浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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填空题
12、1 13、49 14、
三、
15、等差数列an的前项和为，已知，.
(1)求数列an的通项公式；
(2)求数列的前项和.
解：（1）因为，可得，故，即，
所以通项公式为
（2）当时，
当时，
16、已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的
面积的最大值．
解：（1）由已知得，
化简得，即，
所以动点的轨迹的方程为：；
（2）i）若两直线都有斜率，可设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，
由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆．
到直线AB的距离，所以，
同理，，
所以．
，
ⅱ）若AB、CD两直线中有一条没有斜率，则另一条的斜率为0，
此时线段AB、CD的长分别为、4（或4、），所以．
综上所述，当且仅当，即时，四边形ACBD的面积取得最大值7．
17、【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，
因为，所以，联立，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）设两点坐标分别为，
则点的坐标为.
由题意可设直线的方程为.
由，得.
.
因为直线与曲线于两点，所以.
所以点的坐标为.
由题知，直线的斜率为，用替换可得点的坐标为.
当时，有，此时直线的斜率.
所以，直线的方程为，整理得.
于是，直线恒过定点；
当时，直线的方程为，也过点.
综上所述，直线恒过定点.

18、如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：平面；
(2)求直线与面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)1
(3)存在，.
【分析】（1）由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论；
（2）构建以A为原点，建立空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值；
（3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求，即可确定结果.
【详解】（1）由平面，平面，则，
又，，平面，所以平面.
（2）以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，
为的中点，，得，，
则有，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，得，
设直线与面所成角为，则有，
所以直线与面所成角的正弦值为1.
（3）若线段上存在点使、、、四点共面，设，，
则，，
若、、、四点共面，则在平面内，
又平面的一个法向量为，则有，解得.
所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时.
19、已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
(1)求双曲线：的离心率；
(2)将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，求曲线的方程;
(3)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．
【解析】
(1)（ⅰ）；（ⅱ）．
(2)存在，点A到直线距离的最大值为2，．
【详解】
（1）因为渐近线互相垂直，故双曲线是等轴双曲线，所以离心率为
（2）由题意可知双曲线的实轴在上，联立，
解得或，即双曲线的两顶点为，
故实轴长为；由第一问可知
将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，
曲线的方程为；
（2）方法一：设，Mx1,y1，Nx2,y2，显然直线的斜率存在，设：，
联立：得，
所以，，①，
因为：，令，则，同理，，②
依题意得，③
由①②③得，，
所以，即或，
若，则：过点A，不合题意；
若，则：．所以，恒过，
所以，．当且仅当，即时取得，
此时方程为，结合，
解得，，，
综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为；
方法二：设，，，Mx1,y1，Nx2,y2，
则：，：，
联立，得，
为此方程的一根，另外一根为，则，
代入方程得，，
同理可得，，
即，，
则，
所以直线的方程为，
所以直线过定点,
所以．当且仅当，即时取得，
解得,
综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为；
方法三：设，，，Mx1,y1，Nx2,y2，
则，
依题意，直线不过点A，可设：，
曲线的方程改写为，即，
联立直线的方程得，
所以，
若，则，代入直线方程，无解；
故，两边同时除以得，
则，得，
在直线：中，令，则，
所以，恒过，
所以，，
当且仅当，即时取得，此时，符合题意，
且方程为，解得，，，
综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为．
【点睛】难点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系的应用，其中的难点是求解最值问题，解答时要注意利用直线方程和双曲线方程的联立，利用根与系数的关系式进行化简，难点就在于化简的过程十分复杂，计算量大，并且基本上都是有关字母参数的运算，需要有较强的计算能力.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
A
B
C
A
D
C
B
AC
BD
BCD