四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，“”是“直线与直线平行”的，，，函数的最小值为，关于空间向量，以下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
2.已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A.B.C.D.
3.平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A.B.C.D.
4.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A.3B.4C.6D.10
6.如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ）
A.B.C.D.
7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ）
A.的方程为
B.在上存在点，使得到点的距离为3
C.在上存在点，使得
D.上的点到直线的最小距离为1
8.，，函数的最小值为（ ）
A.2B.C.D.
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9.对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A.若与互斥，则B.若与互斥，则
C.若与相互独立，则D.若与相互独立，则
10.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A.若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B.若空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C.若空间向量，满足，则与夹角为钝角
D.若空间向量，，则在上的投影向量为
11.伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A.
B.直线与平面所成角的正弦值为
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.点到直线的距离是
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知向量，，若，则__________.
13.已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________.
14.已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形面积的最小值为__________；直线过定点__________.
四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知直线的方程为.
（I）直线与垂直，且过点，求直线的方程；
（II）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程.
16.（15分）某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：
，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数；
（2）估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数；
（3）从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为1的概率.
17.（15分）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，
（1）求点的轨迹方程；
（2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于，两点，曲线的中心记为点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.
18.（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点（与，不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.
19.（17分）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆
（1）求圆与圆的根轴；
（2）已知点为根轴上的一动点，过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，求直线的方程；
（3）给出定点，设，分别为根轴和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.
高二数学期中答案学生版
参考答案：
12.2
13.
14.
15.（1）（2）直线的方程为：或
【详解】试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点代入方程解得，从而可得直线的方程；（2）由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，解得可得直线的方程.
试题解析：（1）设直线的方程为：
直线过点，
解得
直线的方程为：.
（2）设直线的方程为：
令，得；令，得
则，得
直线的方程为：或.
16.（1）30
（2）众数为55；第80百分位数为66
（3）
【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；
（2）最高矩形中点横坐标即为众数；根据百分位数的定义可求得样本的第80百分位数；
（3）计算抽取的人中，位于的有2人，记为，，数学成绩位于的有4人，记为，，，，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为：
所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为：
（2）由频率分布直方图可知，40名读书者年龄的众数约为55；
年龄在区间上的频率为：
年龄在区间上的频率为：，
故第80百分位数位于之间，设为，
所以，解得，
所以这40名读书者年龄的第80百分位数约为66.
（3）由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有人，分别记为，，年龄在区间上的读书者有人，分别记为，，，，从上述6人中选出2人，则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况；
其中恰有1人在的情况有，，，，，，，，共8种情况；
所以恰有1人在的概率为.
17.（1）
（2）或
【分析】（1）设点，，根据题意得到，代入圆，即可求解；
（2）根据题意，设直线，求得圆心到直线的距离为，得到，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程.
【详解】（1）解：设点，，由点的坐标为，且是线段的中点，
则，可得，，即，
因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程，
即，整理得，
所以点的轨迹方程为.
（2）解：过点定点的直线与曲线交于，两点，则直线的斜率一定存在且不为0，设直线，即，
则圆心到直线的距离为，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以时，取得最大值2，此时，解得或，
所以取得最大值2，此时直线的方程为或.
18【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，
又因为，，
所以，而，，平面，
所以平面；
（2）因为平面，，平面，
所以，，而，
于是建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
由（1）可知：平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，，，
则有，
设平面与平面夹角为，
；
（3）设，设，
于是有，
，由（2）可知平面的法向量为，
假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去，即.
19.（1）；
（2）；
（3）的最小值为，此时.
【分析】（1）先求出圆和圆的圆心和以及半径和，接着由列式化简即可得解.
（2）先由题意求得，进而结合求得取得最小值时亦即取得最小值时，接着求出此时的点坐标，再求出以线段为直径的圆的方程，从而求出该圆与圆的公共弦所在直线方程即可得解.
（3）先求出关于根轴对称的点，接着得，从而得与圆和根轴相交的点和使得最小，进而求得的最小值，再由联立根轴的方程即可求出.
【详解】（1）由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为，设点为圆与圆的根轴上的任意一点，
则由题可得，即，
整理得，即圆与圆的根轴为直线.
（2）由题意可知且，，，设与相交于点，
则，
又，
所以，所以取得最小值时即为取得最小值时，
又，所以取得最小值时亦即取得最小值时，
而取得最小值时，且该最小值为圆心到根轴的距离为，
此时即，
联立，故此时，
所以此时中点坐标为，
所以以线段为直径的圆的方程为，即，
则是该圆与圆的公共弦，所以两圆方程相减即为直线的方程为：即.
（3）设关于根轴对称的点为，
则，故，
则由三角形两边之和大于第三边可得，
连接，则此时与圆和根轴相交的点和使得最小为
，
且此时即，
联立，即此时，
所以的最小值为，此时.
【点睛】关键点睛：求解直线的方程的关键点1是将转化为，从而求得取得最小值时亦即取得最小值时，进而求出此时的点坐标，关键点2是求出以线段为直径的圆的方程，从而将直线的方程转化为该圆与圆的公共弦所在直线方程而得解.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
C
C
C
C
C
BC
ABD
题号
11
答案
ABD