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精品解析：四川省阆中中学校2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷
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（满分150分 时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 函数的定义域为
A. B. [2,+∞)C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
函数的定义域满足且，从而得到函数的定义域.
【详解】函数的定义域满足 ,即且
所以函数的定义域为：
故选：D
【点睛】本题考查求函数的定义域问题，属于基础题.
2. 命题，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.
【详解】命题，，则为：，.
故选：C.
3. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求集合，，再求交集.
【详解】中，即，，
根据数集的交集可知，.
故选：B
4. 设集合，集合，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由函数的定义逐一判断，即可得到结果.
【详解】图（1）定义域中的部分在值域中没有和它对应的数，不符合函数的定义；
图（2）中定义域，值域以及对应关系都是符合的；
图（3）中值域范围不是；
图（4）中在定义域给一个元素，值域中有两个元素与之对应，不符合函数定义；
故选：B
5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式性质结合反例逐一判断即可.
【详解】对于A，当时，虽说，但，错误；
对于B，成立时，不一定成立，比如时，，
此时，错误；
对于C，举反例，当时，满足，此时，，
则有，错误；
对于D，因为，所以，
所以，所以，正确.
故选：D
6. 已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A. B. 或x>1
C. D. 或x>12
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的求解，等价于一元二次方程的根，利用韦达定理，进行等量代换，可得答案.
【详解】因为不等式的解集为，所以，且和1是方程的两个实数根，
所以，即，所以不等式可化为，
因为，所以，解得或．
故选：D.
7. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、反比例函数的单调性可得不等式组，解出即可得.
【详解】由对任意，都有，故函数在上单调递增，
故有，解得.
故选：D.
8. 设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，计算出函数的值域后，分、及计算出函数的值域，再借助子集定义计算即可得.
【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，
当时，，即的值域为，
若，则，即的值域为，而，符合要求；
若，则由一次函数的性质可得，
则有，解得，又，故；
若，则由一次函数的性质可得，
则有，解得，又，故；
综上所述，.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知命题，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】求出命题p成立的条件是，则命题p成立的一个充分不必要条件是的真子集，对比选项得到答案.
【详解】恒成立，
当时，，恒成立；
当时，有，解得；
综上所述，恒成立条件是，
命题p成立的一个充分不必要条件是的真子集，CD满足.
故选：CD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 和表示同一个函数
C. 函数的值域为
D. 定义在上的函数满足，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域可判断A选项，根据具体函数的定义域可判断B选项，直接法可得函数的值域，可判断C选项，消元法求函数解析式可判断D选项.
【详解】A选项，对于，令，则，则，
所以，即的定义域为，A选项正确；
对于B，的定义域为，的定义域为，
所以和不是同一个函数，B选项不正确；
对于C，因为，所以，即函数的值域为，故C选项不正确；
对于D，由，可得，
所以由，可得，D选项正确.
故选：AD.
11. 已知，都为正数，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式一一分析判断即可.
【详解】对于A：，，，
，当且仅当，即，时，等号成立，
则的最大值为，故A正确，
对于B：，，，
，
，当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值为，故B正确，
对于C：，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
显然不成立，所以，则其最小值不为，故C错误，
对于D，，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值为，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数的单调递减区间为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由反比例函数的性质可求得的单调递减区间.
【详解】函数的定义域为，
函数的在和上均为单调递减函数，
所认函数的单调递减区间为和.
故答案为：和.
13. 已知集合，，若，则实数值集合为______．
【答案】
【解析】
【分析】由得到，则的子集有，，，，分别求解即可.
【详解】因为，故；
则的子集有，，，，
当时，显然有；
当时，；
当，；
当，不存在，
所以实数的集合为；
故答案为．
14. 对于任意实数，定义，设函数，，则函数的最小值是______.
【答案】0
【解析】
【分析】根据新函数定义求出函数hx的解析式，根据一次函数和二次函数作出图象，结合图象可得答案.
