广东省清远市连南县2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试卷

这是一份广东省清远市连南县2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试卷，共24页。试卷主要包含了在平面中，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分120分）
一．选择题（共15小题,45分）
1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，点E在对角线BD上，且BE＝BA，那么∠AEB的度数是（ ）
A．80°B．70°C．60°D．40°
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2，∠AOB＝60°，点E为BD上一点，OE＝1，连接AE，则AE的长为（ ）
A．B．C．或D．6
3．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（ ）
A．4B．C．3D．5
5．一元二次方程3x2﹣2x+1＝0的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．3，﹣1B．﹣2，3C．3，1D．3，﹣2
6．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两个实数根，则x1+x2﹣5x1x2的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．4D．﹣7
8．若x＝2是一元二次方程x2+x﹣m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．6D．﹣6
9．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（ ）
A．16个B．14个C．20个D．30个
10．掷两枚质地均匀的骰子，点数相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．从，3.1415926，，四个数中随机抽取两个数，两个数都是无理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
12．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．1
13．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（ ）
A．B．C．1D．
14．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．15
15．如图，在△ABC中，点D、E在AC、BC边上，连接DE并延长交AB延长线于点G．过D作DF⊥AG于F．若2∠ADF＝∠G，CE：BE＝2：1，AD＝2，AF＝2，GE＝4，则BA的长度为（ ）
A．B．C．9D．12
二．填空题（共5小题，15分）
16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边BC的一点，F是边CD上的一点，连接AE，AF，若∠EAF＝45°，，则DF的长为 ．
17．如图，锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝2，CD＝3，则AD＝ ．
18．一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是 ．
19．有三张正面分别标有数字﹣1，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为 ．
20．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ．
三．解答题（共8小题，60分）
21．如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．
22．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH、FG．
（1）求证：△BFH≌△DEG；
（2）连接DF，若BF＝DF，判断四边形EGFH是什么特殊四边形？并证明你的结论．
23．阅读下列材料，并解决问题：
①已知方程x2+3x+2＝0的两根分别为x1＝﹣1，x2＝﹣2，计算：x1+x2＝ ，x1•x2＝
②已知方程x2﹣3x﹣4＝0的两根分别为x1＝4，x2＝﹣1，计算：x1+x2＝ ，x1•x2＝
③已知关于x的方程x2+px+q＝0有两根分别记作x1，x2，且x1＝，x2＝，请通过计算x1+x2及x1•x2，探究出它们与p、q的关系．
24．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且（x1﹣3）（x2﹣3）＝5m，求m的值．
25．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
26．在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，
（1）分别求出摸出的球是红球和黄球的概率；
（2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去7个同样的红球或黄球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
27．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AB•AE；
（3）MN交AC点O，若＝k，则＝ （直接写答案、用含k的代数式表示）．
28．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？
参考答案
一．选择题（共15小题）
1．【答案】B
【分析】先由菱形的性质得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝40°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝40°，
∵BA＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣40°）＝70°，
故选：B．
2．【答案】C
