第二章　§2.7　指数运算与指数函数-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.分数指数幂(1)正分数指数幂给定 数a和正 数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的 数b，使得 ，则称b为a的 次幂，记作b＝___.这就是正分数指数幂.(2)负分数指数幂给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义 ＝_____＝____，这就是负分数指数幂.
2.无理数指数幂一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数aα，自然地，规定a－α＝___.3.指数幂的运算性质aαaβ＝ ；(aα)β＝ ；(ab)α＝ (a>0，b>0，α，β∈R).4.指数函数及其性质(1)定义：给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有 的正数y＝ax与之对应，因此y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数.
(2)指数函数的图象与性质
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)　　　 ＝－4.(　　)(2)2a·2b＝2ab.(　　)(3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称.(　　)(4)若am0，且a≠1)，则m2.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于A.不确定 B.0C.1 D.2
由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
3.已知关于x的不等式 ≥3－2x，则该不等式的解集为A.[－4，＋∞) B.(－4，＋∞)C.(－∞，－4) D.(－4,1]
由于y＝3x是增函数，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞).
＝－4＋1＋0.5×16＝5.
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
跟踪训练1　(多选)下列计算正确的是
对于B， ＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确；
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误.
题型二　指数函数的图象及应用
例2　(1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为A.a＝b B.0由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则01，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误.
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
跟踪训练2　(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为A.01，b<0 D.a>1,0若00或－1≤－b<0，解得b<0或01，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误.
题型三　指数函数的性质及应用
命题点1　比较指数式的大小
所以b命题点2　解简单的指数方程或不等式例4　已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数，∴p：{x|x<0}.对于不等式2x＋1命题点3　指数函数性质的综合应用例5　已知函数f(x)＝ (a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数.(1)求a的值；
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
(2)若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围.
令t＝2x，t∈[2,4]，
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.
跟踪训练3　(1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝ ，则下列结论正确的是A.函数f(x)的定义域为RB.函数f(x)的值域为(－1,1)C.函数f(x)是奇函数D.函数f(x)为减函数
因为ex>0，所以ex＋1>0，所以函数f(x)的定义域为R，故A正确；
所以函数f(x)的值域为(－1,1)，故B正确；
所以函数f(x)是奇函数，故C正确；因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1，
(2)(2023·银川模拟)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ，则a的值为________.
当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，
当 0一、单项选择题1.下列结论中，正确的是
对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得 ，当a＝1时， ＝a；当a≠1时， ≠a，故A错误；
对于C，a＋a－1＝3，则 ＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为a>0，所以 ＝ ，故C错误；
2.已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0,1)，因为a>1，所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示.故函数f(x)的图象不经过第二象限.
3.已知a＝31.2，b＝1.20，c＝ ，则a，b，c的大小关系是A.a且y＝3x为增函数，1.2>0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a>c>b.
4.(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2，＋∞)
函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，
所以a的取值范围是[2，＋∞).
5.(2023·潍坊模拟)“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是
a(2|x|＋1)＝2|x|，
因为2|x|≥20＝1，
要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解，
D为充要条件，不符合要求.
6.(2024·辽源模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，则实数a的取值范围是A.(－∞，1)B.(－2,1)C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－1,2)
令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，且是增函数，因为f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2，则g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)，又因为g(x)是奇函数，所以g(a2)>g(2－a)，又因为g(x)是增函数，所以a2>2－a，解得a<－2或a>1，故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).
二、多项选择题7.已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a2B.∃a，b∈R，使得0画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示.由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确；
所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确.
因为y＝ex是增函数，y＝ex>0，
因为f(x)是减函数，所以y＝f(x)与y＝n最多有1个交点，故f(x)－n＝0最多有一个实数根，即不存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误.
9. ＝________.
＝2－1＋8＋(23×32)＝81.
10.(2023·福州模拟)写出一个同时具备下列性质的函数f(x)＝______________.①f(x＋1)＝f(x)f(1)；②f′(x)<0.
∵f(x＋1)＝f(x)f(1)是加变乘，∴考虑指数函数类型，又f′(x)<0，∴f(x)是减函数，∴f(x)＝e－x满足要求.
11.已知函数f(x)＝ 有最大值3，则a的值为________.
令g(x)＝ax2－4x＋3，
∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，
12.(2024·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是_________.
∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，∴ ＋m－1＝ －m＋1，∴2m＝ ＋2，构造函数y＝ ＋2，x0∈[－1,1]，
∴当t＝1时，函数取得最大值0，
四、解答题13.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；当0因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
又因为f(－x)＝－f(x)，
当x≠0时，有b·2x＋1＝b＋2x，即(b－1)(2x－1)＝0，又因为当x≠0时，有2x－1≠0，所以b－1＝0，所以b＝1.经检验符合题意，所以a＝1，b＝1.
(2)判断f(x)的单调性；
因为y＝1＋2x为增函数，且1＋2x>0，则函数f(x)是减函数.
(3)若存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，求实数k的取值范围.
因为存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，且函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以不等式可转化为f(k＋t2)2t2－4t，所以k>t2－4t，令g(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4，由题意可知，问题等价转化为k>g(t)min，又因为g(t)min＝g(2)＝－4，所以k>－4，即实数k的取值范围为(－4，＋∞).
A.b>c>a B.c>b>aC.c>a>b D.a>b>c
因为y＝(cs α)x在(0,1)上单调递减，故c＝(cs α)cs α>(cs α)sin α＝a；因为幂函数y＝xcs α在(0,1)上单调递增，故c＝(cs α)cs α<(sin α)cs α＝b，故b>c>a.