上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷及参考答案

这是一份上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷及参考答案，文件包含上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷docx、上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分.
1.已知集合，，则__________.
2.直线的倾斜角为__________.
3.已知，则__________.
4.双曲线的渐近线方程是__________.
5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则__________.
6.已知二项式的展开式中的系数为15，则__________.
7.已知实数a，b满足，则的最小值为__________.
8.幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合__________.
9.数列中，，，若，则__________.
10.如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米.（精确到0.1立方米）
11.已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则__________.
12.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，5，0，6，0，7，则称（a，b，c）为“幸运数组”，例如（7，6，202500）是一个幸运数组.则满足的幸运数组（a，b，c）的个数为__________.
二、选择题（本大题共4题，满分18分）.13、14题每题4分，15、16题每题5分.
13.给出下列两个命题：：设直线a不在平面上，若直线a与平面不平行，则平面上不存在与a平行的直线；：设l，m，n均为直线，其中m，n在平面上，则“”是“且”的充分不必要条件.则（ ）
A.是真命题，是假命题B.是真命题，是真命题
C.是假命题，是真命题D.是假命题，是假命题
14.慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温记录了六周的慢走里程（单位：公里），并由小到大排列为：11，12，m，n，20，27，其中这六周的慢走里程的中位数为16，若要使这六周的慢走里程的标准差最小，则m的值为（ ）
A.14B.15C.16D.17
15.已知是等比数列，，则能使不等式成立的最大正整数的值为（ ）
A.5B.6C.7D.8
16.定义：若抛物线的顶点及抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，
则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.
如图所示，直线经过点，一组抛物线的顶点，，，…，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，，…，（为正整数）.若，且这组抛物线中存在“美丽抛物线”，则d的值为（ ）
A.或B.或C.或D.
三、解答题（本大题78分）
本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
已知，，
（1）若，求函数，的值域；
（2）已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知四棱锥中，，，，，E是AD上一点，.
（1）若F是PD中点，证明：平面；
（2）若平面，求二面角的大小.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，求第二类人群中应抽取的人数；
（3）若将频率视为概率，求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
如图所示，由椭圆和椭圆组合而成的曲线，由图形特点，这里称曲线为“猫眼曲线”.特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”.
（1）已知猫眼曲线满足a，b，t成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；
（2）在曲线中，若，，，斜率为的直线l不经过坐标原点，且l与椭圆相交所得弦的中点为M，与椭圆相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON的斜率之比为定值；
（3）在（2）的条件下，若直线l的斜率，且l与椭圆相切，与椭圆相交于A，B两点，Q为椭圆上异于A，B的任意一点，求面积的最大值.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知，.
（1）若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值；
（2）若函数在区间上的最大值不大于1，求的取值范围；
（3）记，证明：当时，函数有且仅有三个零点.
数学试题答案
1.答案：{4，5}
2.答案：135°
3.答案：5
【解】.
4.答案：
【解】由得.
5.答案：
【解】余弦定理得，在中，.
6.答案：
【解】由知，，可得，则.
7.答案：8
【解】由得，当且仅当时，取得最小值8.
8.答案：
【解】如图：
，，，，，，
当幂函数的值域与定义域相同时，则集合.
9.答案：9
【解】由题知，数列为等差数列，，则，即，故.
10.答案：3.7
【解】由左图，得（其中，米，），
根据“祖睢原理”，构造一个正四棱柱（底边为AB，高为r），并挖去一个正四棱锥，如右图所示，用平行于底面的任意一个平面（高度为）去截中图和右图的两个几何体，所得截面的面积均为相等，所以该帐篷围成几何体的体积为：（立方米）.
（1）（2）
图3
祖暅原理又名等幂等积原理，祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异.”
解释：是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理.
西方文献一般称为卡瓦列里原理（17 世纪意大利数学家）
高中教科书《数学·必修三》11.4 球——2、球的体积
——高二期末数学（虹口区的统考）20240612-题11
牟合方盖是我国魏晋期间数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于微元法.
在《九章算术》的“少广”章中有所谓“开立圆术”，其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称牟合方盖.
牟合方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因为像是两个方形的盖子合在一起，所以被称作“牟合方盖”，可以利用牟合方盖推导计算出球体的体积.
11.答案：
【解】由是函数的零点，可得，即，，取（正半轴的第一个零点）可得；又是函数的零点，由，得，，取（正半轴的第四个零点）得，所以，.
12.答案：591
【解】因为，所以有两类不同情形：
（1）a是两位数，b，c都是三位数.
先不考虑b，c的大小，由于a，b，c的首位均不能排0，所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法，其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法，又因为不可能有，可知与的排法各占一半，所以，有300个满足条件的幸运数组；
（2）a，b是两位数，C是四位数.
