专题20 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象和性质5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
一、单选题
1．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，把的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】首先根据函数图象得到，，再根据函数的图象变换即可得到答案.
【详解】由题中函数图象可知：.
最小正周期为，所以，，
将点代入函数解析式中，得，
所以，，即，.
因为，所以，故，.
把的图象上所有的点向左平移个单位长度，
得到函数图象的解析式为，；
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到函数图象的解析式为，.
故选：D
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数的最小值可求得A的值，由结合的取值范围可求得的值，再由可求得的值，综合可得出结果．
【详解】由图象可得，可得，
，可得，
由于函数在附近单调递减，且，，
由图象可知，函数的最小正周期满足，可得，
，则，
所以，解得，
，所以，，因此．
故选：D．
3．（2024高三上·陕西渭南·开学考试）如图，函数的图像过两点，为得到函数的图像，应将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】先根据周期求，再代入，解得，最后根据平移变换即可判断
【详解】
代入得 即
即
对于A选项，
,故A错误
对于B选项
，故B错误
对于C选项
，故C错误
对于D选项，
，故D正确
故选：D
4．（2024·吉林·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的等式，即可得出结果.
【详解】因为，
将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，
由题意可得，可得，当时，，
故选：D.
5．（2024高三下·河南洛阳·开学考试）已知把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用和差公式，倍角公式和辅助角公式化简，再根据图象变换的性质即可得出关于的式子，代入即可求解.
【详解】由题知，
，
且
，
，
即，
解得，当时，取得最小正值，
.
故选：C.
6．（2024高三下·青海玉树·阶段练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可.
【详解】由题意，由于函数，
观察发现可由函数向左平移个单位长度，得到函数的图象，
故选：A.
7．（2024高三上·青海西宁·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简得到，然后根据图象的平移变换判断即可.
【详解】，，
，
所以的图象向右平移得到的图象.
故选：A.
8．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】A
【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换规律可得出合适的选项.
【详解】由图象可知，函数的最小正周期为，则，，
，则，可得，
，所以，，
所以，，
因此，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.
故选：A.
9．（2024·湖南常德·二模）已知函数，，将函数的图象经过下列哪种可以与 的图象重合（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【分析】利用诱导公式结合三角函数的平移即可.
【详解】，
将函数的图象向右平移个单位：；
故选：C
10．（2024高一下·吉林·阶段练习）2019年长春市新地标——“长春眼”在摩天活力城Mall购物中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时P距离地面的高度，当距离地面的高度在以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全貌的时间约为（ ）
A．2.0minB．2.5minC．2.8minD．3.0min
【答案】B
【分析】根据条件得出，然后解不等式即可.
【详解】由题意可知摩天轮运动一周距离底面的最高点为(60+40)米与最低点(60-40)米，相差80米，
∴；运动一周15分钟，即；
由，可得，故.
要看到全景需，解之得：，故时间长为min.
故选：B
11．（2024高三上·广东广州·期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由点A坐标，可求得.由题可知的最小正周期为8，据此可求得.又由题,有，结合可得.
【详解】因点在水车上，所以.
由题可知的最小正周期为8，则，又，则.
因，则，又，故.
综上：.
故选：D
12．（2024高三上·湖北·阶段练习）一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周.它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，点离地面距离与时间之间的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设出函数解析式，再根据给定的条件求解其待定系数作答.
【详解】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原点，建立坐标系，如图，
依题意，设函数解析式为，
显然，则，，
函数的周期，则，因当时，，即有，则，
于是得，
所以点离地面距离与时间之间的函数关系式是.
故选：C
13．（2024·全国）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
14．（2024·全国）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
15．（2024高三·全国·专题练习）已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】由区间的特点可知，采用特殊值法，对分别取值，排除选项A、B、C，即可得到正确答案.
【详解】由给定区间可知，.
区间与区间相邻，且区间长度相同.
取，则，区间，可知，，故A可能；
取，则，区间，可知，，故C可能；
取，则，区间，可知，，故B可能.
结合选项可得，不可能的是，．
故选：D.
16．（2024高一下·浙江杭州·期中）为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
【答案】A
【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.
【详解】，
将函数向左平移个长度单位，得到，
故，解得，
即向左平移个长度单位.
故选：A
17．（2024·浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.

18．（2024·全国）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
19．（2024·浙江）把函数y=cs2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意, 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变),即解析式为,向左平移一个单位为,向下平移一
个单位为,利用特殊点变为,选A.
