第十章　§10.8　概率、统计与其他知识的交汇问题-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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§10.8　概率、统计与其他知识的交汇问题
有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年将概率、统计问题与数列、函数、导数结合，成为创新问题.
题型一　概率、统计与数列的综合问题
例1　(12分)(2023·新高考全国Ⅰ)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；[切入点：pi＋1与pi之间的关系]
[思路分析](1)利用全概率公式(2)寻求pi＋1与pi之间的关系，构造等比数列 (3)根据结论及等比数列的求和公式求解
答题模板　规范答题不丢分
解　(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，(1分)
P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
①处写出P(B2)的概率计算公式
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.(3分)
(2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，
P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，
②处写出P(Ai＋1)的概率计算公式
pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2，
③处写出pi＋1与pi的关系
⑥处利用题干结论计算EY
高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、统计为命题情境，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的事件类型.
跟踪训练1　(2023·日照模拟)在卡塔尔举办的世界杯决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门
将即使方向判断正确也有 的可能性扑不到球.不考虑其他因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
方法一　X的所有可能取值为0,1,2,3，
门将在前三次扑到点球的个数X的所有可能取值为0,1,2,3，
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0.
第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，则当n≥2时，第n－1次传球之前球在甲脚下的概率为pn－1，第n－1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－pn－1，
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小.
题型二　概率、统计与导数的综合问题
例2　(2023·沈阳模拟)根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(μ，σ2)，并把钢管内径在[μ－σ，μ＋σ]内的产品
称为一等品，钢管内径在[μ＋σ，μ＋2σ]内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收.现从该企业生产的产品中随机抽取1 000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图.
(1)通过检测得样本数据的标准差s＝0.3，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率P1；(同一组中的数据用
该组区间的中点值代表)参考数据：36.2×0.2＋36.4×0.25＋36.6×0.7＋36.8×0.8＋37×1.1＋37.2×0.8＋37.4×0.65＋37.6×0.4＋37.8×0.1≈185.
所以μ＝37，σ＝s＝0.3，则μ－σ＝37－0.3＝36.7，μ＋σ＝37＋0.3＝37.3，μ＋2σ＝37＋0.6＝37.6，则一等品内径在[μ－σ，μ＋σ]内，即在[36.7,37.3]内，
二等品内径在[μ＋σ，μ＋2σ]内，即在[37.3,37.6]内，所以该企业生产的产品为正品的概率为P1＝P(36.7≤X≤37.6)＝(0.8＋1.1＋0.8＋0.65)×0.2＋0.4×0.1＝0.71.
(2)假如企业包装时要求把2个一等品和n(n≥2，n∈N)个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
所以某箱产品抽检被记为B的概率为
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值.
由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)，
在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现.
跟踪训练2　学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”.活动规则如下：一天内参加“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参加“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分.已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为 ；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p， .李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响.(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和期望；
X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10，
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f(p).求当p为何值时，f(p)取得最大值.
1.(2023·广州模拟)为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为 ，各次答题结果互不影响.(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
记甲前3次答题得分之和为40分为事件A，则事件A是甲前3次答题中仅答对一次的事件，所以甲前3次答题得分之和为40分的概率为
(2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N+)的数学期望为EXi.①写出EXi－1与EXi满足的等量关系式(直接写出结果，不必证明)；
i∈N＋，i≥2，甲第(i－1)次答题所得分数Xi－1的数学期望为EXi－1，
于是甲第i次答题所得分数Xi的数学期望为
所以EXi－1与EXi满足的等量关系式是
②若EXi>100，求i的最小值.
2.(2023·济宁模拟)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩(单位：分)，绘制了频率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；
所以样本平均数的估计值为62.
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