湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

考试时间：2024年11月12日上午8:00-10：00 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校､考号､班级､姓名等填写在答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷､草稿纸上无效.
3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷､草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题，命题，则（ ）
A. 和均为真命题B. 和均为真命题
C. 和均为真命题D. 和均为真命题
3. 已知函数则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
4. 已知为非零实数，则“”是“关于的不等式与不等式解集相同”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
8. 设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②
③；
④
其中是集合上的拓扑的集合的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.
9. 下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（ ）
A. B.
C D.
10. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 1
11. 已知函数在上最大值比最小值大1，则正数的值可以是（ ）
A. 2B. C. D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则实数的值所组成的集合为__________.
13. 已知是定义在上的奇函数，若，则__________.
14. 以表示数集中最大数，表示数集中最小的数，则__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设集合.
（1）若，求的取值；
（2）记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围.
16. 已知定义在上的函数对任意实数都有，且当时，.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）求不等式的解集.
17. 如图，在公路的两侧规划两个全等的公园.（）其中为健身步道，为绿化带.段造价为每米3万元，段造价为每米4万元，绿化带造价为每平方米2万元，设的长为的长为米.

（1）若健身步道与绿化带的费用一样，则如何使公园面积最少？
（2）若公园建设总费用为74万元，则健身步道至少多长？
18. 已知函数是奇函数，且.
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）当时，解关于不等式.
19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：是函数的一个“优美区间”；
（2）求证：函数不存在“优美区间”；
（3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值.2024年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试
高一数学试卷
命题学校：天门市竟陵高级中学 命题教师：孙勇波
审题学校：崇阳众望高中 审题教师：陈琪
考试时间：2024年11月12日上午8:00-10：00 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校､考号､班级､姓名等填写在答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷､草稿纸上无效.
3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷､草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由补集运算可直接求解.
【详解】，
故选：B.
2. 已知命题，命题，则（ ）
A. 和均为真命题B. 和均为真命题
C. 和均为真命题D. 和均为真命题
【答案】D
【解析】
【分析】判断全称量词命题及存在量词命题及其否定的真假即可得答案.
【详解】对于命题，当时，，为假命题，则为真命题，AC错误；
对于命题，当时，，为真命题，则为假命题，BC错误.
所以和均为真命题，D正确.
故选：D
3. 已知函数则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】代入求解得到，结合，，求出答案.
【详解】由，
则，
又，，所以.
故选：C
4. 已知为非零实数，则“”是“关于不等式与不等式解集相同”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式解集与方程根的关系可得当两不等式解集不相同，即可得出结论.
【详解】由知，
若与不等式解集不相同；
若与不等式解集相同，则.
则“”是“关于的不等式与不等式解集相同”的必要不充分条件
故选：B
5. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】则原问题转化为方程：在上有解问题，结合对称轴和根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】设为奇函数，且当时，，
则时，，
则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题.
由在有解得：
.
故选：A
6. 函数若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据单调性的定义判断单调性，由分段函数单调增的条件，列出不等式组，求得结果
【详解】因为对任意，都有成立，
可得在上是单调递增的，
则.
故选：C
7. 已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式求的最小值，再将恒成立问题转化为最值问题，可得不等式，求解即可.
【详解】因为，且为正实数，
所以
，当且仅当，即时，等号成立.
所以，则
因为恒成立，所以，解得，
故选：A.
8. 设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②
③；
④
其中是集合上的拓扑的集合的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】利用定义结合集合间的基本关系与运算计算即可.
【详解】①
故①不是集合X上的拓扑的集合；
③，
故③不是集合X上的拓扑的集合；
对于选项②④
满足：（1）X属于，属于；
（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于，
综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②④
故选：C
【点睛】思路点睛：新定义问题关键在于理解题意，将问题转化为集合间的基本关系即可.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.
9. 下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由恒成立问题解出的取值范围，再利用集合间的包含关系即可判断.
【详解】由对恒成立可得，
①当时，成立；
②当时，，解得；
故对恒成立时，的取值范围是，
则是的真子集，且是的真子集；
故选：CD
10. 当两个集合中一个集合为另一个集合子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过，确定集合，再通过选项逐个判断即可.
【详解】当时，，
当时，，
对选项A：若，，此时，满足；
对选项B：若，，此时，不满足；
对选项C：若，，此时，满足；
对选项D：若，，此时，满足；
故选：ACD.
11. 已知函数在上的最大值比最小值大1，则正数的值可以是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在2,4上单调递增，所以，
，所以，解得或（舍去）；
当时，函数在2,4上单调递减，所以，
，所以，解得（舍去）；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，且，，
若，即，则，解得（舍去）或（舍去）；
若，即，则，解得或（舍去）.
综上所述，或.
故选：AD
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则实数的值所组成的集合为__________.
【答案】
【解析】
【详解】因为，，，
所以，，
所以或，
当时，解得，合题意，
当时，解得或，
若，，，合题意，
若，，，不满足集合中元素的互异性，舍去，
综上所述，.
故答案为：.
13. 已知是定义在上的奇函数，若，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】通过函数奇偶性得到，再令即可求解.
【详解】为奇函数，即
令有
故答案为：4
14. 以表示数集中最大的数，表示数集中最小的数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数，，的图象可求出的解析式，进而求出最大值.
【详解】在同一坐标系下画出函数，，的图象，
联立，解得或，所以；
联立，解得或，所以；
由图可知，
所以当时，有最大值，
则，
故答案为：
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设集合.
（1）若，求的取值；
（2）记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围.
【答案】（1）或或
（2）
【解析】
【分析】（1）通过和两类情况讨论即可；
（2）确定中元素个数，由（1）即可确定.
【小问1详解】
若，则此时
若则，当时；当且时
，即，解得或，，
由若可知有或或
【小问2详解】
若集合的非空真子集有6个，则，可得，
即中的元素只有3个，又
由（1）知，且且即且且
故实数的取值所构成的集合为
16. 已知定义在上的函数对任意实数都有，且当时，.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由函数解析式求，再由求；
（2）设，可得，再利用可得的解析式；
（3）可根据的符号分类讨论，列不等式求解即可.
【小问1详解】
因为时，，
所以，，
【小问2详解】
当时，，此时，
又对任意实数x都有，故时，，
所以函数；
【小问3详解】
由得，或，
①当时，，即或，解得或；
②当时，，即，解得；
综上所述，不等式的解集为.
17. 如图，在公路的两侧规划两个全等的公园.（）其中为健身步道，为绿化带.段造价为每米3万元，段造价为每米4万元，绿化带造价为每平方米2万元，设的长为的长为米.