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
20．（2024高三上·天津和平·期末）已知函数，函数图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，将图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先求出周期则得到，再根据平移压轴的原则即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，所以，
则将图象上所有的点向左平移个单位长度变为，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为.
故选：A.
21．（2024·福建）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：依题意，因为、的图象都经过点，所以，因为，所以，或，即或．在中取，即得，选B．
考点：1.图象的平移；2.由三角函数值求角．
【方法点晴】本题主要考查的是三角函数图象的变换，属于中档题题，本题首先根据平移变换得到，再由函数均经过，将代入两个函数可得，由，得和或，解出或，再取值即可．本题一定注意角的范围，否则容易出错．
22．（2024·全国）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
23．（2024高三上·浙江宁波·期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据平移变换得到，且，结合函数零点个数得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
由题意得，故当时，，
显然当，即为的一个零点，
要想在上恰有三个不同的零点，
若，解得，
若，无解，
若，无解.
故选：A
24．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.若在区间内有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可得出的值，代值计算可得出的值.
【详解】函数，
将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
当时，，
令，得，
所以当时，，且，
所以函数的图象关于直线对称.
因为在区间内有，且的最小正周期，
所以，此时.
故选：B.
25．（2024·陕西榆林·一模）将函数的图像向右平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意可得曲线为，又关于轴对称，所以，根据即可得解.
【详解】曲线为，
又关于轴对称，所以，
解得，又，
所以当时，的最小值为.
故选：B
26．（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下，则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：分钟）之间的关系为．某时刻（单位：分钟）时，盛水筒在过点（为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒（ ）
A．在水面下B．在水面上
C．恰好开始入水D．恰好开始出水
【答案】B
【分析】根据题意列出计算式，再用两角和差公式计算即可.
【详解】由题意，，
可得，或（舍去）．
所以，
所以再经过分钟，可得，所以盛水筒在水面上．
在判断时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：
，
,故盛水筒在水面上．
故选：B．
27．（2024·江西）如图，已知，圆心在上，半径为的圆在时与相切于点，圆沿以的速度匀速向上移动，圆被直线所截上方圆弧长记为，令，则与时间（≤≤，单位：）的函数的图像大致为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：依题意知，
当t=0时，圆与相切于点，此时x=0,y=csx=1，排除A,D选项；
当0故选B．
考点：函数的单调性．
【思路点睛】本题实质为考查函数的单调性，应结合题目中的条件对函数进行定性分析，从而得到答案．注意的是，本题若定量分析得到函数的解析式比较复杂且单调性难以判断．高考对该题型也是经常考查．同时要注意函数图像是凸的和函数图像是凹的两者的区别．
28．（2024高一下·北京东城·期末）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意可根据圆周运动规律求出动点的纵坐标关于（单位：）的函数，再由整体代换法即可求出单调增区间的表达式.
【详解】根据题意可设，
因为在单位圆上的角速度大小为，起点为射线与的交点，
所以，
所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数，
由，得，
又因为，
所以，，，
所以该函数的单调递增区间是，，，.
故选：B
29．（2024高三上·河南·期中）阻尼器是一种以提供运动的阻力从而达到减震效果的专业工程装置，从20世纪70年代起，人们逐步地把这种装置运用到建筑、桥梁、铁路等结构工程中．某阻尼器的运动过程可看作简谐运动，其离开平衡位置的位移（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为，该函数的部分图象如图所示，其中，，则下列区间包含的极大值点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由求出，再求出的取值，结合函数的周期确定的值，即可求出函数解析式，再根据余弦函数的性质求出函数的最大值点，即可判断.
【详解】依题意，则，又点在函数的单调递减区间上，
结合余弦函数图象可知，，，
又，结合图形可知，，
解得，，，
又，即，即，解得，所以，
则，，
化简可得，
令，，解得，，
所以当，时函数取得最大值，
当时.
故选：C
30．（2024·陕西西安·模拟预测）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由过点，得到，，再由它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，得到，进而得到，将代入求解.
【详解】解：因为过点，
代入得，
所以，则，
解得，.
所以，，
因为它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，
所以由图象知：，所以，
又因为，所以，
所以，
因为点M到y轴的距离为，即，
当时，，
所以，即点N的纵坐标为.
故选：D.
