2023-2024学年河南省周口市淮阳区重点中学八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年河南省周口市淮阳区重点中学八年级（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，π，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．＝﹣2B．＝±4C．＝4D．＝1
3．（3分）如果x2+mx+是一个关于x的完全平方式，那么m的值为（ ）
A．B．±C．D．±
4．（3分）如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是（ ）米．
A．6B．7C．8D．9
5．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
A．（x3）2＝x6B．（2ab2）3＝8a3b5
C．x8÷x2＝x4D．b3•b3＝2b3
6．（3分）若（x+a）2＝x2﹣10x+b，则a、b的值分别为（ ）
A．2，4B．5，﹣25C．﹣2，25D．﹣5，25
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A．2B．5C．4D．10
8．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4
C．4，5，6D．5a，12a，13a（a＞0）
9．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC上，沿AC将△ABC对折，点B与点E重合，则图中全等的三角形有（ ）
A．3对B．2对C．4对D．1对
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）实数﹣2的整数部分是 ．
12．（3分）计算：的结果是 ．
13．（3分）现有四个命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②三角形的三条角平分线交于一点；
③如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行．
其中是假命题的是 ．
14．（3分）如图，棱长为1的正方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是 ．
15．（3分）如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）3x5y3•（﹣4x2y2）÷（﹣2x2y）3．
17．（8分）因式分解：
（1）（x﹣1）（x﹣3）+1；
（2）（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）．
18．（9分）先化简，再求值：
已知x﹣y＝1，求（x+y）（x﹣y）+（y﹣1）2﹣x（x﹣2）的值．
19．（9分）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求∠AFB的度数．
20．（10分）（1）用尺规作AB边的中垂线，交BC于点P．
（2）直接写出PC，PA，BC之间的数量关系．
21．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，且a+b＝7，c＝5，求Rt△ABC的面积．
22．（10分）若x满足（60﹣x）（x﹣40）＝20，求（60﹣x）2+（x﹣40）2的值．
解：设60﹣x＝a，x﹣40＝b，
则ab＝20，a+b＝60﹣x+x﹣40＝20．
∴（60﹣x）2+（x﹣40）2．
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝202﹣2×20
＝360．
（1）若x满足（70﹣x）（x﹣20）＝﹣30，求（70﹣x）2+（x﹣20）2的值；
（2）若x满足，求（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2的值．友情提示（2）中的4（2x﹣5）2可通过逆用积的乘方公式变成[2（2x﹣5）]；
（3）若x满足（2023﹣x）2+（2020﹣x）2＝2061，求（2023﹣x）（2020﹣x）的值．
23．（11分）【基本模型】如图，ABCD是正方形，∠EAF＝45°，当E在BC边上，F在CD边上时，如图1，BE、DF与EF之间的数量关系为 ．
【模型运用】当E点在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，如图2，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论： ．
【拓展延伸】如图3，已知AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E在线段BC上，F在线段CD上，，请你直接写出BE、DF与EF之间的数量关系．
2023-2024学年河南省周口市淮阳区重点中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分）
1．【分析】根据无理数的概念判断．
【解答】解：在所列实数中无理数有，π这2个数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．【分析】分别根据算术平方根的定义化简即可判断．
【解答】解：A.＝2，故本选项不合题意；
B.＝4，故本选项不合题意；
C.＝2，故本选项不合题意；
D.＝1，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了算术平方根和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
3．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2+mx+＝x2+mx+（）2，
∴mx＝±2x•，
解得m＝±．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
4．【分析】从题意可知，电线杆，钢缆和固定点A到电线杆底部B的线段，构成了直角三角形，钢缆是斜边，根据勾股定理可求出解．
【解答】解：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段AB构成的直角三角形的斜边，
又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米，
∴（米），
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确解三角形．
5．【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，可以计算出正确的结果，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：（x3）2＝x6，故选项A正确，符合题意；
（2ab2）3＝8a3b6，故选项B错误，不符合题意；
x8÷x2＝x6，故选项C错误，不符合题意；
b3•b3＝b6，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．【分析】已知等式左边利用完全平方公式展开，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
【解答】解：已知等式整理得：x2+2ax+a2＝x2﹣10x+b，
可得2a＝﹣10，a2＝b，
解得：a＝﹣5，b＝25，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．【分析】过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE＝CE，求得DE＝BC，求得DF＝AH，根据三角形的面积公式得到DE•DF＝2，得到AB•AC＝8，求得AB＝2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵DE∥BC，
∴AE＝CE，
∴DE＝BC，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF＝HF，
∴DF＝AH，
∵△DFE的面积为1，
∴DE•DF＝1，
∴DE•DF＝2，
∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，
∴AB•AC＝8，
∵AB＝CE，
∴AB＝AE＝CE＝AC，
∴AB•2AB＝8，
∴AB＝2（负值舍去），
∴AC＝4，
∴BC＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【解答】解：A、12+22≠32，故不是直角三角形，不符合题意；
B、22+32≠42，故不是直角三角形，不符合题意；
C、42+52≠62，故不是直角三角形，不符合题意；
D、（5a）2+（12a）2＝（13a）2，故是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．【分析】由折叠的性质可得AB＝AE，BC＝CE，∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACE，由“SAS”可证△ABD≌△AED，△BCD≌△ECD，即可求解．
【解答】解：∵沿AC将△ABC对折，点B与点E重合，
∴△ABC≌△AEC，
∴AB＝AE，BC＝CE，∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
同理可得△BCD≌△ECD，
∴全等的三角形有3对，
故选：A．
【点评】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
10．【分析】根据三角形的面积公式得到AD＝12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长度＝PB+PD的最小值，即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，
∴AD＝12，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点即为P的，此时PA＝PB，PB+PD＝PA+PD＝AD，AD的长度＝PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD的长度＝PB+PD的最小值是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【分析】首先得出的取值范围，进而得出﹣2的整数部分．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴﹣2的整数部分是：3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了估计无理数大小，得出的取值范围是解题关键．