【分析】先证明△ABO是等边三角形，根据题意可分点E在OB上和点E在OD上两种情况解答即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OD＝OB＝OA＝OC＝AB＝2，
①如图所示，当点E在OB上时，
∵OE＝1，
∴OB＝2OE，即点E是OB的中点，
∵△ABO是等边三角形，
∴AE⊥OB，
∴∠AEO＝90°，
∴AE＝＝；
②如图所示，当点E在OD上时，过点A作AH⊥BD于点H，
∴∠AHE＝90°，由①可知，OH＝OE＝1，，
∴HE＝2，
∴AE＝＝；
∴AE的长为或，
故选：C．
3．【答案】A
【分析】此题根据平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定来分析，也可以举出反例来判断选项的正误．
【解答】解：A、四边相等的四边形也可能是菱形，故正确；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项错误；
C、四个角相等的四边形是矩形，故错误；
D、对角线互相垂直的四边形是菱形，故错误；
故选：A．
4．【答案】A
【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD＝4，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝4；
故选：A．
5．【答案】C
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．找出方程的二次项系数和常数项即可．
【解答】解：方程3x2﹣2x﹣1＝0的二次项系数和常数项分别为3和1，
故选：C．
6．【答案】C
【分析】直接利用根与系数的关系作答．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，
∴x1+x2﹣x1x2＝2﹣（﹣1）＝3．
故选：C．
7．【答案】B
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝1，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝1，
∴x1+x2﹣5x1x2＝2﹣5×1＝﹣3．
故选：B．
8．【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解的概念，将x＝2代入一元二次方程x2+x﹣m＝0，即可解得答案．
【解答】解：把x＝2代入一元二次方程得：22+2﹣m＝0，
解得：m＝6．
故选：C．
9．【答案】B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得：＝0.3，
解得：x＝14，
经检验：x＝14是分式方程的解．
故选：B．
10．【答案】A
【分析】先利用列表展示所有36种等可能的结果数，其中点数相同占6种，然后根据概率的概念计算即可．
【解答】解：列表如下：
共有36种等可能的结果数，其中点数相同占6种，
所以点数相同的概率＝＝．
故选：A．
11．【答案】D
【分析】根据无理数的定义得到，为无理数，再根据列举法求出所有可能性，利用概率公式进行求解即可．
【解答】解：，3.1415926，，四个数中是无理数的是，，随机抽取两个数共有：，3.1415926；，；，；3.1415926，；3.1415926，；，共6种可能性，其中都是无理数的结果有1种，
∴；
故选：D．
12．【答案】A
【分析】首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案．
【解答】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，
可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两次正面都朝上的概率是．
故选：A．
13．【答案】D
【分析】延长AD、BC交于点G，可得△ABG为等边三角形，连接EC，证明EC是三角形ABG的中位线，证明△EFC∽△DFA，进而可得线段AF的长度．
【解答】解：∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∵AD⊥CD，CD＝1，
∴AD＝，AC＝2，
延长AD、BC交于点G，如图，
∵∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠G＝60°，
∴△ABG为等边三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴C为GB的中点，且AC⊥GB，
∴AB＝AC÷cs30°＝，
连接EC，
∵E为AB边的中点，
∴EC＝AB＝，
∵C为GB的中点，
∴EC∥AD，
∴△EFC∽△DFA，
∴＝＝，
∴AF＝AC＝．
故选：D．
14．【答案】A
【分析】设直角三角形的长直角边是a，短直角边是b，得到（a﹣b）2＝3，由△AHD≌△AHN（ASA），得到DH＝NH＝b，由△AHN≌△CFM（ASA），得到FM＝NH，因此EM＝a﹣b﹣b＝a﹣2b，由△AME∽△ANH，得到a2﹣b2＝2ab，即可求出a，b的值，由勾股定理即可解决问题．
【解答】解：设直角三角形的长直角边是a，短直角边是b，
∴正方形EFGH的边长是a﹣b，
∵正方形EFGH的面积为3，
∴（a﹣b）2＝3，
∴a2+b2﹣2ab＝3，
∵AH平分∠DAN，
∴∠DAH＝∠NAH，
∵∠AHD＝∠AHN＝90°，AH＝AH，
∴△AHD≌△AHN（ASA），
∴DH＝NH＝b，
∵AH∥CF，
∴∠HAM＝∠FCM，
∵FC＝AH，∠CFM＝∠AHN＝90°，
∴△AHN≌△CFM（ASA），
∴FM＝NH＝b，
∴EM＝a﹣b﹣b＝a﹣2b，
∵ME∥HN，
∴△AME∽△ANH，
∴ME：NH＝AE：AH，
∴（a﹣2b）：b＝b：a，
∴a2﹣b2＝2ab，
∴b2＝，
∴b＝，
∵（a﹣b）2＝3，
∴a＝，
∴AD2＝a2+b2＝6+3，
∴正方形ABCD的面积是6+3．
故选：A．
15．【答案】C
【分析】设∠FDA＝α，则∠G＝2α，然后证明GA＝GD，设GD＝x，利用勾股定理列出方程求出x＝10，过点B作BQ∥GD交AC于点Q，得△BQC∽△EDC，对应边成比例代入值求出BQ＝9，然后证明AB＝BQ，即可解决问题．
【解答】解：如图，设∠FDA＝α，则∠G＝2α，
∵DF⊥AG，
∴∠AFD＝90°，
∴∠A＝90°﹣α，
