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第三章 培优点4 切(割)线放缩-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）
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在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.
常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x＋1.当x>－1时，ln(x＋1)≤x.当x>0时，x>sin x；当x<0时，x
首先证明sin x≤x，x∈[0，＋∞)，证明如下：构造j(x)＝sin x－x，x∈[0，＋∞)，则j′(x)＝cs x－1≤0恒成立，故j(x)＝sin x－x在[0，＋∞)上单调递减，故j(x)≤j(0)＝0，所以sin x≤x，x∈[0，＋∞).当a＝1时，f(x)＝sin x－ln(x＋1)，x∈[0,1]，
所以f(x)在[0,1]上单调递增，故f(x)≥f(0)＝0.
(2)若a＝－1，证明：当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤2ex－2.
令g(x)＝(2ex－2)－f(x)，x∈[0，＋∞).当a＝－1时，g(x)＝2ex－2－sin x－ln(x＋1)＝2(ex－x－1)＋x－sin x＋x－ln(x＋1)，下证：ex－x－1≥0(x≥0)，x－sin x≥0(x≥0)，x－ln(x＋1)≥0(x≥0)，且在x＝0处取等号，令r(x)＝ex－x－1(x≥0)，则r′(x)＝ex－1≥0，故r(x)＝ex－x－1在[0，＋∞)上单调递增，
故r(x)≥r(0)＝0，即x－sin x≥0，且在x＝0处取等号；由(1)知j(x)＝sin x－x在[0，＋∞)上单调递减，故j(x)≤j(0)＝0，即x－sin x≥0，且在x＝0处取等号；令t(x)＝x－ln(x＋1)(x≥0)，
故t(x)＝x－ln(x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，
故t(x)≥t(0)＝0，且在x＝0处取等号，综上有g(x)＝2(ex－x－1)＋x－sin x＋x－ln(x＋1)≥0，且在x＝0处取等号，即(2ex－2)－f(x)≥0，即证f(x)≤2ex－2.
该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板.
(1)当a>0时，讨论f(x)的单调性；
对于一元二次方程2x2－x＋a＝0，Δ＝1－8a.
f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
即证ex>ln x＋2.不妨设h(x)＝ex－(x＋1)，则h′(x)＝ex－1，h′(0)＝0，当x<0时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x>0时，h′(x)>0，h(x)单调递增，因此h(x)≥h(0)＝0，ex－(x＋1)≥0恒成立.令m(x)＝ln x－x＋1，x>0，
当0
f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0
设直线y＝b与直线l2交点的横坐标为x′2，同理可证x2≤x′2，
再证不等式x2－x1>be＋e，函数f(x)图象上有两点A(1，－1)，B(e,0)，设直线y＝b与直线OA：y＝－x，
易证x1
含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数x1，x2)，告知方程f(x)＝b有两个实根，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式.求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明.
f(x)＝(x＋1)(ex－1)，令f(x)＝0，有x1＝－1，x2＝0，
f′(0)＝1，设曲线y＝f(x)在点(－1,0)处的切线方程为y＝h(x)，
则m′(x)＝(x＋3)ex，所以当x<－3时，m′(x)<0；当x>－3时，m′(x)>0，所以F′(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，
所以当x<－1时，F′(x)<0，F(x)单调递减；当x>－1时，F′(x)>0，F(x)单调递增，所以F(x)≥F(－1)＝0，所以f(x)≥h(x)恒成立，则f(x1)≥h(x1)，
又h(x)单调递减，且m＝h(x3)＝f(x1)≥h(x1)，所以x3≤x1.
设曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝t(x)，则t(x)＝x，令G(x)＝f(x)－t(x)＝(x＋1)(ex－1)－x，则G′(x)＝(x＋2)ex－2，依据F′(x)的单调性可知，G′(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，当x→－∞时，G′(x)→－2，且G′(0)＝0，所以G(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以G(x)≥G(0)＝0，
所以f(x)≥t(x)恒成立，所以f(x2)≥t(x2)，设t(x)＝m的根为x4，则x4＝m，又函数t(x)是增函数，且m＝t(x4)＝f(x2)≥t(x2)，所以x4≥x2，
1.已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).(1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
(2)证明：ex－e2ln x＞0恒成立.
要证ex－e2ln x＞0，即证ex－2＞ln x，令φ(x)＝ex－x－1，∴φ′(x)＝ex－1.令φ′(x)＝0，得x＝0，∴当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，∴φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(0)＝0，即ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号.同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.
由ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)，可得ex－2≥x－1(当且仅当x＝2时取等号)，又x－1≥ln x(当且仅当x＝1时取等号)，∴ex－2≥x－1≥ln x且两等号不能同时成立，故ex－2＞ln x.即原不等式成立.
(1)若f(x)是减函数，求实数a的取值范围；
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(－1)＝e，即－a≥e，a∈(－∞，－e].
由f(x)有两个极值点x1，x2，可知f′(x)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，由(1)可知，当x→＋∞时，g(x)→0，且g(－2)＝0，则g(x)的图象如图所示，所以－e
过点(－1，e)和(0,0)的直线方程为y＝－ex，
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