安徽省合肥市一六八中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试题

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考生注意：
1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
3.若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为（ ）
A.1 B.1或5 C.5 D.3或5
4.已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.圆与圆的公切线条数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，当的面积为2时，等于（ ）
A.0 B.1 C.2 D.
7.在四棱锥中，，则此四棱锥的高为（ ）
A. B. C.6 D.8
8.已知是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A.直线过定点
B.直线与圆恒相交
C.直线被圆截得的弦长为4时，
D.直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为
11.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为是椭圆上异于的一个动点，则下列说法正确的有（ ）
A.椭圆的离心率为
B.若，则
C.直线的斜率与直线的斜率之积为定值
D.符合条件的点有且仅有2个
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围是__________.
13.若直线与直线平行，则直线与之间的距离为__________.
14.已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.利用此结论，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知向量.
（1）当时，若向量与垂直，求实数的值；
（2）若向量与向量共面，求实数的值.
16.（15分）
已知两直线和的交点为.
（1）若直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；
（2）若圆过点且与相切于点：求圆的标准方程.
17.（15分）
已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹称为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若倾斜角为的直线与曲线交于两点，且，求直线的方程.
18.（17分）
在中，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上（包含端点）是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
19.（17分）
定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求“共轭点对”中点所在直线的方程；
（3）设为坐标原点，点在椭圆上，，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于8.
数学参考答案､提示及评分细则
1.【答案】C
【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.
2.【答案】B
【解析】由，得，所以直线的一个方向向量为.
3.【答案】C
【解析】根据左焦点的坐标为，可得，且焦点在轴上，故.
4.【答案】D
【解析】记为点，则直线的斜率，直线的斜率，因为直线过点，且与线段相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是.
5.【答案】C
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心为，半径，因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条.
6.【答案】A
【解析】由题意可得：，则，设，由题意可得：，解得，代入方程可得，则，又因为，则.
7.【答案】B
【解析】设平面的法向量，则令，得，所以此四棱锥的高.
8.【答案】A
【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，设中点为，则，且，可得，又因为，可知为等腰直角三角形，则，可得，故点的轨迹是以原点为圆心，4为半径的圆，因为直线上存在点使得，即直线与圆有交点，即圆心到直线的距离，解得或.
9.【答案】AB
【解析】因为，所以，所以，A正确，D错误；因为，且，所以，B正确；因为，所以或者错误.
10.【答案】ABD
【解析】直线，即，则直线恒过定点，故A正确；因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确；直线，圆心到直线的距离，解得，故C错误；设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时，直线的方程为，故D正确.
11.【答案】AC
【解析】由题知，因为即，解得，所以离心率，故A正确；
若，连接，在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以，所以，又，解得，所以，故B错误；
设，则，又因为点在椭圆上，所以，因为，所以，从而
，所以，为定值，故C正确；因为，所以点在以为直径的圆上，半径为，又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即不存在符合条件的点，故D错误.
12.【答案】
【解析】若方程表示椭圆，则解得且.
13.【答案】
【解析】由于与平行，则，解得，故两直线方程分别为，所以直线与之间的距离为.
14.【答案】
【解析】由题知两平面与的一个法向量分别为，设直线的一个方向向量，则即取，则，又平面的法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为.
15.（13分）【解析】（1）因为，所以，
解得，即.
由，且，得，
解得，即的值为3.
（2）因为向量与向量共面，所以设，因此，
即解得所以的值为.
16.（15分）【解析】联立方程组解得
所以直线和的交点.
（1）因为直线与直线平行，故可设直线.
又直线过点，则，解得，
即直线的方程为.
（2）设所求圆的标准方程为，
直线的斜率为，故直线的斜率为，
由题意可得解得
故所求圆的标准方程为.
17.（15分）【解析】（1）设，则，
整理得，
所以曲线的方程为.
（2）由题可设直线，将代入方程，
整理得：，
设，则，解得，
所以，
则，
整理得：，满足，所以，
即直线方程为或.
18.（17分）【解析】（1）证明：因为在中，，且，
所以，则折叠后，.
又平面，
所以平面平面，所以，
又已知且平面内，所以平面；
（2）解：由（1）知，可以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
因为经过的重心，所以，
故，
由几何关系可知，，
故，
，
，
设平面的法向量为，则即
不妨令，则.
设与平面所成角的大小为，
则有，
故，即与平面所成角的大小为；
（3）解：假设线段上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为.
在空间直角坐标系中，，
设，则，
设平面的法向量为，则有即
不妨令，则，所以，
设平面的法向量为，则有即
不妨令，则，所以，
若平面与平面的夹角的余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的，使平面与平面的夹角的余弦值为，
当是中点时，此时的长度为或当与重合时，的长度为.
19.（17分）【解析】（1）依题意，解得
所以椭圆的方程为.
（2）由题知，，所以，
所以点所在的直线的方程为.
（3）由（2）知，直线，
联立解得或
则.
设点，则
两式相减得，
又，于是，则，故线段被直线平分.
设点到直线的距离为，则四边形的面积，
而，故.
设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，最大，
由消去得，
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与不可能相切，
即小于平行直线和（或）的距离，所以，得证.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
C
D
C
A
B
A
AB
ABD
AC