31．（2024高三上·河北·阶段练习）设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的关系：
经长期观察，函数的图像可以近似地看成函数的图像.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】把代入所给表达式，结合已知数据及周期可确定.
【详解】在给定的四个选项中，我们不妨代入及，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A，故选A.
【点睛】本题考查三角函数的应用，数据分析，属于基本题.
二、多选题
32．（2024·山东）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
33．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象
B．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象
C．的图象与的图象关于直线对称
D．的图象与的图象关于直线对称
【答案】BD
【分析】根据三角函数的图像变换及对称性可判断各项.
【详解】因为的图象向左平移个单位长度得到
，所以A错误，
因为的图象向右平移个单位长度得到
，故B正确；
与的图象关于直线对称的函数为
，故C错误；
与的图象关于直线对称的函数为
，所以D正确；
故选：BD．
34．（2024高三上·河北邢台·期末）先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．在上单调递增
C．时D．其图象关于点对称
【答案】AB
【分析】利用给定变换求出函数的解析式，根据可判断A；利用整体代换的方法，根据的范围，求出的范围，再利用正弦函数的图象和性质可判断B和C；根据关于点对称，的图象向上平移后对称中心也向上平移一个单位，可判断D.
【详解】将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到，
再把图象向右平移个单位长度，得到，
最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到.
对于A，，故A正确；
对于B，在单调递增，
当时，，
在上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，，
，故C错误；
对于D，当时，函数满足，
函数关于点对称，
关于点对称，故D错误.
故选：AB.
35．（2024高一上·福建宁德·期末）从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数．从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片．已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，则小球正好处于平衡位置的所有照片的编号有（ ）
A．4B．6C．12D．18
【答案】BCD
【分析】首先分析出弹簧振子运动时的最小正周期，并求出的值，然后结合已知条件求出的值，令，可求出结果.
【详解】因为仅有第5张，第13张，第17张照片与第1张照片完全一样，
则弹簧振子运动时的最小正周期为，
则，所以，
由题意可知，，
所以，则，
所以，则，，则，
令，可得，所以，
令，则，由，可得，
因为，则，
当时，，对应第6张照片，
当时，，对应第12张照片，
当时，，对应第18张照片.
故选：BCD
36．（2024高二上·江苏南京·期中）声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为.设声音的函数为,音的响度与的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是，纯音乙的函数解析式是，则下列说法正确的有（ ）
A．纯音乙的响度与ω无关
B．纯音乙的音调与ω无关
C．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则
D．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大
【答案】AC
【分析】对于A，判断纯音乙函数的最大值是否为定值即可；对于B，判断纯音乙函数的周期是否为定值即可；对于C，只需复合音甲函数的周期更大即可，列出不等式计算并判断；对于D，可以发现，但不能取等，由此即可判断.
【详解】由题意，
设的最小正周期为，则，
所以，故，故，
当时，有，从而的最小正周期为，
对于A，由于纯音乙的最大值，即其最大值不变，所以纯音乙的响度与ω无关，故A正确；
对于B，对于纯音乙函数而言，其周期满足，所以纯音乙的音调与ω有关，故B错误；
对于C，若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则复合音甲函数的周期要更大，即，解得，故C正确；
对于D，，但不能同时取等，
所以，即，所以复合音甲的响度比纯音乙的响度小，故D错误.
故选：AC.
37．（2024高一·全国·假期作业）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．当时，水深度达到
D．已知函数的定义域为，有个零点，则
【答案】ACD
【分析】根据图象的最值求出，再根据图象得到其周期则得到，代入最高点求出，则得到三角函数解析式，则判断A，再结合其对称性即可判断B，代入计算即可判断C，利用整体法和其对称性即可判断D.
【详解】对A，由图知，，，，
的最小正周期，，
，，解得：，
又，，，故A正确；
对B，令，，解得，，
当时，，
则，
则函数的图象关于点对称，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，则，令，
则，令，则根据图象知两零点关于直线，
则，即，则，
则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.
38．（2024高三上·江苏·期中）潮汐现象，是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为，其中为港口水深，为时间，，观察到水位最高点和最低点的平均时间间隔为6h，且中午12点时的水位为8m，为保证安全，当水深不小于8m时，应开放船只出入，则下列说法正确是（ ）
A．B．最高水位为12m
C．该港口从上午8点开始首次开放船只出入D．一天内开放出入时长为4h
【答案】AC
【分析】根据题意可求得，可知A正确；由12点时的水位为8m代入计算可得，即最高水位为10m，B选项错误；易知，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，即可判断C正确，D错误.
