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    广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(解析版)

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    广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(解析版)

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    这是一份广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(解析版),共14页。试卷主要包含了答题前,考生务必用直径0,本卷命题范围, 下列圆中与圆相切的是等内容,欢迎下载使用。
    考生注意:
    1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.
    2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
    3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.
    4.本卷命题范围:选择性必修第一册第一章和第二章.
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为.
    故选:C.
    2. 直线的一个方向向量为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】由,得,所以直线的斜率为,
    又当直线斜率存在时,直线的一个方向向量为,所以直线的一个方向向量为,
    故选:C.
    3. 若直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,则直线所成角的大小为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】设直线所成角为,
    所以,
    所以.
    故选:B.
    4. 已知圆关于直线对称,则实数( )
    A. B. 1C. D. 2
    【答案】A
    【解析】由,得,故圆心为,
    又因为圆关于直线对称,
    故圆心在直线上,则.
    故选:A.
    5. 已知点,若过点的直线与线段AB相交,则该直线斜率的取值范围是( )
    A. B.
    C. D. [1,4]
    【答案】D
    【解析】记为点,则直线PA的斜率,直线PB的斜率,
    因为直线过点,且与线段AB相交,结合图象,可得直线的斜率的取值范围是[1,4].
    故选:D.
    6. 已知直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则直线与平面的关系是( )
    A. B.
    C. D. 或
    【答案】D
    【解析】因,
    所以,则或.
    故选:D.
    7. 如图,在正方体中,分别是棱的中点,则点到直线的距离为( )
    A. B. C. 1D.
    【答案】B
    【解析】如图,以为原点,的方向为轴建立空间直角坐标系,如下所示:
    易知,
    ,;
    取,

    则,
    所以点到直线的距离为.
    故选:B.
    8. 已知,是圆上两点,且,若直线上存在点使得,则实数的取值范围为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】由题意可知:圆的圆心为,半径,
    设中点为,则,且,可得,
    又因为,可知为等腰直角三角形,
    则,可得,
    故点的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,
    因为直线上存在点使得,
    即直线与圆有交点,
    即圆心到直线的距离,解得或.

    故选:A.
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 已知直线过点,且在轴上的截距是轴上的截距的3倍,则直线的方程为( )
    A B.
    C. D.
    【答案】BD
    【解析】当截距为0时,设直线的方程为,
    将点代入可得,所以,即;
    当截距不等于0时,设直线的方程为,
    将点代入可得,解得,
    所以直线的方程为,即,
    所以直线的方程为或.
    故选:BD.
    10. 下列圆中与圆相切的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】AB
    【解析】由题知,圆的圆心为,半径为4.
    A选项,的圆心为,半径为2,
    故,
    由于,所以圆与内切,A正确;
    B选项,的圆心为,半径为1,故,
    由于,故圆与外切,B正确;
    C选项,的圆心为,半径为4,故,
    由于,故圆与不相切,C错误;
    D选项,的圆心为,半径为1,
    故,
    由于,故圆与不相切,D错误.
    故选:AB.
    11. 如图,四棱锥中,底面,底面为正方形,且,分别为的中点,则( )
    A.
    B. 与所成角的余弦值是
    C. 点到平面的距离为
    D. 过点的平面截四棱锥的截面面积为
    【答案】AC
    【解析】如图,以点为原点,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,
    则,
    ,,所以,故A正确;
    ,则与所成角的余弦值为,故B错误;
    ,设平面的法向量为n=x,y,z,
    则令,可得,
    则点到平面的距离为,故C正确;
    设过点的平面与线段的交点为,
    则,
    因为共面,则共面,
    故存在唯一实数对使得,
    即,
    所以 解得,
    所以,则,因为,
    所以,
    所以过点的平面截四棱锥的截面面积为
    ,故D错误.故选:AC.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 已知,则线段的中点坐标为___________.
    【答案】
    【解析】因为,所以线段的中点坐标为,
    故答案为:.
    13. 若直线与直线平行,则与之间的距离为___________.
    【答案】
    【解析】因为直线与直线平行,
    所以直线斜率存在,且,得到,此时,
    即,满足,
    所以与之间的距离,
    故答案为:.
    14. 空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为,阅读上面材料,解决下面问题:已知平面的方程为,直线是两平面与的交线,则直线与平面所成角的正弦值为___________.
    【答案】
    【解析】法一:因为平面的方程为,
    所以平面的一个法向量,
    又直线:上有两个点,
    所以直线的方向向量为,
    所以直线与平面所成角的正弦值为.
    故答案为:.
    法二:由题知两平面与的法向量分别为