（1）若健身步道与绿化带的费用一样，则如何使公园面积最少？
（2）若公园建设总费用为74万元，则健身步道至少多长？
【答案】（1）的长为的长6
（2）14米
【解析】
【分析】（1）根据题意得，利用基本不等式即可解决；
（2）由题意得，化简得，结合基本不等式即可解决.
【小问1详解】
依题意得：，即，
因为，
所以，解得，
当且仅当，即时，等号成立，
此时面积，
故的长为的长6时公园面积最少.
【小问2详解】
依题意得：，
所以，所以，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
此时，
故健身步道至少长（米）.
18. 已知函数是奇函数，且.
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）当时，解关于的不等式.
【答案】（1），.
（2）在上单调递增；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质得到，求出，代入得到；
（2）定义法求解函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；
（3）在（2）基础上，由的奇偶性得到在上单调递增，又时，，从而得到不等式，求出解集.
【小问1详解】
因为函数是奇函数，
所以，
即，，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，解得.
【小问2详解】
在上单调递增，理由如下：
由（1）可知
任取，且，则
，
因为，且，
所以，，
所以，即，
所以在上单调递增；
【小问3详解】
当时，，
因为在上单调递增且为奇函数，所以在上单调递增，
因为，
所以，即，
解得，或，综合得或
所以不等式的解集为
19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：是函数的一个“优美区间”；
（2）求证：函数不存在“优美区间”；
（3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）在区间0,4上单调递增，又，满足“优美区间”的定义；
（2）根据的定义域，可设或，由单调性得到，两式相减，化简得到，代入方程组，得到，原方程无解，故函数不存在“优美区间”；
（3）根据函数定义域得到或，分离常数得到hx在上单调递增，故，是方程，即的两个同号且不等的实数根，根据，求出或，由韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，当时，取得最大值.
小问1详解】
在区间0,4上单调递增，又，
当时，，
根据“优美区间”的定义，0,4是的一个“优美区间”；
【小问2详解】
，设，
可设或，
则函数在上单调递减.
若是的“优美区间”，则
两式相减可得：，
又，所以，即，
代入方程组，得到，原方程无解.
函数不存在“优美区间”.
【小问3详解】
，设.
有“优美区间”，
或，
在上单调递增.
若是函数hx的“优美区间”，则，
是方程，
即（*）的两个同号且不等的实数根.
，
或，
由（*）式得.
，
或，
当时，取得最大值.
.
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.