专题38 空间直线、平面的平行-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】5
【考点1】直线与平面平行的判定与性质5
【考点2】平面与平面平行的判定与性质7
【考点3】平行关系的综合应用10
【分层检测】12
【基础篇】12
【能力篇】15
【培优篇】17
考试要求：
从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
知识梳理
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
2.三种平行关系的转化
真题自测
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）如图，，，，,为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
2．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
3．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，

(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
4．（2022·全国·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
5．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
考点突破
【考点1】直线与平面平行的判定与性质
一、单选题
1．（2024·江西景德镇·三模）已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则或
2．（2024·内蒙古·三模）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，正方体的棱长为3，点E、F，G分别在棱，，上，满足，，记平面与平面的交线为l，则（ ）
A．，平面
B．平面截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是
C．时，三棱锥的外接球表面积为
D．时，直线l与平面所成角的正弦值为
4．（2023·辽宁沈阳·二模）在正方体中，，点P在正方体的面内（含边界）移动，则下列结论正确的是（ ）
A．当直线平面时，则直线与直线成角可能为
B．当直线平面时，P点轨迹被以A为球心，为半径的球截得的长度为
C．若直线与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
D．当直线时，经过点B，P，的平面被正方体所截，截面面积的取值范围为
三、解答题
5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且．
(1)设线段中点为，证明：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长．
6．（2024·北京顺义·三模）如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形，，，，.
(1)判断AD是否平行于平面CEF，并证明；
(2)若面面；求：
（ⅰ）平面与平面CEF所成角的大小；
（ⅱ）求点A到平面CEF的距离.
反思提升：
(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点).
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
【考点2】平面与平面平行的判定与性质
一、单选题
1．（2024·安徽安庆·三模）在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（ ）
A．该截面多边形是四边形
B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点
C．平面
D．平面平面
2．（2024·福建南平·二模）在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面，平面平面，则，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高一下·河南·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（ ）
A．直线平面
B．在三棱柱中，点的曲率为
C．在四面体中，点的曲率小于
D．二面角的大小为
4．（2024·河北保定·二模）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（ ）

A．B．平面平面
C．多面体为三棱台D．直线与平面所成的角为
三、解答题
5．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆锥中，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是底面的内接正方形，分别为的中点，过点的平面为.
(1)证明：平面平面；
(2)若圆锥的底面圆半径为2，高为，设点在线段上运动，求三棱锥的体积.
6．（2024·山东潍坊·三模）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
反思提升：
1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
【考点3】平行关系的综合应用
一、单选题
1．（2022·北京朝阳·一模）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·新疆·二模）已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
二、多选题
3．（2024·湖南益阳·三模）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当点P在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当点P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围为
C．使直线AP与平面ABCD所成角为的动点P的轨迹长度为
D．若F是的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的最小值为
4．（2024·湖北·二模）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）

A．动点轨迹的长度为
B．三棱锥体积的最小值为
C．与不可能垂直
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
三、解答题
5．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．
(1)证明： ∥平面；
(2)若，求点到平面的距离．
6．（2024·贵州·模拟预测）在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点.
(1)过点的平面平行于平面且与交于点，求；
(2)若平面平面，且，求点到平面的距离.
反思提升：
三种平行关系的转化
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
2．（2024·贵州贵阳·二模）设为直线，为平面，则的一个充要条件是（ ）
A．内存在一条直线与平行B．平行内无数条直线
C．垂直于的直线都垂直于D．存在一个与平行的平面经过
3．（2024·全国·三模）已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
二、多选题
5．（2024·吉林·二模）已知 为两条不同的直线，两个不同的平面，且，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为，底面的两条对角线恰好为圆的两条直径，分别为的中点，且，则下列说法中正确的有（ ）
A．平面
B．平面平面
C．
D．直线与所成的角为
7．（2020·山东泰安·一模）是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等
三、填空题
8．（2023·四川凉山·三模）在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ．
9．（2022·广西贵港·三模）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，给出下列四
个命题：
①上底边的中点在平面内
②直线与平面不平行
③平面截正方体所得的截面面积为
④点与点到平面的距离相等．
错误的命题是 ．
10．（2022·内蒙古呼和浩特·一模）如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断
①点P的轨迹是一段长度为的线段；
②线段的最小值为；
③；
④与一定异面．
其中正确判断的序号为 ．
四、解答题
11．（2024·广西·模拟预测）在正四棱柱中，，，E为中点，直线与平面交于点F．
(1)证明：F为的中点；
(2)求直线AC与平面所成角的余弦值．

12．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·四川攀枝花·三模）在一个圆锥中，为圆锥的顶点， 为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径， 是底面圆的内接正三角形，
①平面；
②平面；
③圆锥的侧面积为；
④三棱锥的内切球表面积为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
2．（2024·湖北黄冈·二模）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．平面
B．若平面，则动点的轨迹是一条线段
C．若，则四面体的体积为定值
D．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
三、填空题
3．（2023·贵州黔东南·三模）如图，已知正方体的棱长为2，点是内（包括边界）的动点，则下列结论中正确的序号是 .（填所有正确结论的序号）
①若，则平面；
②若，则直线与所成角的余弦值为；
③若，则的最大值为；
④若平面与正方体各个面都相交，且，则截面多边形的周长一定为.
四、解答题
4．（2024·云南昆明·三模）如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．
(1)证明：平面；
(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示是一个以为直径，点为圆心的半圆，其半径为4，为线段的中点，其中，，是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（ ）
A．为正三角形B．平面
C．平面D．点到平面的距离为
二、多选题
2．（2024·福建·模拟预测）已知正方体，分别是边上（含端点）的点，则（ ）
A．当时，直线相对于正方体的位置唯一确定
B．当时，直线相对于正方体的位置唯一确定
C．当平面时，直线相对于正方体的位置唯一确定
D．当平面平面时，直线相对于正方体的位置唯一确定
三、解答题
3．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，.
(1)若平面平面，求、的值；
(2)若平面，求的最小值.
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β
性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β，a⊂α⇒a∥β
性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b