第二章　§2.13　实际问题中的函数模型-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.三种函数模型的性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　)(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔.(　　)(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝lgax的增长速度.(　　)(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　　)
2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是A.y＝100x B.y＝lg100xC.y＝x100 D.y＝100x
根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快.
3.(2024·南宁联考)有一组实验数据如表：
则体现这组数据的最佳函数模型是
通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确；C选项中，当x＝6时，y≈21.33；D选项中，当x＝6时，y＝18，误差偏大，故C选项正确.
4.(2023·福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为A.26米 B.28米C.31米 D.33米
题型一　用函数图象刻画变化过程
例1　(1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是A.首次服用1单位该药物，约10分　钟后药物发挥治疗作用B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药　物持续发挥治疗作用D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒
从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；
服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.
(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是
由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
跟踪训练1　如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是
函数图象大致如A选项所示.
题型二　已知函数模型的实际问题
例2　(1)(2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的A.6倍 B.102倍C.103倍 D.106倍
设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1，里氏6.0级地震所释放出来的能量为E2，则lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8；lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8，
(2)(2023·无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝ ＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)A.32天 B.33天C.34天 D.35天
依题意可知当t＝0时，μ(t)＝6.05，
即6.05＝ ＋0.05，解得λ＝6，
所以μ(t)＝ ＋0.05，
由μ(t)＝ ＋0.05≤0.1，
所以t≥33.6，又t∈N，所以tmin＝34，至少需要放置的时间为34天.
已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
跟踪训练2　(2023·西安模拟)某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为M＝M0e－kt(其中M0，k是正常数).已知经过1 h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%的污染物所需的时间约为(参考数据：lg 2≈0.301)A.3 h B.4 h C.5 h D.6 h
由题意可知(1－20%)M0＝M0e－k，所以e－k＝0.8，由(1－60%)M0＝M0e－kt，得0.4＝e－kt＝(e－k)t＝0.8t，
题型三　构造函数模型的实际问题
例3　(2024·文山模拟)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，
通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9).
(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？
根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d