【详解】依题意，所以，A选项正确；
当时，，解得，所以最高水位为10m，B选项错误；
由上可知，令，解得或者，
所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，C选项正确，D选项错误.
故选：AC.
39．（2024高三上·湖北恩施·期中）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数单位：辆上班高峰期某十字路口的车流量由函数给出，的单位是，则下列时间段中车流量是增加的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由正弦函数的单调区间结合复合函数单调性逐一代入检验即可得解.
【详解】对于A，当时，，由复合函数单调性可知此时车流量函数单调递增，符合题意；
对于B，当时，，而当时，由复合函数单调性可知此时车流量函数单调递减，不符合题意；
对于C，当时，，由复合函数单调性可知此时车流量函数单调递增，符合题意；
对于D，当时，，而当时，由复合函数单调性可知此时车流量函数单调递减，不符合题意.
故选：AC.
40．（2024·山东德州·模拟预测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（ ）
A．关于的函数解析式为
B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同
C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米
D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）
【答案】BCD
【分析】根据题意建立三角函数模型，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可.
【详解】设游客甲距离地面的高度与时间的函数为，
由题意，，所以，
由开启后的第8分钟这一时刻游客甲和乙首次距离地面高度相同知，
摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的速度约为，故，
则，
又当时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以，
即，所以，所以，
不妨取，则，故，A错误；
由于摩天轮速旋一周需24分钟，故第二次游客甲和乙第二次距离地面高度相同时，
需经历分钟，B正确；
根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为：
，
则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为米，C正确；
对于函数，
令得，
所以函数的单调递减区间为，
当时，函数的单调递减区间为，
所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲在下降，
对于函数，
令得，
所以函数的单调递减区间为，
当时，函数的单调递减区间为，
所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降，
即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同，D正确.
故选：BCD
三、填空题
41．（2024高三上·宁夏·阶段练习）已知函数，，，的部分图象如图所示，则函数的解析式为 .
【答案】
【分析】由函数图象的最值可得A，然后将点、代入解析式，利用、的范围即可得到、值，从而得到函数解析式．
【详解】由图象得到的最大值为，所以
将点、代入解析式，
，因为，，可得，
所以
故答案为：．
【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，注意函数解析式的求法，考查计算能力，属于常考题型．
42．（2024高三上·江苏南京·期中）设函数，（其中，）的部分图象如图，则函数的解析式为 .
【答案】
【解析】由过求的值，根据五点画法坐标求出，即可求出结论.
【详解】过点，
，或，
函数在轴右侧第一个最高点坐标为
若时，，
若时，（舍去），
.
故答案为:.
【点睛】本题考查函数图像求解析式以及五点画法点的坐标，属于中档题.
43．（2024·全国·模拟预测）已知函数，当时，的最小值为，则 ；若将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象在轴上的截距为，则在上的值域为 ．
【答案】
【分析】分析可知的最小值为，求出的值，可求得的值，求出平移后的函数的解析式，根据已知条件结合的取值范围可求得的值，再利用余弦型函数的值域可求得结果.
【详解】易知的最大值和最小值分别为和，
因为，所以、一个为的最大值点，
一个为的最小值点，
设函数的最小正周期为，则由的最小值为，
得，所以，则，
所以．
将函数的图象向左平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为，
令，则，
可得，
，所以，，
所以，所以，
所以，
若，则，
则，则.
故在上的值域为．
故答案为：；．
【点睛】方法点睛：求正弦型函数（或余弦型函数）或在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
44．（2024·吉林通化·模拟预测）某函数满足以下三个条件：
①是偶函数；②；③的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数的解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据所给条件分析函数的性质，结合所学函数可得.
【详解】因为是偶函数，所以的图象关于y轴对称，
因为，所以，即
所以的图象关于点对称，所以4为的一个周期，
又的最大值为4，所以满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
45．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，，且，写出一个满足条件的函数的解析式： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题可得，进而可得，取，即得.
【详解】∵，，且，
∴，，
∴，，
令，，，，，
令，，.
故答案为：（答案不唯一）.
46．（2024·河北·模拟预测）已知函数的图象过点，且相邻两个零点的距离为.若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则函数的解析式为 .
