江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：江春 复核人：沈宏
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线一个方向向量为，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
4. 已知直线与直线平行，则这两条平行直线间距离为 （ ）
A. B. C. D.
5. 设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（ ）
A. B. C. D.
6. 圆与圆的公切线条数是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的横截距与纵截距之积为
B. 方程（R）能表示平行轴的直线
C. 过点引直线，使点，到的距离相等，则的方程为
D. 点关于直线对称点为
10. 对于复数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. 一定是纯虚数D. 若，，则
11. 已知曲线：（不同时为零），则（ ）
A. 上的点的到点的距离的最大值为
B. 上的点的横坐标的取值范围是
C. 围成的图形的面积为
D. 若上有四个点到直线的距离等于，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 经过圆上的点的的切线方程为____________.
13. 已知斜三棱柱的所有棱长均为，，，分别为，的中点，则______.
14. 已知两条互相垂直的直线，分别经过点，，公共点为，，则当取最小值时，______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，， 为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成的角的正弦值.
16. 已知复数（R），为实数.
（1）求；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值.
17. 已知圆，点.
（1）过直线截所得的弦长为，求的方程；
（2）经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程.
18. 如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点.
（1）试确定的位置，使得平面；
（2）求点到平面距离的最大值；
（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的大小.
19. 已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点.
（1）求的坐标；
（2）过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上.
①若，求坐标及线段的长；
②设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行.
2024-2025学年度秋学期期中联考试卷
高二数学
命题人：江春 复核人：沈宏
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由直线的方向向量可得其斜率，从而可得直线的倾斜角.
【详解】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
又，所以.
故选：C.
2. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数的定义求解.
【详解】由可得，
故，
故选：D
3. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可.
【详解】设直线在轴上的截距为，
当时，所求直线的方程可设为，
因为直线过点，
所以，故，即直线方程为，
当时，可设直线方程为，
由直线过点可得，，
所以，故直线方程为.
所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数
的直线方程是或.
故选：C.
4. 已知直线与直线平行，则这两条平行直线间的距离为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，建立方程，可得直线方程，利用平行直线的距离公式，可得答案.
【详解】由题意可得，则，解得，经检验符合题意，
可得直线与直线，整理可得，
两直线之间的距离.
故选：B.
5. 设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可.
详解】由已知，，共面，
则可设，
即，
即，解得，
故选：D.
6. 圆与圆的公切线条数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程可知圆心和半径，可得，进而判断两圆的位置关系，即可得结果.
【详解】由题意可知：圆，即，
可知其圆心为，半径；
圆，即，
可知其圆心为，半径；
因为，即，
所以两圆相交，公切线有2条.
故选：B.
7. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出直线恒过定点，分析可得在圆内部，分析可得：当直线与垂直时，弦最小，求出此时的值，由弦长公式即可求解.
【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径，
直线，即，恒过定点，
又由圆的方程为，则点在圆内，
当直线与垂直时，弦最小，
此时，
则的最小值为；
故选：A
8. 在正四棱柱中，，为棱中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，根据，求出点的坐标，再利用向量法求解即可.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
不妨设，
则，
设，
则，
因为，
所以，解得，
所以，则，
所以，
即直线与直线所成角的余弦值为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的横截距与纵截距之积为
B. 方程（R）能表示平行轴的直线
C. 过点引直线，使点，到的距离相等，则的方程为
D. 点关于直线对称的点为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由截距的定义即可判断A，当时，即可判断B，分直线斜率存在与不存在，再结合点到直线的距离公式即可判断C，由两点关于直线对称，代入计算，即可判断D
【详解】对于A，令可得，则直线的纵截距为，
令可得，则直线的横截距为，
所以直线的横截距与纵截距之积为，故A正确；
对于B，当时，方程为，表示平行轴的直线，故B正确；
对于C，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
不满足到直线的距离相等；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则，
化简可得，由到直线的距离相等可得，
，解得或，
当时，直线方程为，
当时，直线方程为，
所以的方程为或，故C错误；
设点关于直线对称的点坐标为，
则，解得，则对称的点坐标为，故D正确；
故选：ABD
10. 对于复数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. 一定是纯虚数D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据复数的运算结合模长公式分析判断.
【详解】对于选项A：例如，则，故A错误；
对于选项C：例如，则，，故C错误；
设，则，
对于选项B：因，
所以，故B正确；
对于选项D：若，可得，
且，即，可得，即，故D正确；
故选：BD.