【详解】由得，解得，
所以，
由得，解得，或，
所以（，或），
，
可得hx的图象如下图，
所以hx的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. （1）求不等式的解集；
（2）设，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）不等式等价于，求解即可；
（2）分，，三种情况去绝对值，结合图象可求得值域.
【详解】（1）不等式等价于，解得或，
；
（2）当时，；
当时，；
当时，，
故y＝，
根据函数解析式作出函数图象，如图.
由图象可以看出，函数的值域为.
16. （1）已知，求的取值范围；
（2）已知正数满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）49
【解析】
【分析】（1）由已知可得，结合不等式的性质可的取值范围；
（2）利用1的代换，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）设，
则，故，所以，
因为，则，
故，即，
（2）
即，当且仅当，即时，的最小值是.
17. 已知二次函数.
（1）若存在使成立，求k的取值范围；
（2）当时，求在区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用可得答案；
（2）分、、讨论，结合二次函数的性质可得答案.
【小问1详解】
若存在使成立，
则，
解得或，
所以k的取值范围是；
【小问2详解】
当时，，为对称轴是开口向上的抛物线，
因为，所以，
当即时，
；
当即时，
；
当即时，
；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．
（其中）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．
【答案】（1）采用方案二；理由见解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；
（2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：方案一的总费用为（元）；
方案二的总费用为（元），
由，
因为，可得，所以，
即，所以，所以采用方案二，花费更少.
小问2详解】
解：由（1）可知，
令，则，
所以，当时，即时，等号成立，
又因为，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立，
所以两种方案花费的差值最小为24元.
19. 已知是定义在上的函数，，且当时，.
（1）证明：；
（2）证明:在定义域上是增函数；
（3）如果，求满足不等式的的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据条件等式，代入数值，先求f1=0，再赋值，即可证明；
（2）根据（1）的结论，再变形，结合单调性的定义，即可证明；
（3）根据条件变形不等式
【小问1详解】
证明：令，则，得f1=0.
取，则，
所以；
【小问2详解】
证明：，且，
则，.
因为，所以，则，即，
因此函数在0,+∞上单调递增；
【小问3详解】
，又
故可化为
，，
（满分150分 时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 函数的定义域为
A. B. [2,+∞)C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
函数的定义域满足且，从而得到函数的定义域.
【详解】函数的定义域满足 ,即且
所以函数的定义域为：
故选：D
【点睛】本题考查求函数的定义域问题，属于基础题.
2. 命题，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.
【详解】命题，，则为：，.
故选：C.
3. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求集合，，再求交集.
【详解】中，即，，
根据数集的交集可知，.
故选：B
4. 设集合，集合，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由函数的定义逐一判断，即可得到结果.
【详解】图（1）定义域中的部分在值域中没有和它对应的数，不符合函数的定义；
图（2）中定义域，值域以及对应关系都是符合的；
图（3）中值域范围不是；
图（4）中在定义域给一个元素，值域中有两个元素与之对应，不符合函数定义；
故选：B
5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式性质结合反例逐一判断即可.
【详解】对于A，当时，虽说，但，错误；
对于B，成立时，不一定成立，比如时，，
此时，错误；
对于C，举反例，当时，满足，此时，，
则有，错误；
对于D，因为，所以，
所以，所以，正确.
故选：D
6. 已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A. B. 或x>1
C. D. 或x>12
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的求解，等价于一元二次方程的根，利用韦达定理，进行等量代换，可得答案.
【详解】因为不等式的解集为，所以，且和1是方程的两个实数根，
所以，即，所以不等式可化为，
因为，所以，解得或．
故选：D.
7. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、反比例函数的单调性可得不等式组，解出即可得.
【详解】由对任意，都有，故函数在上单调递增，
故有，解得.
故选：D.
8. 设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，计算出函数的值域后，分、及计算出函数的值域，再借助子集定义计算即可得.
【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，
当时，，即的值域为，
若，则，即的值域为，而，符合要求；
若，则由一次函数的性质可得，
则有，解得，又，故；
若，则由一次函数的性质可得，
则有，解得，又，故；
综上所述，.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知命题，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】求出命题p成立的条件是，则命题p成立的一个充分不必要条件是的真子集，对比选项得到答案.
