算如图图形的周长和面积。（单位：cm)
【考点五】面积法其三：相减法（S阴影=S整体-S空白）。
【方法点拨】
相减法，即减法拓展思路，是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。
【典型例题1】基础型。
求图中阴影部分的面积。（单位：cm）
【典型例题2】提高型。
如图，直角三角形ABC的面积为12平方厘米，半圆以BC为直径，求阴影部分的面积。
【对应练习1】
求阴影部分的面积。（单位：cm）
【对应练习2】
计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm)
【对应练习3】
计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：m)
【考点六】面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S阴影=S1+S2-S3）。
【方法点拨】
含圆的混合型图形，即在解决问题的过程需要多次使用相加法或相减法来求阴影面积，这些图形往往看起来比较复杂，计算起来也较为困难，可以首先观察图形，然后合理分解成部分可求的图形，最后再相加或相减。
【典型例题】
已知正方形的边长是8cm，计算图中阴影部分的面积。
【对应练习1】
如图，O为圆心，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。
【对应练习2】
如图，两个相连的正方形的边长是8厘米和3厘米，求阴影部分的面积。（结果保留）
【对应练习3】
如图中的圆是以O为圆心、半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。
【考点七】面积法其五：平移法。
【方法点拨】
平移法，即通过把部分图形平行移动可以把不规则图形转变为已学的规则图形，进而求出图形的面积。
【典型例题】
求阴影部分的周长和面积。（π取3.14）
【对应练习1】
求涂色部分的面积。（单位：cm。）
【对应练习2】
求阴影部分的面积。

【对应练习3】
先量出必要的数据，再计算涂色部分的面积。

【考点八】面积法其六：拼接法。
【方法点拨】
拼接法，即在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一个整体。
【典型例题】
下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？
【对应练习1】
计算下图中阴影部分的面积。
【对应练习2】
计算阴影部分面积。（取3.14）
【对应练习3】
求涂色部分的面积。
【考点九】面积法其七：旋转法（翻转法）。
【方法点拨】
旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最后得到便于求解的新图形。
【典型例题】
求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm）
【对应练习1】
求如图阴影部分的面积。（单位：厘米）
【对应练习2】
如图，求图中阴影部分面积。（单位：厘米）（小圆半径为1厘米）
【对应练习3】
如图，点P是正方形ABCD内部的一点，连接PA、PB、PC。将绕着点B顺时针旋转90°到的位置。设，，，求旋转到的过程中边PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积。
【考点十】面积法其八：割补法。
【方法点拨】
割补法，即分割拼补的思路，是把不规则的阴影面积通过分割和拼补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。
【典型例题】
求下列阴影部分的面积。（单位：cm）
【对应练习1】
求阴影部分的面积（图中的三角形都是等腰直角三角形）。（单位：分米）

【对应练习2】
求下面图中涂色部分的面积。
【对应练习3】
求图中阴影部分的面积。
【考点十一】面积法其九：重组法。
【方法点拨】
重组法，即根据具体情况和计算上的需要把原来图形拆开，并加以重新组合，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形，然后结合相减法求出阴影面积。
【典型例题】
如图，大圆半径R=8厘米，小圆的半径r=4厘米．求阴影部分的面积。
【对应练习1】
求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【对应练习2】
求阴影部分的面积。（单位：cm）
如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积．
【考点十二】面积法其十：整体代换法。
【方法点拨】
整体代换法，即通过平面图形之间的等量关系，将图形面积整体代换，再根据相应面积公式求出面积。
【典型例题1】圆与正方形。
如图，以圆的半径为边长的正方形面积是10平方厘米，则圆的面积是（ ）平方厘米。
【对应练习1】
下中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是225m2，草坪的面积是多少平方米？
【对应练习2】
已知下图正方形的面积是50平方分米，圆的面积是（ ）平方分米。

