甘肃省陇南市第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1-5DBCDA 6-8BCB
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.BC 10BD 11ACD 12ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13【答案】
14【答案】
15【答案】
16【答案】
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17【答案】（1）；（2）.
18【答案】（1）；（2）．
19【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
由，得，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（2）因为，由已知，
可得，
∵，，∴，，
∴，
∵，，∴，，
，
当且仅当，时取等号，所以的最小值为．
20【解析】(1)∵与共线，故可设，由得：，
故，∴； 2分
(2)设，则，，，
∵，
∴，
∴点坐标为； 5分
(3)①， 6分
②∵，，
∴，
∴与夹角的余弦值为， 9分
③取轴上的单位向量，，依题意，
即，故，
解得，。 12分
21【解析】由题意得圆心，半径，
(1)∵，∴点在圆上，又， 2分
∴切线的斜率， 4分
∴过点的圆的切线方程是，即； 5分
(2)∵，∴点在圆外部，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，即， 6分
又点到直线的距离，即此时满足题意， 7分
∴直线是圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为， 8分
即，
则圆心到切线的距离，解得， 9分
∴切线方程为，即， 10分
综上可得，过点的圆的切线方程为或，
∵，∴过点的圆的切线长为。 12分
22【解析】(1)证明：由正方形的性质可知，且， 1分
∴四边形为平行四边形，∴， 2分
又∵平面，平面，∴平面， 3分
又∵平面，平面平面，∴； 4分
(2)解：∵四边形、、均为正方形，
∴，，且，
以为原点，分别以、、为轴、轴、轴单位正向量，
建立如图所示的空间直角坐标系， 6分
可得点的坐标、、、、、，
而点为的中点，∴， 7分
设平面的法向量为，
，，则，即，
令，则、，则， 9分
设平面的一个法向量，
，，则，即，
令，则、，则， 11分
设二面角的平面角为，经观察为锐角，
∴