【详解】恒成立，
当时，，恒成立；
当时，有，解得；
综上所述，恒成立条件是，
命题p成立的一个充分不必要条件是的真子集，CD满足.
故选：CD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 和表示同一个函数
C. 函数的值域为
D. 定义在上的函数满足，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域可判断A选项，根据具体函数的定义域可判断B选项，直接法可得函数的值域，可判断C选项，消元法求函数解析式可判断D选项.
【详解】A选项，对于，令，则，则，
所以，即的定义域为，A选项正确；
对于B，的定义域为，的定义域为，
所以和不是同一个函数，B选项不正确；
对于C，因为，所以，即函数的值域为，故C选项不正确；
对于D，由，可得，
所以由，可得，D选项正确.
故选：AD.
11. 已知，都为正数，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式一一分析判断即可.
【详解】对于A：，，，
，当且仅当，即，时，等号成立，
则的最大值为，故A正确，
对于B：，，，
，
，当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值为，故B正确，
对于C：，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
显然不成立，所以，则其最小值不为，故C错误，
对于D，，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值为，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数的单调递减区间为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由反比例函数的性质可求得的单调递减区间.
【详解】函数的定义域为，
函数的在和上均为单调递减函数，
所认函数的单调递减区间为和.
故答案为：和.
13. 已知集合，，若，则实数值集合为______．
【答案】
【解析】
【分析】由得到，则的子集有，，，，分别求解即可.
【详解】因为，故；
则的子集有，，，，
当时，显然有；
当时，；
当，；
当，不存在，
所以实数的集合为；
故答案为．
14. 对于任意实数，定义，设函数，，则函数的最小值是______.
【答案】0
【解析】
【分析】根据新函数定义求出函数hx的解析式，根据一次函数和二次函数作出图象，结合图象可得答案.
【详解】由得，解得，
所以，
由得，解得，或，
所以（，或），
，
可得hx的图象如下图，
所以hx的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. （1）求不等式的解集；
（2）设，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）不等式等价于，求解即可；
（2）分，，三种情况去绝对值，结合图象可求得值域.
【详解】（1）不等式等价于，解得或，
；
（2）当时，；
当时，；
当时，，
故y＝，
根据函数解析式作出函数图象，如图.
由图象可以看出，函数的值域为.
16. （1）已知，求的取值范围；
（2）已知正数满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）49
【解析】
【分析】（1）由已知可得，结合不等式的性质可的取值范围；
（2）利用1的代换，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）设，
则，故，所以，
因为，则，
故，即，
（2）
即，当且仅当，即时，的最小值是.
17. 已知二次函数.
（1）若存在使成立，求k的取值范围；
（2）当时，求在区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用可得答案；
（2）分、、讨论，结合二次函数的性质可得答案.
【小问1详解】
若存在使成立，
则，
解得或，
所以k的取值范围是；
【小问2详解】
当时，，为对称轴是开口向上的抛物线，
因为，所以，
当即时，
；
当即时，
；
当即时，
；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．
（其中）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．
【答案】（1）采用方案二；理由见解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；
（2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：方案一的总费用为（元）；
方案二的总费用为（元），
由，
因为，可得，所以，
即，所以，所以采用方案二，花费更少.
小问2详解】
解：由（1）可知，
令，则，
所以，当时，即时，等号成立，
又因为，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立，
所以两种方案花费的差值最小为24元.
19. 已知是定义在上的函数，，且当时，.
（1）证明：；
（2）证明:在定义域上是增函数；
（3）如果，求满足不等式的的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据条件等式，代入数值，先求f1=0，再赋值，即可证明；
（2）根据（1）的结论，再变形，结合单调性的定义，即可证明；
（3）根据条件变形不等式
【小问1详解】
证明：令，则，得f1=0.
取，则，
所以；
【小问2详解】
证明：，且，
则，.
因为，所以，则，即，
因此函数在0,+∞上单调递增；
【小问3详解】
，又
故可化为
，，
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