∴∠ADG＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ADG＝∠A，
∴GA＝GD，
∵AD＝2，AF＝2，
∴DF＝＝＝6，
设GD＝x，
∴GF＝AG﹣AF＝DG﹣AF＝x﹣2，
在Rt△GFD中，根据勾股定理得：GD2＝GF2+DF2，
∴x2＝（x﹣2）2+62，
∴x＝10，
∴GD＝10，
∵GE＝4，
∴DE＝GD﹣GE＝6，
过点B作BQ∥GD交AC于点Q，
∴△BQC∽△EDC，
∴＝，
∵CE：BE＝2：1，
∴＝，
∴BQ＝9，
∵GA＝GD，
∴∠A＝∠GDA，
∵BQ∥GD，
∴∠BQA＝∠GDA，
∴∠A＝∠BQA，
∴AB＝BQ＝9，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
16．【答案】．
【分析】连接EF，延长FD到点G，使得DG＝BE，连接AG．根据正方形的性质和勾股定理求出BE＝1，CE＝1．证明△ABE≌△ADG，得到∠BAE＝∠DAG，AE＝AG．进而证得△AEF≌△AGF，得到EF＝FG．设DF＝x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x即可．
【解答】解：如图，连接EF，延长FD到点G，使得DG＝BE，连接AG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵AE＝，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣1＝1．
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG．
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAG＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG．
设DF＝x，
∵DG＝BE＝1，
∴EF＝FG＝1+x．
∵CE＝1，CF＝2﹣x，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，
∴（x+1）2＝12+（2﹣x）2，
解得x＝，
∴DF＝，
故答案为：．
17．【答案】6．
【分析】作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE＝OF，在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE＝DF，进而求解．
【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BD＝2，CD＝3，
∴BC＝2+3＝5，
∴BO＝CO＝，
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BOE中，BO＝，BE＝，
∴OE＝BE＝，
∵∠OED＝∠EDF＝∠OFD＝90°，
∴四边形OEDF是矩形，
∴DF＝OE＝，OF＝DE＝BE﹣BD＝﹣2＝，
在Rt△AOF中，AO＝，OF＝，
∴AF＝＝，
∴AD＝AF+DF＝+＝6．
故答案为：6．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】先求出方程的解，再求出三角形的面积即可．
【解答】解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x＝6或﹣2，
∵一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，
∴这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是×6×|﹣2|＝6，
故答案为：6．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意可求得所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图为：
，
解①得：x＜5，
当a＞0，
解②得：x＞，
根据不等式组的解集中有且只有2个非负整数解，
则2＜x＜5时符合要求，
故＝2，
即b＝2，a＝1符合要求，
当a＜0，
解②得：x＜，
根据不等式组的解集中有且只有2个非负整数解，
则x＜2时符合要求，
故＝2，
即b＝﹣2，a＝﹣1（舍）
故所有组合中只有1种情况符合要求，
故使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数解的概率为：，
故答案为：．
20．【答案】2．
【分析】根据题意，得出A、B两地的实际直线距离，B、C两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可．
【解答】解：由题意，得AB：BC＝2：1，
∴m：n＝2：1，
即．
故答案为：2．
三．解答题（共8小题）
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，求出AD＝CE，AD∥CE，AE＝DC，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质得出OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，求出OA＝OC，求出△AOC是等边三角形，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∵CE＝BC，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB＝DC，AE＝AB，
∴AE＝DC，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵四边形ACED是矩形，
∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，
∴OA＝OC，
∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝AC＝4，
∴CD＝8．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由矩形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，由平行线的性质得出∠FBH＝∠EDG，∠OHF＝∠OGE，得出∠BHF＝∠DGE，求出BF＝DE，由AAS即可得出结论；