【答案】
【分析】由相邻两个零点之间距离可得最小正周期，从而求得；代入可求得；根据三角函数平移变换可得结果.
【详解】的相邻两个零点的距离为，的最小正周期，；
又，，解得：，
又，，，
.
故答案为：.
47．（2024高三上·上海黄浦·阶段练习）已知，满足，，且在上有且仅有5个零点，则此函数解析式为 ．
【答案】
【分析】利用换元法将题意中的两个等式分别变形，得到和分别是图像的对称中心与对称轴，进而得到，令求出，结合题意得到，求出的值，进而求出的值，从而得出答案.
【详解】因为，令，
则，即，
所以是图像的对称中心，
又，令，
则，即，
所以是图像的对称轴，
所以，得，
令，则，所以，
因为在上有且只有5个零点，所以，又，
即，所以，得，代入上式，得，
又，所以，所以.
故答案为：
48．（2024高三上·湖北·阶段练习）已知函数（，）满足，其图象与轴在原点右侧的第一个交点的坐标为，则函数的解析式为 .
【答案】或
【分析】根据题意可得相邻的对称轴和对称中心为、，进而可得、，将代入解析式可得结合即可求得的值，进而可得的解析式.
【详解】因为满足，所以图象关于对称，
因为图象与轴在原点右侧的第一个交点的坐标为，
所以，所以，
所以即，所以，，
解得：，，
因为，所以或
所以或.
故答案为：或.
四、解答题
49．（2024高三上·安徽·阶段练习）已知，分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，为奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的性质，结合待定系数法求得，再利用三角函数平移的性质与奇偶性求得，从而得解；
（2）将问题转化为与的图象有两个不同交点，结合图象即可得解.
【详解】（1）由题意得，，
即，又，则，，
所以，
则，
因为为奇函数，所以，所以，
因为，所以，所以．
（2）令，因为，所以，则，
而有两个不同的实数解，即有两个不同的实数解，
故问题转化为与的图象有两个不同的交点，
又，，
作出函数与的大致图象，如图，
结合图象可知或，
所以实数的取值范围是．
50．（2024高三上·山东烟台·期中）已知函数 ，其中，，函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为.
(1)求的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在 上的最大值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】
（1）根据题意可求出的值，然后求出的解析式后再求解其单调递增区间；
（2）根据题意进行变化得到的解析式，然后求出的解析式并求出其最大值.
【详解】（1）由题知，，所以，，所以，.
所以得：.
所以得：，即，
故的单调递增区间为.
（2）将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
得，再向右平移个单位长度，得.所以可得：
， 因为，所以得：，
所以当：时，即：时，取得最大值为.
51．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）我国核电建设占全球在建核电机组的40%以上，是全球核电在建规模最大的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y（单位：mm）关于滚道径向方位角x（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于0.015mm且不高于0.02mm的钢筋，若这批钢筋由题中这种S型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象可得函数的最大值和最小值即可求解A和B，再由函数的周期公式求，然后代点的坐标求；
（2）根据题意列出不等式，然后根据正弦函数的性质解不等式即可求解.
【详解】（1）由图可知，，解得，由得，
所以，又函数图象过点，所以，
即，所以，得，
又，所以，所以.
（2）由题意，则，
即，所以，
解得，
所以当时，，所以这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为.
52．（2024高三上·广东广州·阶段练习）如图是半径为2m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时针方向以角速度（每秒绕圆心转动）作圆周运动，已知点P的初始位置为，且的纵坐标为1，设点P的纵坐标y是转动时间t（单位：s）的函数记为

(1)求函数的解析式；
(2)用五点作图法作出函数，的简图；
(3)当水车上点P的纵坐标大于等于1时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？
【答案】(1)
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，求得的解析式；
（2）根据题意，列表、描点、连线，作出函数在上的简图；
（3）根据的解析式，得出不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意，点的纵坐标为1，可得，所以，
因为P沿逆时针方向以角速度作圆周运动，
所以以为终边的角可以为，
所以.
（2）由函数，
因为，可得，
列表可得：
在直角坐标系中描点、连线，作出函数在上的简图，如图所示，

（3）由，令，可得，即，
可得，解得，
可得水车旋转一周灌溉的时间为，即水车旋转一圈内有可以灌溉植物.
