广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(解析版)
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这是一份广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(解析版),共14页。试卷主要包含了答题前,考生务必用直径0,本卷命题范围, 下列圆中与圆相切的是等内容,欢迎下载使用。
考生注意:
1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.
2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围:选择性必修第一册第一章和第二章.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为.
故选:C.
2. 直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由,得,所以直线的斜率为,
又当直线斜率存在时,直线的一个方向向量为,所以直线的一个方向向量为,
故选:C.
3. 若直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,则直线所成角的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设直线所成角为,
所以,
所以.
故选:B.
4. 已知圆关于直线对称,则实数( )
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】由,得,故圆心为,
又因为圆关于直线对称,
故圆心在直线上,则.
故选:A.
5. 已知点,若过点的直线与线段AB相交,则该直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D. [1,4]
【答案】D
【解析】记为点,则直线PA的斜率,直线PB的斜率,
因为直线过点,且与线段AB相交,结合图象,可得直线的斜率的取值范围是[1,4].
故选:D.
6. 已知直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则直线与平面的关系是( )
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】因,
所以,则或.
故选:D.
7. 如图,在正方体中,分别是棱的中点,则点到直线的距离为( )
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】如图,以为原点,的方向为轴建立空间直角坐标系,如下所示:
易知,
,;
取,
,
则,
所以点到直线的距离为.
故选:B.
8. 已知,是圆上两点,且,若直线上存在点使得,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知:圆的圆心为,半径,
设中点为,则,且,可得,
又因为,可知为等腰直角三角形,
则,可得,
故点的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,
因为直线上存在点使得,
即直线与圆有交点,
即圆心到直线的距离,解得或.
故选:A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 已知直线过点,且在轴上的截距是轴上的截距的3倍,则直线的方程为( )
A B.
C. D.
【答案】BD
【解析】当截距为0时,设直线的方程为,
将点代入可得,所以,即;
当截距不等于0时,设直线的方程为,
将点代入可得,解得,
所以直线的方程为,即,
所以直线的方程为或.
故选:BD.
10. 下列圆中与圆相切的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】由题知,圆的圆心为,半径为4.
A选项,的圆心为,半径为2,
故,
由于,所以圆与内切,A正确;
B选项,的圆心为,半径为1,故,
由于,故圆与外切,B正确;
C选项,的圆心为,半径为4,故,
由于,故圆与不相切,C错误;
D选项,的圆心为,半径为1,
故,
由于,故圆与不相切,D错误.
故选:AB.
11. 如图,四棱锥中,底面,底面为正方形,且,分别为的中点,则( )
A.
B. 与所成角的余弦值是
C. 点到平面的距离为
D. 过点的平面截四棱锥的截面面积为
【答案】AC
【解析】如图,以点为原点,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,
则,
,,所以,故A正确;
,则与所成角的余弦值为,故B错误;
,设平面的法向量为n=x,y,z,
则令,可得,
则点到平面的距离为,故C正确;
设过点的平面与线段的交点为,
则,
因为共面,则共面,
故存在唯一实数对使得,
即,
所以 解得,
所以,则,因为,
所以,
所以过点的平面截四棱锥的截面面积为
,故D错误.故选:AC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知,则线段的中点坐标为___________.
【答案】
【解析】因为,所以线段的中点坐标为,
故答案为:.
13. 若直线与直线平行,则与之间的距离为___________.
【答案】
【解析】因为直线与直线平行,
所以直线斜率存在,且,得到,此时,
即,满足,
所以与之间的距离,
故答案为:.
14. 空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为,阅读上面材料,解决下面问题:已知平面的方程为,直线是两平面与的交线,则直线与平面所成角的正弦值为___________.
【答案】
【解析】法一:因为平面的方程为,
所以平面的一个法向量,
又直线:上有两个点,
所以直线的方向向量为,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为:.
法二:由题知两平面与的法向量分别为
,
设直线的一个方向向量,
则
即
取,则,
又平面的法向量,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为:.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求满足下列条件的圆的标准方程.
(1)圆心为,经过点;
(2)圆心在直线上,且与轴交于点.
解:(1)由两点间的距离公式可得圆的半径
故圆的标准方程为
(2)因为圆与y轴交于点,所以圆心在直线y=3上.
又圆心在直线上,所以圆心的坐标为,
所以圆的半径,
故圆的标准方程为.
16. 已知向量,,.
(1)当时,若向量与垂直,求实数的值;
(2)若向量与向量、共面,求实数的值.
解:(1)因为,所以,解得,即.
由,且,
得,解得.
(2)因向量与向量、共面,所以设,
因此,
即,
解得,故的值为.
17. 已知的三个顶点是.
(1)求BC边上的高所在直线的方程;
(2)若直线过点,且点A,B到直线的距离相等,求直线的方程.
解:(1)因为,所以BC边上的高所在直线的斜率为1,
所以BC边上高所在直线为,即.
(2)因为点A,B到直线的距离相等,
所以直线与AB平行或过AB的中点,
①当直线与AB平行,
所以,
所以,即.
②当直线过AB的中点,
所以,所以,即.
综上,直线的方程为或.
18. 已知以点为圆心圆与轴交于点,与轴交于点N,O为坐标原点.(M,N与不重合)
(1)求证:的面积为定值;
(2)设直线与圆交于点A,B,若,求实数的值;
(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线和圆上的动点,求|PQ|的最小值及此时点的坐标.
解:(1)由圆的方程,
化简得,
其与轴,轴的交点分别为:,
所以为定值.
(2)如图①所示,因为,所以.
又OC的斜率,所以,解得(负数舍去),
(3)如图②所示,由②知:圆的方程为:,圆心,半径.
设点关于直线的对称点为,
则中点为,且解得,即,
则,
又点到圆上点的最短距离为,
则的最小值为,
此时直线的方程为:,即.
点为直线与直线的交点,则解得即点
19. 在中,,,,分别是上的点,满足且经过的重心,将沿折起到的位置,使,是的中点,如图所示.
(1)求证:平面;
(2)求与平面所成角的大小;
(3)在线段上是否存在点,使平面与平面成角余弦值为?若存在,求出的长度;若不存在,请说明理由.
解:(1)因为在中,,,且,
所以,,则折叠后,,
又平面,
所以平面,平面,
所以,
又已知,且都面内,
所以平面;
(2)由(1),以为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系.
因为,
故,
由几何关系可知,,,,
故,,,,,,
,,,
设平面的法向量为,
则,
即,
不妨令,则,,.
设与平面所成角的大小为,
则有,
设为与平面所成角,故,
即与平面所成角的大小为;
(3)假设在线段上存在点,使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中,,,,
设,则,,
设平面的法向量为,则有,
即,
不妨令,
则,,
所以,
设平面的法向量为,则有,
即,
不妨令,则,,所以,
若平面与平面成角余弦值为.
则满足,
化简得,解得或,即或,
故在线段上存在这样的点,使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.
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