湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线在轴上的截距为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】令则
直线在轴上的截距为-2，
故选：A.
2. 已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（ ）象限．
A. 四B. 三C. 二D. 一
【答案】D
【解析】对于直线（为斜率），直线，其斜率，设其倾斜角为，根据，可得，又因为倾斜角，所以.
直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角.
直线的斜率.
因为直线过点，根据直线的点斜式方程（为直线上一点，为斜率），可得直线的方程为，即.
直线的斜率为负，截距为负，所以直线不过第一象限.
故选：D.
3. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 531 224 344 151 254 424 142
435 414 135 432 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）
A. 0.4B. 0.45C. 0.5D. 0.55
【答案】C
【解析】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算，
知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为
故选：C.
4. 已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为事件A，B互斥，所以它们都不发生的概率为，
所以
又因为，
所以
所以
故选：D.
5. 现有一段底面周长为厘米和高为15厘米圆柱形水管，AB是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P点，另一只从B沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q点，则此时线段PQ长（单位：厘米）为（ ）
A. B. 12C. D.
【答案】B
【解析】应用圆柱的特征取上下底面的圆心连线为轴，BO所在直线为y轴，
再过作的垂线为轴，如图建系，
过向圆作垂线垂足为，，设圆半径为，所以，
设，所以圆弧的长度为：，，
则，
同理，过向圆O作垂线垂足为，则，
所以.
故选：B.
6. 概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ）
A. 甲315枚，乙105枚B. 甲280枚，乙140枚
C. 甲210枚，乙210枚D. 甲336枚，乙84枚
【答案】A
【解析】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为，若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负，
①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为；
所以甲胜出的概率为，甲应该分得赌金的，即甲分得赌金枚，乙分得赌金枚.
故选：A.
7. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方法一：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点．
又，所以直线的方程为，
即．
由题知圆的圆心为，半径为1，
直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于1，
所以，解得．
方法二：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点，
临界情况为直线与圆相切．
设切点为，令，易得，
所以．
因为直线的斜率为，所以直线的斜率．
易得直线的方程为．所以．

故选：A
8. 如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，
由题意知：；
令，则，，
四点共面，（当且仅当时取等号），
；
设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，
又，，
，即最小值为.
故选：C.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
B. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
C. 若，则是锐角
D. 若对空间中任意一点，有，则M，A，B，C四点不共面
【答案】AB
【解析】若不是空间的一个基底，则共面，所以存在实数，使得，
所以，，这是不可能的，A正确；
，向量是平面的法向量，
则，，
.故选项B正确，
当夹角为时，故选项C错误,
若，则，
即，所以，，
所以共面，所以四点共面，D错；
故选：AD．
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件
B. 若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥有可能同时成立
C. 若三个事件A，B，C两两相互独立，则满足
D. 若事件A，B相互独立，，，则
【答案】AD
【解析】对于A选项， 已知，，，而，
即，所以、是相互独立事件，A选项正确.
对于B选项，若、互斥，则，.
若、相互独立，则（因为，）.
所以事件，相互独立与，互斥不可能同时成立，B选项错误.
对于C选项，设样本空间，每个样本点的概率为.
定义，；，；，.
，. ，.
，，所以A、B、C两两相互独立.
而，，，
此时. C选项错误.
对于D选项，因为、相互独立，则与，与也相互独立.
.
.
所以，D选项正确.
故选：AD.
11. 平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，,动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ）
A. 点的轨迹的方程是
B. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1
C. 直线与点的轨迹相离
D. 已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是3
【答案】ACD
【解析】对于A,设，
已知，，
且.
根据两点间距离公式，.
则.两边平方可得.
展开整理得，配方可得，所以A选项正确.
对于B,点到圆心距离为.
圆的半径.根据弦长公式，当最大弦长最小，最大为圆心到点的距离.所以弦长最小值为，所以B选项错误.
对于C,圆心到直线的距离.
因为（圆的半径），所以直线与圆相离，C选项正确.
对于D,四边形的面积，
因为.
要使面积最小，则最小，
即圆心到直线的距离与半径的关系.
圆心到直线的距离.
.
所以四边形面积最小值，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 抛掷两个质地均匀骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为______．
【答案】
【解析】抛掷两个质地均匀的骰子出现的所有情况有：
共36种情况，
其中“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的有5种，所以所求概率为.
故答案为：.
13. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意，，直线是与平行的直线，
如图所示：