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(0－φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3π,2)－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
（一）
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq \f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
题型1：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
1-1．（2024高三上·全国·专题练习）把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，所得图象对应的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据图象平移过程写出对应解析式.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
将所得函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．
故答案为：
1-2．（2024·全国）函数的图象可由函数的图象至少向右平移 个单位长度得到．
【答案】
【详解】试题分析：,故应至少向右平移个单位.
考点：1、三角恒等变换；2、图象的平移.
1-3．（2024·湖北十堰·三模）为了得到函数图象，只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
【答案】A
【分析】根据函数的图象的平移以及伸缩变换得到的结果，可判断A正确；按平移的单位以及图象上各点横坐标伸缩变换的倍数，可得到变换后的函数图象，写出其解析式，可判断B,C,D.
【详解】只要将的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象，
再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，即A正确；
将的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的是函数的图象，故B错误；
将的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的是函数的图象，故C错误；
将的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的是函数的图象，故D错误；
故选：A
1-4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】C
【分析】结合选项按照先伸缩，再平移的过程，结合诱导公式，即可判断选项.
【详解】曲线，
把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象；
再把得到的曲线向左平移个单位长度，可以得到曲线的图象.
故选：C.
1-5．（2024·全国）已知曲线C1：y=cs x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cs2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cs2（x+）=cs（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
（二）
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
题型2：由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
2-1．（2024·北京通州·模拟预测）已知函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由三角函数的图象与性质求解即可.
【详解】由图知：，则，故，
则，
由，则，
所以，，
又，故，
综上，，
故选：C.
2-2．（2024高三上·北京东城·开学考试）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为 .

【答案】
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点坐标求出的值，可得函数的解析式，根据三角函数的图象变换规律求得新函数的解析式．
【详解】根据图象知，，
将点代入，得，
，又，则，
，
将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为．
故答案为：，．
2-3．（2024·全国）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
2-4．（2024·江苏盐城·一模）函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式 ．
【答案】
【分析】由图易知，再向右平移个单位，可得.
【详解】由图知,，，
则：，，
又，
∴，
∴令可得；
∴的解析式为，
∴将的图象向右平移单位后得.
故答案为：.
2-5．（2024高三上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，设使成立的a的最小正值为m，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】使成立的a即为的对称中心的横坐标，由可得m；由图可知、及，将点代入，求得，得到函数的解析式后代入得到从而求得答案.
【详解】使成立的a即为的对称中心的横坐标，
∴a的最小正值为，
由图可知，，，∴，
将点代入，得，
∴，，
，，∵，∴取，
∴，∴，
∴.
故选：B.
2-6．（2024高三下·四川南充·开学考试）已知函数（为常数，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据已知条件得到，再根据三角函数平移变换求解即可。
【详解】由题意得，所以，故，
因为，，所以，，
即 .
又因为，解得.
即.
将的图像向左平移个单位长度，
得到函数.
故选：A
（三）
三角函数图象、性质的综合应用
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
题型3：图象与性质的综合应用
3-1．（2024·安徽）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是________.
【答案】
【详解】试题分析：由题意，将其图象向右平移个单位，得，要使图象关于轴对称，则，解得，当时，取最小正值.
考点：1.三角函数的平移；2.三角函数恒等变换与图象性质.
3-2．（2024·上海虹口·一模）设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则 ．
【答案】
【分析】根据对称轴与对称中心的最小距离即可得到周期,将对称轴代入即可得到关于的等式,再根据的范围即可得到解析式.
【详解】解:由题知,因为对称轴与对称中心的最小距离为,
所以,即,
所以,此时,
因为对称轴为,
故有:,
即,
因为,
所以,
故.
故答案为:
3-3．（2024高三·全国·专题练习）函数(，)为偶函数，且函数的图像的两条对称轴之间的最小距离为，则的解析式为 .
【答案】
【分析】先利用辅助角公式将函数转化为，再根据函数的图像的两条对称轴之间的最小距离为，求得，从而得到，然后由为偶函数求解.
【详解】∵函数，
∴，
由题意得，
∴，则.
∵为偶函数，
∴，
∴，，
又∵，
故，
即，
∴.
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求解析式以及辅助角法的应用，属于中档题.
3-4．（2024·云南昭通·模拟预测）函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出平移后的函数，根据新函数是偶函数即可得出的值.
【详解】
由题意，
在中，向左平移得到，
所以，
因为为偶函数，
所以，
又因为，
所以，
故选：D.