【对应练习3】
如图，已知正方形的面积是9 cm2，这个圆的面积是（ )cm2。
【对应练习4】
如图中正方形的面积是16平方厘米，圆形的面积是（ ）平方厘米。
【典型例题2】圆与长方形。
如图，圆的面积与长方形的面积相等，圆的半径是3cm，长方形的长是（ )cm。
【对应练习1】
如图，圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是6厘米，那么长方形的周长是多少厘米？
【对应练习2】
如图所示，圆的周长是18.84厘米，圆的面积等于长方形的面积，那么阴影部分的周长是多少厘米？
【对应练习3】
如图，长方形面积和圆面积相等，已知圆的半径是3厘米，求阴影部分的面积和周长。
【典型例题3】圆与三角形。
如图中，直角三角形（阴影部分）的面积是12平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。
【对应练习1】
下图中等腰直角三角形的两条直角边正好是半径，三角形的面积是20平方厘米，图中空白部分的面积是多少平方厘米？
【对应练习2】
图中，三角形的面积是8平方厘米，求涂色部分的面积。
【对应练习3】
如图，已知三角形OAB的面积是18平方厘米，求阴影部分的面积。
【考点十三】面积法其十一：辅助线法。
【方法点拨】
辅助线法，即在通常手段无法求出阴影部分面积时，需要尝试使用添加辅助线的方法解决。
【典型例题】
如图，三角形ABC是等腰直角三角形，点D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）
【对应练习1】
求图中阴影部分的周长和面积。（π取3.14）
【对应练习2】
计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm)
【对应练习3】
数学思考。
如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米）
【考点十四】面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路）。
【方法点拨】
容斥原理，即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。
【典型例题2】
如图（单位：厘米），四边形ABCD是长方形，其中弧AE以点B为圆心，AB的长为半径，弧AF的点D为圆心，AD的长为半径。计算阴影部分的面积。
【对应练习1】
如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）
【对应练习2】
如图，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA为半径的圆的一部分，，求图中阴影部分的面积。
【对应练习3】
等腰直角三角形ABC的面积是8平方厘米，求阴影部分的面积．
【考点十五】面积法其十三：差不变原理（差不变思想）。
【方法点拨】
差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。
【典型例题1】其一。
如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90°的扇形拼成的图形，利用差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？
【典型例题2】其二。
如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的边OA的长。
【典型例题3】其三。
如下图，甲、乙两个阴影部分面积相等，BC长是8厘米，求AB长是多少厘米？（本题π取值为3）
【对应练习1】
下图中，涂色部分甲比乙的面积大。求的长。
【对应练习2】
如图，三角形ABC是直角三角形，AB长20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积大37平方厘米，求BC的长。
【对应练习3】
如图，已知：S1比S2多28平方厘米，求BC长多少厘米？
【对应练习4】
如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小23平方厘米。求BC的长度。
【考点十六】面积法其十四：图示法（羊吃草问题）。
【方法点拨】
图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。
【典型例题1】旋转作图。
在等腰直角三角形中，角C是直角，厘米，以C点为中心逆时针旋转90°。求线段扫过的面积。
【对应练习】
如图，一枚半径是1厘米的游戏币沿着边长是4厘米的等边三角形的边绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？
【典型例题2】羊吃草问题其一。
在一块草坪地的木桩上拴着一只羊，绳长2米，这只羊最多能吃着草地的面积是多少平方米？
【典型例题3】羊吃草问题其二。
草场上有一个长20m，宽10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？
【典型例题3】羊吃草问题其三。
墙角O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4m，墙角两边的墙长2m。问这只羊能吃到草的面积最多是多少？
【对应练习1】
如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角O处，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚狗的绳子长20米．现在狗从A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？
【对应练习2】
一块正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的绳子都是3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？
【对应练习3】
一块正方形的草地，边长4米，一对角线的两个顶点各有一棵树，树上各拴着一只羊，栓羊的绳子长都是4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？
【考点十七】面积法其十五：平移运动问题。＊
【方法点拨】
在平移运动过程中，图形的形状与面积都可能会发生变化，关键在于理解运动变换过程的规律，画出不同的示意图。
【典型例题】
如图所示，正方形和圆相距30厘米，正方形的边长和圆的直径都是10厘米，正方形沿着直线向右做平移运动，圆沿着直线向左做平移运动。正方形每秒运动3厘米，比圆的速度慢。当圆和正方形完全重叠时，没有重合部分的面积是多少？正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间是多少秒？
【对应练习1】
已知一个半圆工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径贴地面，再将它沿地面平移60米，半圆的直径为6米，则圆心O所经过的路线的长为( )米。
【对应练习2】
如下图所示，在相距12cm的两条平行线m和n之间，有一个边长为8厘米的正方形和直径为8厘米的圆O。正方形保持不动，圆O沿直线m以每秒2厘米的速度向右平移。
（1）在移动的过程中，圆O与正方形最大的重叠部分面积是多少？
（2）如图（2），圆和正方形有重叠部分的时间持续多少秒？
【考点十八】面积法其十六：旋转运动问题。＊
【方法点拨】
在旋转运动过程中，图形的形状与面积都可能会发生变化，关键在于理解运动变换过程的规律，画出不同的示意图。
【典型例题】
（桐庐县）物体平移的速度常用单位时间移动的距离来表示，如汽车每小时行60千米；物体旋转的速度常用单位时间转动的圈数或角度来表示，如钟面上的时针每天转2圈，或每小时转30°，分针每小时转1圈或每分钟转6°，还有电风扇每秒转2圈或720°（每秒转2圈，1圈是360°）．
我们在科学课中研究过一些简单的机械，下面是一个传送系统，由主动轮、从动轮和传送带组成，可以将货物从B传送到A．主动轮每秒转1圈．
（1）观察该系统，如果主动轮顺时针转180°，那么从动轮就会逆时针转 ．
（2）这个系统把货物从B传送到A，大约要多少秒？（计算时，圆周率π取3）
【对应练习1】
如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。小圆的半径是，大圆的半径是。
（1）当小圆从大圆上的点出发，沿着大圆滚动，第一次回到点时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？
（2）小圆未滚动时，小圆上的点与大圆上的点重合，从小圆滚动后开始计算，当点第10次与大圆接触时，点更接近大圆上的点( )。（括号里填、、或。）
【对应练习2】
（1）图1中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（л取3.14）
（2）图2中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（л取3.14）

【对应练习3】
如图，有一个电动玩具，它有一个8.28×5.14的长方形盘（单位：cm）和一个半径为1厘米的小圆盘（盘中画有娃娃脸），它们的连接点为A，E．如果小圆盘沿着长方形内壁，从A点出发不停的滚动（无滑动），直到回到原来位置．
（1）小圆盘（娃娃脸）在B，C，D的位置是怎样的？请一一画出示意图．
（2）小圆盘共自转了几圈？
（3）计算小圆盘绕长方形盘滚动一周，扫过长方形盘的面积．
专题名称
第五单元圆·总集篇·十六种阴影图形面积法
专题内容
本专题内容以含圆的不规则或组合图形周长以及阴影部分图形的面积为主，其中一共总结了十六种常见的求阴影部分图形面积方法，属于求不规则图形、组合图形、阴影部分图形面积的总集篇。
总体评价
＊
讲解建议
“总集篇”是对热点、重点以及难点内容的总结，适用于阶段性复习，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量
十八个考点。