先不考虑b，c的大小，由于a，b，c的首位均不能排0，所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法，其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法.
如果，则只有，c的四个位置上的数字为0，5，6，7，共有种排法，
此外，与的排法各占一半，即，所以，有291个满足条件的幸运数组；
综上，所求幸运数组的个数为591.
13.答案：B
【解】：由条件知，，即“平面上不存在与平行的直线”，则真命题；
：由条件知，且，反之，时不成立，即充分不必要条件，则真命题；
故选：B
14.答案：C
【解】由题知，得，则均值，
要使得标准差取得最小值，
由得，当且仅当时取得最小值，故选：C.
15.答案：C
【解】由题知，成立，设等比数列的公比为，得为等比数列且公比为，则，由，得且，以及，可得，即，则，故选：C.
16.答案：A
【解】因为直线经过点，所以，
又抛物线的顶点，，，…，（为正整数），
依次是直线上的点，所以，记为顶点是的抛物线，
若为“美丽抛物线”，则；
若为“美丽抛物线”，因为，则；
若为“美丽抛物线”，因为，这时，这不可能，
显然当时，均不能为“美丽抛物线”.
故选：A.
三、解答题（本大题78分）
本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.【解】（1）若，则，
因为，所以，
所以当，即时，函数，取最大值；
当，即时，函数，取最小值，
所以，函数，的值域为；
（2）由，
因为最小正周期为，所以，
即，，
令，，于是函数在上恰有3个零点，
等价于函数在上恰有3个零点，
作出函数的图像可得，解得，
所以，的取值范围为.
18.【解】
（1）取PE的中点为K，联结BK，KF，则，，
而，，得，，则四边形为平行四边形，
由此可得：，而CF不在平面，又平面，所以，平面.
（2）方法1（坐标法）：
因为，知，即有，，则四边形为平行四边形，得，
所以，平面，
而，平面，可得，，而，
由此，以E为原点，以EC、ED、EP为x、y、z轴，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，即，，
设平面的法向量为，由 ，可得
取，得，
又因为平面的一个法向量为，
（或），
解得，从图中可以看出二面角是锐二面角，
所以，二面角的大小为.
方法2（立几法）：因为，知，即有，，
则四边形为平行四边形，得，所以平面，
联结FE，FC，则EF是直线FC在平面上的射影，，F是PD中点，得，
由三垂线定理知，所以是二面角的平面角，
在中，，，则，得，
所以，二面角的大小为.
19.【解】（1）由题知，可得，，，，
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：（分钟）.
（2）设第一类和第二类人群中抽取的人数分别为m，n，则，
所以，，即第二类人群中应抽取的人数为11.
（3）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，
，，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，
“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.
将频率视为概率，得，，.
因为，且，，是互斥事件，
所以.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
20.【解】（1）由a，b，t成等比数列，得，
则椭圆的离心率为，
椭圆的离心率为，
因为，所以，即，
所以，该曲线是“优美猫眼曲线”.
（2）设直线与椭圆相交于，，线段CD的中点，
则，，两式相减，得，
，即，
由已知，，所以，
即，同理可得，所以，为定值.
解2：由题知，可设直线，联立，得，
则中点的坐标为，可得；
同理可得：，所以，为定值.
（3）设直线的方程为，代入，得，
因为与椭圆相切，所以，，
不妨取，则将直线的方程代入椭圆的方程，
得，设，，则，，
所以，
设，则点到直线的距离（其中，，）
，
当，时，取最大值，
所以，面积取最大值.
若取，根据图形的对称性可得相同的结论.
21.【解】
（1）由题知，，因为是上的严格减函数，是上的严格增函数，所以，所以.
当时，，，显然时，，时，，则在区间上严格减，在区间上的严格增，所以，满足要求.
（2）因为，，
当，即时，，是上的严格增函数，
所以，不满足要求；
当，即时，，是上的严格减函数，
所以，满足要求；
当，即时，若时，，若时，，
所以在区间上严格减，在区间上的严格增，
又，
则当时，，，解得，
当时，，满足要求，
当时，，满足要求，
综上，的取值范围.
（3）由，得或，列表如下：
所以，.
令，因为，所以，
由函数的示意图（如图所示），
可得有三个不相等的实数解，，，其中，，，
根据函数的单调性，且，
则，，即和均有且只有一个实数解，
设为和，则；
又因为，
而，是上的严格增函数，
所以，
所以，所以有且只有一个实数解，记为，显然，
综上，当时，方程有且仅有三个不相等的实数根，
所以函数有且仅有三个零点.一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
0
0
0
严格增
极大值
严格减
极小值
严格增