    设直线的一个方向向量,


    取,则,
    又平面的法向量,
    所以直线与平面所成角的正弦值为.
    故答案为:.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 求满足下列条件的圆的标准方程.
    (1)圆心为,经过点;
    (2)圆心在直线上,且与轴交于点.
    解:(1)由两点间的距离公式可得圆的半径
    故圆的标准方程为
    (2)因为圆与y轴交于点,所以圆心在直线y=3上.
    又圆心在直线上,所以圆心的坐标为,
    所以圆的半径,
    故圆的标准方程为.
    16. 已知向量,,.
    (1)当时,若向量与垂直,求实数的值;
    (2)若向量与向量、共面,求实数的值.
    解:(1)因为,所以,解得,即.
    由,且,
    得,解得.
    (2)因向量与向量、共面,所以设,
    因此,
    即,
    解得,故的值为.
    17. 已知的三个顶点是.
    (1)求BC边上的高所在直线的方程;
    (2)若直线过点,且点A,B到直线的距离相等,求直线的方程.
    解:(1)因为,所以BC边上的高所在直线的斜率为1,
    所以BC边上高所在直线为,即.
    (2)因为点A,B到直线的距离相等,
    所以直线与AB平行或过AB的中点,
    ①当直线与AB平行,
    所以,
    所以,即.
    ②当直线过AB的中点,
    所以,所以,即.
    综上,直线的方程为或.
    18. 已知以点为圆心圆与轴交于点,与轴交于点N,O为坐标原点.(M,N与不重合)
    (1)求证:的面积为定值;
    (2)设直线与圆交于点A,B,若,求实数的值;
    (3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线和圆上的动点,求|PQ|的最小值及此时点的坐标.
    解:(1)由圆的方程,
    化简得,
    其与轴,轴的交点分别为:,
    所以为定值.
    (2)如图①所示,因为,所以.
    又OC的斜率,所以,解得(负数舍去),
    (3)如图②所示,由②知:圆的方程为:,圆心,半径.
    设点关于直线的对称点为,
    则中点为,且解得,即,
    则,
    又点到圆上点的最短距离为,
    则的最小值为,
    此时直线的方程为:,即.
    点为直线与直线的交点,则解得即点
    19. 在中,,,,分别是上的点,满足且经过的重心,将沿折起到的位置,使,是的中点,如图所示.
    (1)求证:平面;
    (2)求与平面所成角的大小;
    (3)在线段上是否存在点,使平面与平面成角余弦值为?若存在,求出的长度;若不存在,请说明理由.
    解:(1)因为在中,,,且,
    所以,,则折叠后,,
    又平面,
    所以平面,平面,
    所以,
    又已知,且都面内,
    所以平面;
    (2)由(1),以为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系.
    因为,
    故,
    由几何关系可知,,,,
    故,,,,,,
    ,,,
    设平面的法向量为,
    则,
    即,
    不妨令,则,,.
    设与平面所成角的大小为,
    则有,
    设为与平面所成角,故,
    即与平面所成角的大小为;
    (3)假设在线段上存在点,使平面与平面成角余弦值为.
    在空间直角坐标系中,,,,
    设,则,,
    设平面的法向量为,则有,
    即,
    不妨令,
    则,,
    所以,
    设平面的法向量为,则有,
    即,
    不妨令,则,,所以,
    若平面与平面成角余弦值为.
    则满足,
    化简得,解得或,即或,
    故在线段上存在这样的点,使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.

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