第八章　§8.5　椭　圆-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 (大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的 ，两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的 .注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在.
2.椭圆的简单几何性质
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大， 最大.(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)设F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆.(　　)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(　　)
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
得a2＝25，即a＝5，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝6，即点P与另一个焦点F2的距离为6.
例1　(1)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝25，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，则动圆圆心M的轨迹方程为
题型一　椭圆的定义及其应用
如图，由题意得，|C1M|＝5－|MQ|，|C2M|＝1＋|MP|，其中|MQ|＝|MP|，所以|C1M|＋|C2M|＝5－|MQ|＋1＋|MP|＝6>2＝|C1C2|，由椭圆定义可知，动圆圆心M的轨迹为以C1，C2为焦点且长轴长为6的椭圆，
则2a＝6，c＝1，解得a＝3，b2＝a2－c2＝9－1＝8，
椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
跟踪训练1　(1)(2023·郑州模拟)若F1，F2分别为椭圆C： ＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为A.4　　　B.8　　　C.10　　　D.20
由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝(|AF2|＋|AF1|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4a＝20.
(2)(2024·哈尔滨模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容.例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图).步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕.圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C.
现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为______.
如图，设点F关于折痕的对称点为点A，由对称性可知|MF|＝|MA|，且A，M，E三点共线，以FE所在直线为x轴，EF的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
所以|ME|＋|MF|＝|EA|＝4>|EF|＝2，所以曲线C是以F，E为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，
例2　(1)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为
题型二　椭圆的标准方程
不妨设A(xA，yA)在第一象限，由椭圆的左焦点F(－1,0)，点C，F是线段AB的三等分点，则C为AF的中点，F为BC的中点，所以xA＝1，
又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4，
根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
跟踪训练2　(1)(2024·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为
如图，连接PF1，QF1，由椭圆的对称性得四边形PF1QF2为平行四边形，所以|PF2|＋|F2Q|＝|PF2|＋|PF1|＝2a＝6，得a＝3.又因为PF2⊥F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF2|＝m，|F2Q|＝n，
题型三　椭圆的几何性质
设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，
求椭圆离心率或其范围的方法
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2　与椭圆有关的范围(最值)问题
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.(2)利用函数，尤其是二次函数.(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
方法一　由题意知A(－4,0)，F(2,0)，设M(x0，y0)，
方法二　由题意知A(－4,0)，F(2,0)，设M(x0，y0)，取线段AF的中点N，则N(－1,0)，连接MN，如图，
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
所以1依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，
所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
根据题意，四边形AF1BF2是矩形，设|AF1|＝m，|AF2|＝n，则有m＋n＝10，m2＋n2＝(2c)2＝64，由此可得mn＝18，
又△ABF1的面积与△AF1F2的面积相等，所以△ABF1的面积等于9.
5.(2023·沈阳模拟)魏晋时期数学家刘徽(图(1))为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上.将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时(如图(2))，两圆柱公共部分形成的几何体(如图(3))即得一个“牟合方盖”，图(4)是该“牟合方盖”的直观图(图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上).由“牟合方盖”产生的过程可知，图(4)中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为
如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，
∴当点P为椭圆的右顶点时，|PF|取最小值，|PF|min＝a－c＝a－3，
解得a＝0(舍)或a＝6，∴b2＝a2－c2＝36－9＝27，
二、多项选择题7.(2023·长沙模拟)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是A.卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B.卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆D.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度慢，根据面积守恒定律，则运行时间长，D正确.
根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，B不正确；
所以|PF1|＝1，故B不正确；
此时∠F1PF2＝90°，有2个直角三角形，当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°，此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1＝90°，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故D正确.
三、填空题9.已知F1(－2,0)，F2(2,0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，则椭圆C的方程为____________.
则a2－b2＝c2＝4，
所以a2－3a－4＝0，解得a＝4或a＝－1(舍去)，所以b2＝12，
如图，易知|AF1|＝|AF2|＝a.
所以△F1AF2为等边三角形，即|AF1|＝|F1F2|，
11.已知一个离心率为 ，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为F1，F2，在椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，设△PF1F2的内切圆半径为r，则r的值为______.
所以a＝2，c＝1，在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝4，
12.(2023·潍坊模拟)如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成.已知A，C可在带滑槽的直杆l上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动).若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为______.
连接BD，PB，BH(图略)，因为四边形ABCD为菱形，则AC为线段BD的垂直平分线，故|PB|＝|PD|，所以|PH|＋|PB|＝|PH|＋|PD|＝|DH|＝4>2＝|BH|，故点P的轨迹是以B，H为焦点且长轴长为4的椭圆，可得2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1，所以|PB|的最大值为a＋c＝3.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别与x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点，若|OR|·|OQ|＝4，求椭圆C的方程.
由椭圆C的方程，可得M(0，b)，N(0，－b)，
(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的取值范围；
设点P的坐标为(x，y)，
(2)设直线AP与BP分别与直线x＝3交于M，N，问是否存在点P使得△PAB与△PMN面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)，
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，
如图所示，设|F1F2|＝2c，因为4|F2N|＝3|F2M|，设|F2N|＝3t，则|F2M|＝4t，
由椭圆定义可知|F1N|＝2a－3t，|F1M|＝2a－4t，|F1N|＋|F1M|＝|MN|＝4a－7t＝5t，解得a＝3t，所以|F1N|＝2a－3t＝3t＝|F2N|，|F1M|＝2a－4t＝2t，
在△F1MF2中，由余弦定理可得
因为∠NF1F2＋∠MF1F2＝π，所以cs∠NF1F2＋cs∠MF1F2＝0，
如图，延长PF2，F1M相交于点N，连接OM，
因为PM为∠F1PF2的平分线，所以|PN|＝|PF1|，则点M为F1N的中点，因为O为F1F2的中点，