浙江省A9协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

这是一份浙江省A9协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题，共10页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷，下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题：丽水学院附中 杨耀酬 审题：桐乡凤鸣高级中学 童金菊 慈溪实验高级中学 张靖 校稿：王晓燕
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.直线的倾斜角是
A.B.C.D.
2.向量，，若，则
A.，B.，
C.，D.，
3.若点在圆内，则的取值范围是
A.B.C.D.
4.若直线与直线垂直，则的值是
A.2B.0C.0或2D.2或-2
5.已知椭圆的下焦点是，上焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么
A.B.C.D.
6.已知平面上两定点，，则满足（常数且）的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在中，，，则面积的最大值是
A.4B.C.D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，其中为上顶点，且，则椭圆的离心率
A.B.C.D.
8.一条东西走向的高速公路沿线有三座城市、、，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9.下列选项正确的是
A.空间向量与垂直
B.已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为
C.已知向量，，，若可作为一组基底，则可取1
D.若和分别是直线和直线的方向向量，则两直线所成夹角为
10.已知椭圆的离心率为，短轴长为2，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是
A.过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B.存在点，使得的长度为4
C.椭圆上存在4个不同的点，使得
D.内切圆半径的最大值为
11.在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有
A.曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
B.曲线夹在直线和直线之间
C.曲线所围成区域面积是所围成区域面积的9倍
D.曲线上任意两点距离都不超过
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线经过的定点坐标为__________.
13.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为__________.
14.若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知的顶点在直线上运动，点为，点为.
（1）求直线的方程；
（2）的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由.
16.在平面直角坐标系中，已知圆及点和
（1）若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径；
（2）已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围.
17.如图，，，且，平面平面，四边形为正方形.
（1）求证：.
（2）若点在线段上，且点到平面距离为，求平面与平面夹角的余弦值.
18.已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且，当直线的斜率为0时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
（3）求四边形的面积的最小值.
19.在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示.（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量.
有四个平面，，，
（1）若平面与平面互相垂直，求实数的值；
（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；
（3）若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积.
浙江省A9协作体2024学年第一学期期中联考
高二数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
8.解：作与，作与，直线的方程为，故
又可得，，，
从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
11.解：A.，，有，，有，
，时，有，
，时，，
经过的整点有：，，，，，，，，，共9个，故A正确.
B.曲线由四个弓形组成，弓形的弓高为，是夹在直线和直线之间，故B正确.
C.曲线和都可以分解为一个正方形和四个半圆，前者所围成区域面积为后者9倍.故C正确.
D.曲线上任意两点最大距离为，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
14.解：
令，即，代入椭圆方程得，
令，解得，，
，（可验证等号可取），故的最小值是.
四、解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17=77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.解：
（1）由，得
由点斜式方程，化简得
（2）的面积为定值
由于，故
又点在直线上运动，故点到直线的距离为定值，即为两平行直线的距离
.
16.解：
（1）圆可化为，圆心为，半径
直线的方程为，圆心到直线距离为.
由弦长公式，得.
（2）点在以为直径的圆上，不妨记为圆，
从而圆与圆有两个交点.圆心距，
只需满足，
得，故
17.解：
（1）证明：如图，连接，，，，
又，，
又平面平面，且交线为，平面，，
而四边形为正方形，则，且，平面，
平面，.
（2），平面，故平面平面，从而点到平面的距离为点到直线的距离，且为，又点在线段上，且点到平面距离为，故点为线段的三等分点（靠近点）.
如图，取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.
又，，设平面的法向量，
则，不妨令，可得，
同理，平面的法向量
设平面与平面所成角为，，
所以存在点，且平面与平面所成角的余弦值为.
18.解：
（1）当直线的斜率为0时，直线垂直于轴，
，，即，
在上，所以，
解得：，，所以椭圆方程为；
（2）所以，，设，则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值2
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值3，
所以的取值范围为
（3）（i）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，
并化简得.设，，则
，
；
因为与相交于点，且的斜率为，
所以，.
四边形的面积
当时，上式取等号.
（ii）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积6.
综上，四边形的面积的最小值为.
19.解：（1）平面的法向量，平面的法向量，
所以，故
（2）证明：不妨设，在平面内取一点，
则向量，
取平面的一个法向量，则所以点到平面的距离为.
（3）由解得交点，同理，可得其它交点，，
又四面体外接球体积为，故外接球半径
设球心为，则，即有
得或
当球心坐标为时，，得（舍去）
当球心坐标为时，，
得（舍去）或，故
到平面即的距离为
，
又，故.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
C
A
D
B
A
题号
9
10
11
答案
BC
ACD
ABC
题号
12
13
14
答案