3-5．（2024·安徽）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是
A．B．C．D．和
【答案】D
【详解】试题分析：时，点的坐标是，所以点的初始角为，当点转过的角度在或时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增，因为12秒旋转一周，所以每秒转过的角度是，，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是和，故选D．
考点：1、三角的定义；2、三角函数的图象与性质．
【方法点睛】三角函数的定义是研究三角问题的基础，在数学学习中，利用定义解题是一种良好的思维方式，因为定义是一切基本问题的出发点，对数学定义的反复应用必将增强对知识的理解与掌握，是学好数学的有效途径．
题型4：函数零点(方程根)问题
4-1．（2024高三上·江苏常州·期中）已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

(1)求函数的解析式，并直接写出函数的解析式；
(2)若在内恰有2023个零点，求实数与正整数的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由图象知的最小正周期，可求得的值，再由，求出，进而求出的解析式；再由三角函数的平移和伸缩变化求出的解析式；
（2）由换元法将的零点转化为的根，记为，其中，由分析知，显然中有一个为或1，分类讨论和求解即可.
【详解】（1）由图象知周期，且
．
再由，
．
（2）
令两根记为，其中，
作出在上的大致图象如下：

显然中有一个为或1．
①当时，此时，当为偶数时，有个交点，
有个交点，此时，无解，舍去．
当为奇数时，有个解，有个解，有，无解，舍去．
②当时，，此时．
当为偶数时，有个交点，有个交点，此时，无解，舍去．
当为奇数时，有个解，有个解．
，故．
4-2．（2024高三上·吉林长春·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求与的解析式；
(2)令，求在区间内的所有实数解的和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数图象得到，代入，求出，得到的解析式，并根据平移法则计算出的解析式；
（2）求出，故得到，令，画出的函数图象，数形结合得到根的和.
【详解】（1）设函数的最小正周期为，
因为，由函数可得，
因为，所以，解得，
将代入解析式，得，故，
因为，所以，，
故，解得，
故，
的图象向右平移个单位长度，
得到；
（2）
，
令得，即，
当时，，令，
画出在的函数图象，如下：
共有4个解，其中，
即，解得，
.
题型5：三角函数模型
5-1．（2024高二下·辽宁·学业考试）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）记录表．（ ）
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深值
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
根据以上数据，若用函数近似地描述这个港口的水深值与时间（记时刻0：00为时间）的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为（ ）
A．2.83B．3.75C．6.25D．7.17
【答案】B
【分析】根据周期求得，进而求得正确答案.
【详解】由表中数据知，，即，解得，所以，
当时，．
故选：B
5-2．（2024高一上·全国·专题练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，当时，两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时，时间t的值是 ．
【答案】10
【分析】设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，求出座舱转动的角速度，计算，，相减得到高度差，计算最值得到答案．
【详解】设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，如图所示：
设时，游客甲位于点，以为终边的角为；
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，
由题意得．
甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则，
经过后甲距离地面的高度为，
点B相对于点A始终落后，
此时乙距离地面的高度为．
则甲、乙距离地面的高度差
，
＝.
因为，所以，
所以两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时
，解得.
即开始转动10分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为45．
故答案为：10．
5-3．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 .
【答案】3
【分析】由题意得，，，又时，，代入求值，得到，求出函数解析式，求出答案.
【详解】由题意得，又，故，
且，解得，
故，
当时，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案为：3
5-4．（2024高三·江西赣州·阶段练习）如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（ ）

A．转动后点距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第和第点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为
【答案】D
【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断.
【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：
，
由题意得：，
，则 ，
所以 ，
选项A，转到后，点距离地面的高度为：
，故A不正确；
选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，
故B不正确；
选项C，因为
，
，
所以 ，
即第和第点距离地面的高度不相同，故C不正确；
选项D，令，
则 ，由，
解得 ，
所以，
即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，
故D正确；
故选：D.
5-5．（2024高三上·山东滨州·期末）某钟表的秒针端点到表盘中心的距离为，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与表盘上标“12”处的点重合．在秒针正常旋转过程中，，两点的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件分析函数的性质，由此判断正确选项.
【详解】由已知函数的定义域为，周期为，且时，，
对于选项A，函数周期为，A错误；
对于选项B，函数周期为，B错误；
对于选项D，当时，，D错误；
对于选项C，
，
所以函数，
故选：C.
时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
米
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
0
1
4
6
1
2
0
0
1