11. 已知曲线：（不同时为零），则（ ）
A. 上的点的到点的距离的最大值为
B. 上的点的横坐标的取值范围是
C. 围成的图形的面积为
D. 若上有四个点到直线的距离等于，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过对称性确定曲线图形，再结合图形逐项判断即可.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，
当，时，曲线
可化为：，表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆，
其图象为：
对于A：坐标原点到的距离为，所以上的点的到点的距离的最大值为，正确；
对于B：由图象可知上的点的横坐标的取值范围是，故B错误；
对于C:第一象限围成的面积为，
故曲线围成的图形的面积为.C正确；
对于D:
连接第二象限和第四象限的圆心得到直线：，显然与垂直，
画出与两条直线，
由−1,1到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于，
由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于，
所以结合图象可知：若上有四个点到直线的距离等于，则，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 经过圆上的点的的切线方程为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由过切点的半径与切线垂直得切线斜率，从而求得切线方程.
【详解】圆心为，切点为，则，所以切线斜率为，
得：切线方程为，化简得：.
故答案为：
13. 已知斜三棱柱的所有棱长均为，，，分别为，的中点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】首先以向量为基底向量，得：，然后两边平方，根据条件由向量的数量积的运算性质求解即可.
【详解】因为，分别为，的中点，
所以，
两边平方得：
，
因此可得：.
故答案为：
14. 已知两条互相垂直的直线，分别经过点，，公共点为，，则当取最小值时，______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件分析出动点在以线段为直径的圆上，进而求出当取得最小值时点的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可.
【详解】由题可知，且点为垂足，故点在以线段为直径的圆上，此时该圆的圆心，半径，故圆的方程为.
此时易知，当点为直线与圆在第四象限的交点时取得最小值，
此时直线的方程为，将该直线与圆的方程联立，
解得，或（舍），故此时，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：动点问题求解的关键是分析出动点的轨迹，本题中是利用了定义法求出了动点的轨迹方程.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，， 为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得线面角的正弦值.
【小问1详解】
，且为棱的中点，
，
四边形为正方形，
，
又平面，平面，
，
，，平面，
平面，
平面，
，
又，，平面，
平面；
【小问2详解】
四边形为正方形，
，
以点为坐标原点，，，，方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，C1,1,0，D0,1,0，P0,0,1，
又为中点，
，
则，，，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，
令，即n=1,−1,1，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16. 已知复数（R），为实数.
（1）求；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可；
（2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值.
【小问1详解】
由，为实数，则为实数，
所以，即，，
所以.
【小问2详解】
由在复平面内对应的点在第四象限，
所以，
又为实系数方程的根，
则，
所以，，
又，所以.
17. 已知圆，点.
（1）过的直线截所得的弦长为，求的方程；
（2）经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程.
【答案】（1）或者.
（2）
【解析】
【分析】（1）由弦长得到圆心到直线的距离为1，即可求解；
（2）求得圆，再结合四点在以为直径的圆上，即可求解.
【小问1详解】
易知知直线斜率存在，设的方程为：，
因为截圆所得的弦长为，所以到的距离为，
所以，解得或者，
所以的方程为或者.
【小问2详解】
因为圆经过点和，所以设，又圆与圆外切于点，
所以，，与点共线，则，得，
则圆半径为，圆方程为，
又，与圆相切，所以四点在以为直径的圆上，
圆的方程为，即，
直线为圆与圆的公共点所在的直线，则由，
两式相减得直线的方程为.
18. 如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点.
（1）试确定的位置，使得平面；
（2）求点到平面距离的最大值；
（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的大小.
【答案】（1）在中点处
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果；
（2）由空间向量的坐标运算，结合点到平面的距离公式，代入计算，即可得到结果；
（3）由空间向量的坐标运算，结合二面角的夹角公式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
当在中点处时，面.
证明如下：在直棱柱中，，以为坐标原点，
以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设平面的一个法向量为，，，
，令，得，
即.
设，则，又平面，
则令，解得，
故在中点处时，平面.
【小问2详解】
设，为平面的一个法向量.
，，
，
令得即.
到平面的距离为，
当时，到平面的距离的最大值为.
【小问3详解】
由（2）知平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为，
则平面与平面夹角的大小为.
19. 已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点.
（1）求的坐标；
（2）过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上.
①若，求的坐标及线段的长；
②设为线段中点，直线交直线于点，证明：与轴平行.
【答案】（1）
（2）①的坐标为或者，；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过为以为斜边的等腰直角三角形，确定为的中点，即可求解；
（2）①设Ax0,y0，由，列出方程，结合Ax0,y0在圆上即可求解；②设直线方程为，，Ax1,y1,Bx2,y2，联立圆方程，结合韦达定理，通过 可求证
【小问1详解】
因为直线与圆相切，切点为，所以
由，所以为以为斜边的等腰直角三角形，
由第一象限点在轴上的射影为，所以为的中点，
所以点的坐标为.
【小问2详解】
①设Ax0,y0，，则，
即，
又，
解得，，
所以的坐标为或者
此时，取为线段的中点，则，由，且为
中点，则，所以.
②证明：因为为线段的中点，所以，
设直线方程为，，Ax1,y1,Bx2,y2
联立方程组，得，
，且，，，
直线方程为，直线方程为，得，
则
，
所以，又，所以与轴平行.
【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.