浙江省台州市山海协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义，即可求解.
【详解】由，，则.
故选：B
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断即可.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得且，
所以所求定义域为.
故选：D
4. 已知，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取特殊值可判断A、C、D项，根据不等式的性质可判断B项.
【详解】取，，则，但，A项错误；
因为，所以，即成立，B项正确；
取，，则.又，，，C项错误；
取，，则.但，D项错误.
故选：B.
5. 已知，，，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，即可判断.
【详解】，，，
单调递减，，
所以，即.
故选：D
6. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合指数幂的运算，由基本不等式即可求解.
【详解】，
当切仅当即时取等号.
故选：A
7. 若“”是“”的一个充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求解不等式，再根据充分不必要条件，转化为集合的包含关系，即可求解.
【详解】，
解得：或，
由题意可知， 或，
得或，即或.
故选：A
8. 设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的最小值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由，求得时，函数解析式即可求解.
【详解】当时，，
所以，
所以当时，，最大值为：，
所以的最小值为1，
故选：C
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知集合A满足，则集合A可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】分析可知集合A中必有元素，可能含有元素，且，对比选项分析判断.
【详解】因为，
可知集合A中必有元素，可能含有元素，且，
对比选项可知：AB正确，CD错误
故选：AB.
10. 已知定义在上的函数满足：①恒成立，②对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则函数可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题意确定必须为偶函数，且在递增，进而逐项判断即可.
【详解】由题意可知为偶函数，且在递增，
对于A：易知为奇函数，故错误；
对于B：易知为偶函数，且在递增，故正确；
对于C： 易知为奇函数，故错误；
对于D：易知为偶函数，当时，，单调递增，故正确；
故选：BD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数（且）过定点
B. 函数与（且）的图象关于轴对称
C. 指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则
D 若实数、满足，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：令，运算求解即可；对于B：因为，即可分析判断；对于C：分和两种情况，结合指数函数单调性分析求解；对于D：构建，结合单调性分析判断.
【详解】对于选项A：令，解得，且，
所以函数（且）过定点，故A正确；
对于选项B：因为，
所以函数与（且）的图象关于轴对称，故B正确；
对于选项C：若，则指数函数在上单调递增，
可得，解得；
若，则指数函数在上单调递减，
可得，解得；
综上所述：或，故C错误；
对于选项D：因为，即，
构建，原不等式即为，
因为在上单调递增，可知在上单调递增，
可得，即，故D正确；
故选：ABD.
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12. _____.
【答案】5
【解析】
【分析】根据根式和指数幂运算求解即可.
【详解】由题意可得：.
故答案为：5.
13. 已知幂函数的图象过点，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】将点代入解析式即可求解.
【详解】设，因为经过点，
所以，解得，
所以，
故答案为：
14. 已知函数，若，则实数的取值集合为_____.
【答案】
【解析】
【分析】令，则，先解出，然后再分和分类讨论，即和，从而可以求得实数的值.
【详解】令，则，
当时，，解得；当时，，解得或（舍）；
当时，，
（i）当时，，解得；
（ii）当时，，解得；
当时，，
（i）当时，，解得；
（ii）当时，，无解；
综上所述，实数的取值集合为
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由集合交并补运算即可求解；
（2）由题意得到，求解即可.
【小问1详解】
由题意可得：，
若，则，
所以，
，.
【小问2详解】
因为，则，解得
所以实数的取值范围.
16. 已知二次函数的图象过点.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）设，试比较与的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题根据题意转化为二次函数恒成立的问题，结合二次函数图像的性质即可列出不等式求出参数的范围；
（2）由基本不等式求出M最小值，由二次函数图像的性质求出N的最大值，从而得出.
【小问1详解】
由已知得，，，
即恒成立，则，
解得：，
所以a的取值范围是：
【小问2详解】
，
，
，
当且仅当时，等号成立.
的最小值为2.
又，
时，，
.
17. 已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且当时，，.
（1）求实数的值；
（2）试求在上的解析式；
（3）若方程有三个解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数可得，代入运算即可；
（2）根据奇函数的定义与性质求函数解析式即可；
（3）分析可知函数y=fx与函数有3个交点，结合函数图像分析求解.
【小问1详解】
因为的图象关于原点对称，则是奇函数，
可得，解得.
【小问2详解】
由（1）可知：为定义在上的奇函数，且当时，fx=x2−2x，
则，
设，则，可得，
所以.
【小问3详解】
对于方程，即，
可知函数y=fx与函数有3个交点，
由（2）可得的图象如下所示：
由图像可知：时，即有3个交点，所以的取值范围是−1,1.
18. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，试判断的单调性，并用定义证明.
【答案】（1）
（2）在上为增函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）换元令，原不等式可化为，解得，再结合至少函数单调性运算求解；
（2）根据单调性的定义结合指数函数单调性分析证明.
【小问1详解】
令，则，
原不等式可化为，解得，
即，可得，故原不等式的解集为.
小问2详解】
在上为增函数，证明如下：
因为，
任取，，且，
则.
因为，则，，
可得，即，
所以函数在上为增函数.
19. 去年尔滨凭借一己之力带火了整个东北旅游市场，风头一时无两.出圈同时，也出现了一些不和谐的声音，有游客反映房费太高住不起.这引起了相关部门的高度重视，立即展开了调查.若某酒店去年每间客房的住宿费为800元，整年的入住房间数为间.酒店承诺，今年每间客房的住宿费可以根据不同时期进行调整，价格在550元/间至750元/间上下浮动，而游客则希望每间客房的住宿费用能下调到.经过测算，若酒店下调客房的住宿费后，则新增入住房间数量和客房的实际住宿费与游客的期望价格的差成反比（比例系数为）.设每个房间的成本费用为300元.（包括水电费、人工费等）
（1）请直接写出今年价格下调后酒店的收益（单位：元）关于实际住宿费（单位：元/间）的函数解析式；
（2）若酒店仍希望今年的收益比上年至少增长，则客房的住宿费最低应定为多少元/间？
（3）当客房的住宿费定为多少元/间时，可以使酒店的收益达到最大？
【答案】（1）
（2）600元/间 （3）750元/间
【解析】
【分析】（1）由题意得到新增入住房间数量为，即可求解；
（2）由题意构造不等式组求解即可；
（3）由（1）结合对勾函数单调性即可求解
【小问1详解】
由题意得，今年新增入住房间数量为，
所以.
【小问2详解】
依题意有，
整理得，解得.
即若酒店仍希望今年的收益比上年至少增长，则住宿费最低定为600元/间.
【小问3详解】
由（1）知，
故设，，.
，
令，得，
由对勾函数的性质，函数在上单调递增，故当即时，最大.即当客房的住宿费定为750元/间时，可以使酒店的收益达到最大.