辽宁省七校协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考试题 数学 Word版含答案

这是一份辽宁省七校协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考试题 数学 Word版含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟满分：150分
命题校：瓦房店市高级中学、葫芦岛一高中
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
2.若，则复数的共轭复数的虚部是（ ）
A.B.C.D.
3.由一组样本数据得到回归直线方程，那么下列说法正确的是（ ）
A.若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱
B.若越大，则两组变量的相关性越强
C.回归直线方程至少经过样本数据中的一个
D.在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，相应的观测值约增加个单位
4.已知，则（ ）
A.B.C.D.
5.数列中，已知对任意自然数，则等于（ ）
A.B.C.D.
6.已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A.B.C.[0，1]D.
7.已知为的外心，，则的面积为（ ）
A.5B.C.D.6
8.已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A.不共线，且，则.
B.若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是
C.已知，则在上的投影的坐标为
D.已知点为的垂心，则
10.为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ）
A.第一次投篮的人是甲的概率为
B.已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
C.第二次投篮的人是甲的概率为
D.设第次投篮的人是甲的概率为，则
11.已知，则（ ）
A.的最大值是B.的最小值是
C.的最大值是-1D.的最小值是-2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：90，88，87，83，81，80，78，72，则这组数据的分位数是_____________.
13.已知，且，则_____________.
14.设，若时均有，则_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数.
（1）化简:；
（2）求函数的最小正周期和图象的对称中心;
（3）求函数在上的单调递增区间.
16.（15分）
在中，内角所对的边分别是已知向量，，满足.
（1）求;
（2）若，求周长的取值范围;
（3）若角的平分线交边BC于点，求面积的最小值.
17.（15分）
中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：
（1）将列联表补充完整；
（2）是否有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关;
（3）若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列、数学期望、方差.
附:，其中
18.（17分）
已知函数，数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求;
（3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数的最大值.
19.（17分）
法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下.如果函数满足如下条件：①在闭区间[a，b]上的图象是连续的；②在开区间（a，b）上可导.则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.
（1）已知且，
（i）若恒成立，求实数的取值范围;
（ii）当时，求证：.
（2）已知函数有两个零点，记作，若，证明：
2024-2025学年度（上）七校协作体11月高三联考
数学参考答案
一、单选：ABDACBCB
二、多选：9.BD10.BCD11.AD
三、填空：12.87.513.2或6414.
四、解答：
15.（1）
.……………………（4分）
，
所以的最小正周期；…………………………（7分）
令，得，即图象的对称中心为.
………………………………………………………………………………（9分）
（3）令，得，
令，得；令，得，
所以函数在上的单调递增区间为.
16.解：（1）由得：
，
再由正弦定理角化边得:，
再由余弦定理得:，
又因为，所以;……………………………………………………………………（3分）
（2）由正弦定理及（1）得，
.
因此，周长的取值范围是.…………………………………………（9分）
（3）由，又因为，角的平分线交边BC于点，
所以有:，整理得:，
由基本不等式得:，所以有:，且时取等号，
即，
即面积的最小值为.………………………………………………（15分）
17.解：（1）由题得列联表如下：
………………………………………………………………………………………（3分）
（2）由（1）可得，
所以没有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关.………………（8分）
（3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人，所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为，……（9分）
则由题意可知，且，
所以，
，
所以随机变量的分布列为
……………………………………………………………………………………………………（13分）
所以随机变量的数学期望为.………………………………………（14分）
随机变量的方差为……………………………………（15分）
18.解:（1）因为函数，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则有；……………………………………（4分）
（2）由（1）可知:，
所以;……（8分）
（3）由（2）可知:，
所以由，
因为，
所以由，……………………………………………………（11分）
设，由，
由二次函数性质可知：当时，函数是减函数，………………（14分）
，
于是有时，，
所以，因此，
存在，使得成立，则有，
因此实数的最大值为.……………………………………………………………………（17分）
19.（1）（i）解:法一:由，且化简得，即，
令，可知在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，显然在上单调递减，
所以，即，故实数的取值范围为.……………………………（4分）
法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得，
故问题转化为恒成立.
又，则恒成立，即恒成立，
因为，
故令，显然在上单调递减，
所以，所以，故实数的取值范围为……（4分）
（ii）证明：要证，即证，
即证，
又，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
，
.
由题意知，当时，在上单调递增，
则，故，
即，所以命题得证.…………………………（8分）
（2）函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根.
令，
所以在上单调递增，且，即方程有2个根，且这两根即为方程的根，…………………………………………（11分）
所以，则，则由，得，所以，则，
要证，即证，…………………………………………（12分）
又，令，
令，
又，所以，故在上单调递增，
所以，
所以，故在上单调递减，所以，
即，
即，所以不等式得证.………………………………………………（17分）男
女
合计
了解
20
不了解
20
40
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
男
女
合计
了解
40
20
60
不了解
20
20
40
合计
60
40
100
0
1
2
3