（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，
∴∠FBH＝∠EDG，
∵AE＝CF，
∴BF＝DE，
∵EG∥FH，
∴∠OHF＝∠OGE，
∴∠BHF＝∠DGE，
在△BFH和△DEG中，，
∴△BFH≌△DEG（AAS）；
（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：
连接DF，如图所示：
由（1）得：△BFH≌△DEG，
∴FH＝EG，
又∵EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵BF＝DF，OB＝OD，
∴EF⊥BD，
∴EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中所给的方程的两根，分别求出x1+x2，x1•x2，然后可得出x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
【解答】解：①∵x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝2；
②∵x1＝4，x2＝﹣1，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4；
③∵x1＝，x2＝，
∴x1+x2＝+＝﹣p，
x1x2＝•＝q，
即x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
故答案为：﹣3，2；3，﹣4．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当AB＝AD时，四边形ABCD是菱形，即方程 x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根相等，根据根的判别式为0可得关于m的方程，解之可得m的值，再还原方程，求解可得；
（2）根据根与系数的关系可得，解之可得AD的长，继而得出周长；
（3）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1x2＝﹣，代入到（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝5m，解之可得．
【解答】解：（1）当AB＝AD时，四边形ABCD是菱形，即方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根相等，
∴m2﹣4（﹣）＝0，
解得：m＝1，
此时方程为x2﹣x+＝0，
解得：x＝，
∴这时菱形的边长为；
（2）根据题意知，，
解得：AD＝，
∴平行四边形ABCD的周长是2×（2+）＝5；
（3）∵方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝m，x1x2＝﹣，
代入到（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝5m，可得﹣﹣3m+9＝5m，
解得：m＝．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解；
（2）求出听音乐的人数即可补全条形统计图；由C的人数即可得到所对应的圆心角度数；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：
解：
（1）由题意可得总人数为10÷20%＝50名；
（2）听音乐的人数为50﹣10﹣15﹣5﹣8＝12名，“体育活动C”所对应的圆心角度数＝360°×＝108°，
补全统计图得：
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出都是女生的有2种情况，
∴选取的两名同学都是女生的概率＝＝．
26．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可求出摸出的球是红球和黄球的概率；
（2）设放入红球x个，则黄球为（7﹣x）个，由摸出两种球的概率相同建立方程，解方程即可求出7个球中红球和黄球的数量分别是多少．
【解答】解：（1）∵袋子中装有3个红球和6个黄球，
∴随机摸出一球是红球和黄球的概率分别是＝，＝；
（2）设放入红球x个，则黄球为（7﹣x）个，由题意列方程得：
，
解得：x＝5．
所以这7个球中红球和黄球的数量分别应是5个和2个．
27．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得AM＝AN；
（2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△AEN，即可证AM2＝AE•AC，再根据AC＝AB可得结论；
（3）过点M作MF∥AB交AC于点F，设BM＝a，由＝k，BM＝a，BC＝（k+1）a，再根据可得答案．
【解答】证明（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN．
（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠MNA＝45°，
∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，
∴∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴，
∴AM•AN＝AC•AE，
∵AN＝AM，AC＝AB，
∴AM2＝AB•AE；
（3）＝．
理由：如图，过点M作MF∥AB交AC于点F，
设BM＝a，
∵＝k，
∴BM＝a，BC＝（k+1）a，
即ND＝BM＝a，AB＝CD＝BC＝（k+1）a，
∵MF∥AB∥CD，
∴，
∴MF＝ka，
∴＝＝．
故答案为：．
28．【答案】见试题解答内容
【分析】设同时运动ts时两个三角形相似，再分△PCQ∽△BCA或△PCQ∽△ACB两种情况进行讨论即可．
【解答】解：设同时运动ts时两个三角形相似，
当△PCQ∽△BCA，则，t＝0.8；
当△PCQ∽△ACB，则，t＝2．
答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似．
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（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）