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第八章 §8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）
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1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
|r1－r2|
1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( )(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.( )(4)在圆中最长的弦是直径.( )
2.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是A.相交 B.相切C.相离 D.相切或相交
3.直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|等于
4.圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是A.外切 B.相交 C.外离 D.内切
圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，∴圆心C2(4,3)，半径r2＝3，
命题点1 位置关系的判断例1 (1)M(x0，y0)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝1与该圆的位置关系为A.相切 B.相交C.相离 D.相切或相交
题型一 直线与圆的位置关系
由题意知M(x0，y0)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，
故直线x0x＋y0y＝1与该圆的位置关系为相离.
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为A.相交、相切或相离 B.相交或相切C.相交 D.相切
方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2).因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交.
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.
判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
命题点2 弦长问题例2 (1)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝ 时，直线l的方程为____________________.
因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时圆心(－1,3)到直线x＝0的距离为1，满足条件；当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1，
此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0，综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值为__________________________________.
设直线x－my＋1＝0为直线l，点C到直线l的距离为d，
弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.
∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外.当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
即3x－4y－5＝0.综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况.
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题例4 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为________.
圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1,1)，半径r＝1，如图，连接PC，
所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心到直线3x＋4y＋8＝0的距离d，
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
可化为bx＋ay－ab＝0，因为直线bx＋ay－ab＝0与圆x2＋y2＝1相交，
(2)直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为
圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0,0)，半径为2，由直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)可化为y－1＝2t(x－1)，∴直线l过定点P(1,1)，又12＋12＝2<4，∴点P在圆C内部，当直线l与线段CP垂直时，弦长|AB|最小，
例5 (1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为A.内含 B.相交 C.外切 D.外离
题型二 圆与圆的位置关系
圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，
(2)(2023·重庆模拟)圆A：x2＋y2＝4与圆B：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程为A.x－y＋2＝0 B.x－y－2＝0C.x＋y＋2＝0 D.x＋y－2＝0
将两圆方程作差得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.因此，两圆的公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0.
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
跟踪训练2 (1)若圆x2＋y2＋4x－4y＝0和圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于M，N两点，则线段MN的长度为
x2＋y2＋4x－4y＝0，①x2＋y2＋2x－8＝0，②由①－②可得x－2y＋4＝0.∴两圆的公共弦所在直线的方程是x－2y＋4＝0，
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________________________________________________________________________________.
x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不
唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)
如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：
①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.
则点O(0,0)到l2的距离为1，
即7x－24y－25＝0.
易知t>0，则点O(0,0)到l3的距离为1，
综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
即3x＋4y－5＝0.
一、单项选择题1.已知圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)与y轴相切，则r等于
圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)的圆心为(2,3)，半径为r.因为圆与y轴相切，所以r＝2.
2.(2024·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是A.外离 B.相交C.外切 D.内切
由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标O2(0,2)，半径r2＝2，
即|r2－r1|<|O1O2|
圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r＝1，
4.若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为
点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，圆心为(－3,2)，
5.圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0距离为 的点有A.2个 B.3个C.4个 D.无数个
因为x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，
所以过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有2个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为 的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，
如图，由题可知，圆心为O(0,0)，半径R＝1，
二、多项选择题7.已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圆C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值是A.－2 B.2 C.－1 D.1
由题可知圆心C1(a，－2)，半径r1＝5，圆心C2(－1，－a)，半径r2＝2，因为圆C1与圆C2内切，
解得a＝－1或a＝2.
8.已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，点P是直线l：x＋y＝0上一动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法错误的是
对于A，由圆C：(x－2)2＋y2＝1，可得圆心C(2,0)，半径r＝1，
因为|PA|min＝1，所以四边形ACBP的面积的最小值为1，故C错误；对于D，设P(t，－t)，由题知A，B在以PC为直径的圆上，
又由C(2,0)，所以(x－t)(x－2)＋(y＋t)(y－0)＝0，即x2＋y2－(t＋2)x＋ty＋2t＝0，因为圆C：(x－2)2＋y2＝1，即x2＋y2－4x＋3＝0.
两圆的方程相减得直线AB：(2－t)x＋ty－3＋2t＝0，即2x－3－t(x－y－2)＝0，
三、填空题9.写出一个经过原点，截y轴所得弦长是截x轴所得弦长2倍的圆的标准方程_______________________________.
(x－1)2＋(y－2)2＝5(答案不唯一)
显然圆截x轴、y轴所得弦的一个端点为O(0,0)，设圆截x轴所得弦的另一端点为A(a,0)，a≠0，则该圆截y轴所得弦的另一端点为B(0,2a)或B(0，－2a)，
取a＝2，得圆的一个标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
10.与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程为____________________.
(x－2)2＋(y－2)2＝2
曲线方程化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，
标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
11.若圆C1：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝1上，则r的取值范围是_________________.
设圆C1关于y轴的对称圆为圆C3，其方程为(x＋1)2＋y2＝r2，根据题意，圆C3与圆C2有交点，
12.(2023·大庆模拟)已知直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，并且点B(3,4)到直线l的距离是2，这样的直线l有______条.
由已知可得，圆心C(2,1)，半径r1＝1.由点B(3,4)到直线l的距离是2，所以直线l是以B(3,4)为圆心，r2＝2为半径的圆的切线，又直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，所以直线l是圆C与圆B的公切线.
所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l有4条.
四、解答题13.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？
两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，则圆心分别为(1,3)，(5,6)，
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
14.已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l恒过点P(4,1).(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径r＝2，①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x＝4，此时直线与圆相切，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，若直线l与圆相切，
即l：3x＋4y－16＝0，综上，当直线l与圆C相切时，所求直线l的方程为x＝4或3x＋4y－16＝0.
由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，
则直线l的方程为y＝1或4x－3y－13＝0.
15.(多选)(2023·重庆九龙坡育才中学模拟)已知圆M：(x＋cs θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直线l：y＝kx，则A.对任意实数k与θ，直线l和圆M相切B.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点C.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切
圆M：(x＋cs θ)2＋(y－sin θ)2＝1恒过定点O(0,0)，直线l：y＝kx也恒过定点O(0,0)，所以对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，故B正确；圆心M(－cs θ，sin θ)，
则对任意实数k，存在θ，使得直线l和圆M的关系是相交或者相切，故D正确，A错误；
当θ＝0时，圆M为(x＋1)2＋y2＝1，此时不存在实数k，使得直线l和圆M相切，故C错误.
16.(2023·赣州统考)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆C′是以圆x2＋y2＝1上任意一点为圆心，半径为1的圆.圆C与圆C′交于A，B两点，则当∠ACB最大时，|CC′|＝______.
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