12．【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：原式＝[（﹣2）（+2）]2020
＝1．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
13．【分析】根据平行线的判定及性质、平行公理、三角形角平分线判断即可．
【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②三角形的三条角平分线交于一点，是真命题；
③在同一平面内，如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c，是假命题；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，是真命题；
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行线的判定及性质、平行公理、三角形角平分线是解答此题的关键．
14．【分析】首先将正方体展开，然后根据勾股定理求得最短路径即可．
【解答】解：将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．
AB＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了最短路径问题，解题的关键是能够将立体图形转化为平面图形进行计算，难度不大．
15．【分析】首先由∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE＝EM与AM＝EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
【解答】解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE＝AB＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1，
当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM，
即∠CAB＝∠CEA，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴＝，
∴CE＝＝，
∴BE＝6﹣＝；
∴BE＝1或．
故答案为1或．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．【分析】（1）先计算立方根、算术平方根，取绝对值符号，再合并同类二次根式即可得；
（2）先计算乘法和乘方，再计算除法可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣3+4﹣（3﹣）﹣
＝1﹣3+﹣
＝﹣2；
（2）原式＝﹣12x7y5÷（﹣8x6y3）＝xy2．
【点评】本题主要考查实数与整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则．
17．【分析】（1）先利用整式乘法展开括号，合并之后，再通过完全平方公式进行因式分解；
（2）先利用整式乘法展开括号，合并之后，再进行分组分解，通过完全平方公式、平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x﹣3）+1
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2；
（2）（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）
＝a2﹣b2+4b﹣4
＝a2﹣（b2﹣4b+4）
＝a2﹣（b﹣2）2
＝[a+（b﹣2）][a﹣（b﹣2）]
＝（a+b﹣2）（a﹣b+2）．
【点评】本题考查因式分解，正确进行因式分解是解题关键．
18．【分析】根据平方差公式、完全平方公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x﹣y＝1代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（y﹣1）2﹣x（x﹣2）
＝x2﹣y2+y2﹣2y+1﹣x2+2x
＝2x﹣2y+1，
当x﹣y＝1时，原式＝2（x﹣y）+1＝2×1+1＝3．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
19．【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△DCB；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠DBC，可求∠AEB+∠DBE＝120°，由外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵△ADC和△CEB都是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
（2）解：∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC＝∠DBC，
∴∠AEB+∠DBE＝120°，
∴∠AFB＝∠AEB+∠DBE＝120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．【分析】（1）利用尺规，根据要求作出图形即可．
（2）根据线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．
（2）结论：BC＝PA+PC．
理由：∵PQ垂直平分线段AB，
∴PA＝PB，
∴PA+PB＝PB+PC＝BC．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出2ab的值，即可确定出直角三角形的面积．
【解答】解：∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝49，
∴2ab＝49﹣（a2+b2）＝49﹣c2＝49﹣25＝24
∴ab＝6．
答：Rt△ABC的面积是6．
【点评】本题考查了勾股定理，这里不要去分别求a，b的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理．
22．【分析】（1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答；
（2）将转化为（3﹣4x）[2（2x﹣5）]＝9，即（3﹣4x）（4x﹣10）＝9，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答；
（3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）设70﹣x＝m，x﹣20＝n，则mn＝﹣30，m+n＝（70﹣x）+（x﹣20）＝50，
∵m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，
∴m2+n2＝502﹣2×（﹣30）＝2560；
（2）∵，
∴（3﹣4x）[2（2x﹣5）]＝9，即（3﹣4x）（4x﹣10）＝9，
设3﹣4x＝s，4x﹣10＝t，则s+t＝﹣7，st＝9，
∵（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2＝（3﹣4x）2+22×（2x﹣5）2＝（3﹣4x）2+（4x﹣10）2，
∴（3﹣4x）2+4（2x﹣5）2＝s2+t2
＝（s+t）2﹣2st
＝（﹣7）2﹣2×9
＝31；
（3）设2023﹣x＝p，2020﹣x＝q，则p﹣q＝3，p2+q2＝2061，
∴2pq＝（p2+q2）﹣（p﹣q）2
＝2061﹣32
＝2052，
∴pq＝1026，
∴（2023﹣x）（2020﹣x）＝1026．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是灵活运用公式解决问题．
23．【分析】【基本模型】结论：EF＝BE+DF．将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，然后求出∠EAF′＝∠EAF＝45°，利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝EF′，从而得解；
【模型运用】结论：EF＝BE﹣DF，证明方法类似（1）；
【拓展延伸】结论：EF＝BE+DF．将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，根据旋转变换的性质可得△ADF和△ABF′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF′＝∠DAF，对应边相等可得AF′＝AF，BF′＝DF，对应角相等可得∠ABF′＝∠D，再根据∠EAF＝∠BAD证明∠EAF′＝∠EAF，并证明E、B、F′三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF′＝EF，从而得解．
【解答】解：【基本模型】结论：EF＝BE+DF．
理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：EF＝BE+DF；
【模型运用】结论：EF＝BE﹣DF．
理由：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又EF′＝BE﹣BF′＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣DF．
故答案为：EF＝BE﹣DF；
【拓展延伸】结论：EF＝BE+DF．
理由：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
则△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，
∴∠EAF＝∠EAF′，
又∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠ABF′+∠ABE＝180°，
∴F′、B、E三点共线，
在△AEF与△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又∵EF′＝BE+BF′，
∴EF＝BE+DF．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，利用旋转变换构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．