浙江省台州市山海协作体2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

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高二年级数学学科试题
命题：三门二高林杰城峰中学郭雨霞
审题：黄岩二高金乐凡
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D. 不存在
2. 在长方体中，若，即向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
4. 已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（）
A. B. C. D.
6. 椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（）
A. B. C. D.
7. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论：
①曲线C关于直线对称；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；
③存在一个以原点为中心、边长为正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）．
其中，正确结论的序号是（）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
8. 如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是（）
A. 若点为的重心，则
B. 若，则四点不共面
C. 若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间的距离均等于
D. 若与平面交于点，且，则为定值
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知直线l：，则下列选项正确的是（）
A. 当直线l与直线平行时，
B. 当直线l与直线垂直时，
C. 当实数k变化时，直线，恒过点
D. 原点到直线l的距离最大值为
10. 如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）

A. 三棱锥的体积为定值
B. 若为的中点，则直线平面
C. 若点运动到线段中点，则异面直线与所成角正弦值是
D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为
11. 已知点P是椭圆上的一点，O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，下列选项正确的是（）
A.
B. 若，且N是中点，则
C. 若的面积为1，则点P在第一象限的坐标为
D. 若，则的最小值为1
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______．
13. 已知，，且，，，则______．
14. 设为坐标原点，，若上存在点，使得，则的取值范围是_____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，．
（1）若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程；
（2）在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标．
16. 已知圆：过点，直线：和：均平分圆．
（1）求圆标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于点，且，求直线的一般式方程．
17. 动点与定点距离和它到定直线：的距离的比是，动点的轨迹记为曲线．
（1）求动点的轨迹；
（2）已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值．
18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？
19. 已知椭圆C：，若点，，，中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点P，Q．
（ⅰ）证明：点B在以PQ为直径的圆内；
（ⅱ）求四边形面积的最大值．