湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题（原卷版）

这是一份湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题（原卷版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：90分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）
1.分数、和大小关系为（ ）
A.B.C.D.
2.化简（ ）
A.B.C.D.
3.在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（ ）
A.B.C.D.
4.关于x不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
5.图(一)､图(二)分别为甲､乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图.若甲､乙两班学生的投进球数的众数分别为；中位数分别为，则下列关于的大小关系，何者正确？（ ）
A.B.
C.D.
6.如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴， 轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）

A.1B.2C.3D.4
7.已知，，则（ ）
A.22B.44C.440D.484
8.菱形ABCD的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A.B.C.D.
9.如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①；②若，则；③若点G为BC的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
10.若直角坐标系内两点P、Q满足条件①P、Q都在函数y的图象上，②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）.已知函数，则函数y的“友好点对”有（ ）个
A.0B.1C.2D.3
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11.已知，则分式______.
12.一渔船在海上A处测得灯塔C在它北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是______海里．
13.在矩形ABCD中，若，，点P在边AD上，则的最小值为______．
14.如果可以分解为两个一次因式之积，那么______.
15.在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则______．
16.若方程恰有三个解，则所有符合条件的a之和为______．
三、解答题（本题共4个小题，第17题10分，第18、19、20题每小题12分，共46分）
17.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．
（1）求f(50)的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？
18.如图，点，，，分别是平行四边形各边的中点，连接，相交于点，连接，相交于点．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形的面积为4，求平行四边形的面积．
19.如图，已知AB是的直径，点C，E在上，EC的延长线与AB的延长线相交于点D，且，．
（1）求证：是平分线；
（2）求的度数；
（3）求的值．
20.图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点P为第三象限内抛物线上一动点，作直线AC，连接PA，PC，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）设直线：交抛物线于点M，N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线：上总存在一点E，使得为直角．
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