第一章　§1.2　常用逻辑用语-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

这是一份第一章　§1.2　常用逻辑用语-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习），文件包含第一章§12常用逻辑用语-北师大版2025数学大一轮复习课件pptx、第一章§12常用逻辑用语-北师大版2025数学大一轮复习讲义练习docx、第一章§12常用逻辑用语-北师大版2025数学大一轮复习讲义教师版docx、第一章§12常用逻辑用语-北师大版2025数学大一轮复习讲义学生版docx等4份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.全称量词与存在量词(1)全称量词：诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“ ”表示，读作“对任意的”．(2)存在量词：诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“___”表示，读作“存在”．
3.全称量词命题和存在量词命题
1.充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；(4)若p是q的充要条件，则A＝B.2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.3.命题p与p的否定的真假性相反.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　)(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　)(4)命题“∃x∈R， ”是真命题.(　　)
2.(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是A.p是真命题B.p的否定：∀x∈R，x＋2>0C.p的否定是真命题D.p的否定：∃x∈R，x＋2>0
当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；p的否定是真命题，故C正确．
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为__________.
由题意知，x∈A⇒x∈B，x∈B⇏x∈A，即AB，所以a<3.
例1　(1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
题型一　充分、必要条件的判定
当m∥n时，l⊥α，当l⊥α时，m∥n，综上所述，m∥n是l⊥α的充要条件.
(2)在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当a1>0，且q>1时，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N＋)，即{an}为递增数列；当{an}为递增数列时，即对一切n∈N＋，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且00，且q>1.则“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.
充分、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断.(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
跟踪训练1　(1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cs(2x＋φ)，则“φ＝ ”是“f(x)是奇函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
f(x)是奇函数等价于cs(－2x＋φ)＝－cs(2x＋φ)，即cs(－2x＋φ)＝cs(π－2x－φ)，故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，
(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件.
例2　在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题.问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}.(1)当a＝2时，求A∩B；
题型二　充分、必要条件的应用
由(x＋1)(x－3)<0，解得－1(2)若________，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，
选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，
充分不必要条件的等价形式p是q的充分不必要条件，等价于q的否定是p的否定的充分不必要条件．
典例　已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若q的否定是p的否定的充分不必要条件，则实数a的取值范围为____________.
由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1.
求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.
跟踪训练2　从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝ ，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}.(1)若m＝3，求A∪B；
依题意，得2－2≤2x≤25，解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}，当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}.
(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有AB，
所以正实数m的取值范围是m≥4.
选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有BA，于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，解得0命题点1　含量词的命题的否定例3　(1)(多选)下列说法正确的是A.“正方形是菱形”是全称量词命题B.∃x∈R，ex1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5”
题型三　全称量词与存在量词
对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确；对于B，当x＝1时，e1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确.
(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：______________________.
至少有一个实数是无理数
命题点2　含量词的命题的真假判断例4　(多选)下列命题中的真命题是A.∀x∈R,2x－1>0B.∀x∈N＋，(x－1)2>0C.∃x∈R，lg x<1D.∃x∈R，tan x＝2
指数函数的值域为(0，＋∞)，所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N＋，(x－1)2>0是假命题，故B错误；当x＝1时，lg x＝0<1，所以∃x∈R，lg x<1，故C正确；函数y＝tan x的值域为R，所以∃x∈R，tan x＝2，故D正确.
命题点3　含量词的命题的应用例5　(1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是A.(－∞，0] B.(－∞，1]C.(－∞，2] D.(－∞，5]
由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知，不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立，因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1.即实数m的取值范围是(－∞，1].
(2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是A.－1 B.0 C.1 D.2
若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题，则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，符合条件的为A，B，C选项.
含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
跟踪训练3　(1)下列命题为真命题的是A.任意两个等腰三角形都相似B.所有的梯形都是等腰梯形C.∀x∈R，x＋|x|≥0D.∃x∈R，x2－x＋1＝0
对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；对于C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；
(2)(多选)已知命题p：∀x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是A.命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－20”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；
一、单项选择题1.命题“∃x>0，sin x－x≤0”的否定为A.∀x≤0，sin x－x>0B.∃x>0，sin x－x≤0C.∀x>0，sin x－x>0D.∃x≤0，sin x－x>0
由题意知命题“∃x>0，sin x－x≤0”为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即∀x>0，sin x－x>0.
2.下列命题中，p是q的充分条件的是A.p：ab≠0，q：a≠0B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C.p：x2>1，q：x>1
对于C，x2>1⇔x>1或x<－1⇏x>1，故p不是q的充分条件；
3.设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，经检验，当λ＝1或λ＝－3时，两直线平行.即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件.
4.已知p： >1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是A.[0，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，0] D.(－∞，1]
记A＝{x|0m}，若p是q的充分条件，则A是B的子集，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(－∞，0].
5.下列说法正确的是A.“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题B.“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件C.命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0”D.若“1当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误；命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误；
6.设p：关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝lg(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么p是q的A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
若关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4<0，即－27.已知命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，则实数a的取值范围是A.－4命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题綈p：∀x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题，当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－48.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙： 为等差数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.
方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.
二、多项选择题9.下列命题是真命题的是A.∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数B.∀x∈R，函数y＝sin x＋cs x＋ 的值恒为正数C.∃x∈R，2x＜x2D.∀x∈(0，＋∞)， ＞
当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；
当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题；
当x＝ 时， ∈(0,1)， ＝1，∴ ，故D为假命题.
10.下列命题中正确的是A.“A∪B＝A”是“B⊆A”的充分不必要条件B.“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”C.“幂函数y＝ 为反比例函数”的充要条件是“m＝0”D.“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是　“1≤m≤3”
对于A，由A∪B＝A可得B⊆A，故充分性成立，由B⊆A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条件，故A错误；对于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，设为x1，x2，
当m<0时，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，满足充分性，
所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B正确；对于C，若幂函数y＝　 为反比例函数，
当m＝0时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性，所以“幂函数y＝ 为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C正确；
对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调，则1三、填空题11.在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
在△ABC中，∠A＝∠B⇔a＝b⇔sin A＝sin B，故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充要条件.
12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：______________________.
因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.
13.设p：4x－3<1，q：x－2a－1<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.
由4x－3<1，解得x<1，即p：x<1，记A＝{x|x<1}；由x－(2a＋1)<0，解得x<2a＋1，即q: x<2a＋1，记B＝{x|x<2a＋1}，因为p是q的充分不必要条件，所以AB，即2a＋1>1，解得a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞).
14.《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的__________________.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”是逻辑中的必要不充分条件.
15.已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 021设等比数列的公比为q，若a2 0210，所以a2 021＝a1q2 020>0，所以q3>1，所以q>1；若a2 0230，所以a2 023＝a1q2 022>0，所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.所以“a2 02116.已知函数f(x)＝x＋ ，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈ ，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是___________.