当直线与曲线相切时，(负舍)
当时，，结合图形分析得的取值范围是.
故答案为：.
14. 在空间直角坐标系中，，，，，，P为所确定的平面内一点，设的最大值是以为自变量的函数，记作．若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】如图所示，由已知可得，，，
则，，即，，又，，平面，则平面，
①当，两点在平面同侧或一点在平面上时，，当且仅当，有一点在平面上时取等号；即；
②当，两点在平面异侧时：设平面与直线交于点，
将延拓，如图所示，则，
由，，，平面，
则平面，即，
抽象出平面如图所示，
则，
设点关于直线的对称点为，则，
当且仅当时，取得最小值，
由，且，，，
则，
即，，
则，，
又，则，
即，
所以，
所以，符合
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A，B，C的概率分别是，，．
（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；
（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．
解：（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”．
由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，
所以．
所以．
因此其得分低于4分的概率为；
（2）设事件，，，表示“”第i次被评定为等级A，B，C，D，．
则“两次射击得分之和为8分”为事件，
且事件，，互斥，，，
所以两次射击得分之和为8分的概率.
16. 已知的顶点，边AB上的中线CD所在直线方程为，边AC上的高线BE所在直线方程为．
（1）求边BC所在直线的方程；
（2）求的面积．
解：（1）因为，所以设直线AC的方程为：，
将代入得，所以直线AC的方程为：，
联立AC，CD所在直线方程：，解得，
设，因为为AB的中点，所以，
因为在直线BE上，在CD上，
所以，，
解得，，所以，，
所以BC所在直线的方程为：，即．
（2）由（1）知点到直线BC的距离为：，
又，所以．
17. 如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC上分别有一点和且，，其中．
（1）求证：，，共面；
（2）若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）因为，
，
所以．
由共面向量定理可知，，，共面．
（2）取BC的中点为，在中，，，
由余弦定理可得，
所以，依题意，均为正三角形，所以，，
又，平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，所以在平面内作，则平面，
以OA，OC，Oz所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，，
设是平面的一个法向量，
，，
则，即，取得，
依题意可知，
则．
设直线与平面所成角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
18. 已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点P轨迹记为曲线C，若曲线C与x轴的交点为M，N两点，Q为直线l：上的动点，直线MQ，NQ与曲线C的另一个交点分别为E，F，直线EF与x轴交点为K，求的最小值．
解：（1）设动点坐标，
因为动点P满足，且，，
所以，化简可得，，
即，所以点P的轨迹方程为.
（2）曲线C：中，令，可得，
解得或，可知,
当直线为斜率为0时，即为直径，长度为8，
当直线为斜率不为0时，
设的直线方程为，
联立消去可得：，
化简可得；
由韦达定理可得，

因为，
所以，的斜率为，
又点在曲线C上，所以,
可得，
所以，
所以，方程为，，
令可得，
化简可得；，
又在直线上，
可得，，
所以，
化简可得；，
又，
代入可得，
化简可得，
，
，所以或，
当时为，必过，不合题意，
当时为，必过，
又即为圆的弦长，
所以当直径时弦长最小，
此时半径圆心到直线的距离为
综上，的最小值.
19. 对于三维向量，定义“F变换”：，其中,,,.记，．
（1）若，求及；
（2）证明：对于任意，必存在，使得经过次F变换后，有；
（3）已知，，将再经过次F变换后，最小，求的最小值．
解：（1）因为，，，
所以，，
（2）设
假设对，，则，，均不为0；
所以，即，
因为，，
所以，与矛盾，所以假设不正确；
综上，对于任意，经过若干次F变换后，必存在，使得．
（3）设，因为，
所以有或，
当时，可得，三式相加得
又因为，可得，；
当时，也可得，，所以；
设的三个分量为这三个数，
当时，的三个分量为，2，m这三个数，所以；
当时，的三个分量为2，2，4，则的三个分量为0，2，2，的三个分量为2，0，2，
所以；所以，由，可得，；
因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，
所以的三个分量只能是2，2，4三个数，的三个分量只能是0，2，2三个数，
所以当时，；当时，，
所以的最小值为505．
1
2
3
4
5
6
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