湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题（原卷版）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：100分
一、填空题（共18题，每小题3分，共54分．请将答案直接填在答题卡的相应位置）
1.一组数据如下：7，10，9，6，11，9，8，4，则这组数据的中位数为________．
2.计算___________.
3.化简：________．
4.________．
5.已知，则____________.
6.如图，中，，，，，则________.
7.已知，求的值________．
8.如图，边长为20的正方形ABCD中，以BC为直径画一个半圆，直线DE与半圆相切，交AB于E点，则DE=________．
9.不等式的解集是全体实数，求实数a的取值范围________．
10.若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是______________.
11.如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是________．
12.如图，已知的半径是1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为______.
13.如图，直线与抛物线交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB=________．
14.因式分解：________．
15.二次函数（）大致图象如图所示，顶点坐标为（，），下列结论：①；②；③；④若方程有两个根和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有____个．
16.若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．
17.如图，在菱形ABCD中，边AB=5，E，F分别在BC和AD上，若DF=1，BE=3，且此时BF=DE，则BF的长为________．
18.已知三个关于x的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为________．
二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置）
19.随着我校选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整；
（2）在此次调查活动中，初三（1）班两个学习小组内各有人都最喜欢演讲活动，其中，只有人是女同学，现从中任选人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选人来自同一个小组且恰有人是女同学的概率．
20.已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为，，且，求m的值．
21.如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．
22.平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，若，求点Q的坐标和此时△QAA'的面积．
23.在矩形ABCD中，BD为矩形ABCD的对角线，∠CBD=60°，BD=12．
（1）如图①，将△BCD绕点B逆时针旋转120°得到△BC0D0，其中，点C、D的对应点分别是点C0、D0，延长D0C0交AB于点E．求BE的长；
（2）如图②，将（1）中的△BC0D0以每秒1个单位长度的速度沿射线BC向右平行移动，得到△B1C1D1，其中，点B、C0、D0的对应点分别是点B1、C1、D1，当点C1移动到边CD上时停止移动．设移动的时间为t秒，△B1C1D1与矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图③，在△B1C1D1移动过程中，直线D1C1与线段AB交于点N，直线B1C1与线段BD交于点M．否存在某一时刻t，使△MNC为等腰三角形，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．