2022-2023学年广东省广州市越秀区七年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省广州市越秀区七年级（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．B．3C．D．﹣3
2．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣60元表示（ ）
A．收入60元B．收入20元C．支出60元D．支出20元
3．（3分）如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（ ）
A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短
C．两点之间直线最短D．线段是直线的一部分
4．（3分）我国神舟十五号载人飞船于2022年11月30日，在距地面约390000米的轨道上与中国空间站天和核心舱交会对接成功，将390000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.9×104B．39×104C．39×106D．3.9×105
5．（3分）如图，是一个正方体的展开图，原正方体中“勤”字一面相对的面上的字是（ ）
A．洗B．口C．戴D．手
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．5a2b﹣6ab2＝﹣ab2
C．3a2+5a2＝8a4D．6xy﹣9yx＝﹣3xy
7．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣cB．如果a＝b，那么
C．如果a2＝3a，那么a＝3D．如果，那么a＝b
8．（3分）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作30个桌面，或者制作300条桌腿，现有14立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？设x立方米木材制作桌面，根据题意列方程正确的是（ ）
A．4×30x＝300（14﹣x）B．30（14﹣x）＝4×300x
C．30x＝4×300（14﹣x）D．4×30（14﹣x）＝300x
9．（3分）关于x的两个一元一次方程2x+1＝﹣5与的解互为相反数，则m的值为（ ）
A．﹣26B．26C．15D．﹣15
10．（3分）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a4+a11值是（ ）
A．96B．45C．76D．78
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）比较大小： （在横线上填“＞”、“＝”“＜”中的一个）．
12．（3分）已知多项式2x3y2﹣xy2﹣8的次数为a，常数项为b，则a﹣b＝ ．
13．（3分）已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点，且BC＝1cm，那么AC＝ cm．
14．（3分）某件商品以60元的价格卖出，盈利20%，则此件商品的进价是 元．
15．（3分）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，同时观测到小岛B在它南偏东53°18'的方向上，则∠AOB＝ ．
16．（3分）一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，我们把十位上的数字a与个位上的数字b的和叫做这个两位数m的“衍生数”，记作f（m），即f（m）＝a+b．如f（52）＝5+2＝7．现有2个两位数x和y，且满足x+y＝100，则f（x）+f（y）＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤．）
17．（8分）计算：
（1）15+（﹣23）﹣（﹣10）； （2）﹣12﹣（﹣2）3÷4+|﹣2|．
18．（8分）解下列方程：
（1）3x﹣6＝x+18； （2）．
19．（8分）已知代数式M＝（2a2+ab﹣4）﹣2（2ab+a2+1）．
（1）化简M；
（2）若a，b满足等式（a﹣2）2+|b+3|＝0，求M的值．
20．（8分）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．
（1）比较大小：a+b 0；b﹣c 0；c﹣a 0．（直接在横线上填“＞”，“＝”，“＜”中的一个）；
（2）化简：|a+b|﹣|b﹣c|+2|c﹣a|．
21．（8分）如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOD＝4∠COD，求∠BOD的度数．
22．（10分）某校组织科技知识竞赛，共有25道选择题，各题分值相同．每题必答，答对得分，答错倒扣分．如表记录了5个参赛者的得分情况．
（1）填空：每答对一道题得 分，每答错一道题扣 分．
（2）参赛者F说他得76分，他答对了多少道题？
（3）参赛者G说他得80分，你认为可能吗？为什么？
23．（10分）小林用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验．如图：他在木杆的正中间处栓绳，将木杆吊起来，吊绳处为木杆的支点，记为O．然后在木杆的左边挂m个重物，在木杆的右边挂n个重物，且m≠n．并通过移动左右两边的重物直至木杆平衡．记平衡时木杆左边挂重物的位置为A，木杆右边挂重物的位置为B、多次实验后、小林发现了规律：m⋅OA＝n⋅OB，即木杆平衡时，左边挂重物的个数×支点到木杆左边挂重物处的距离＝右边挂重物的个数×支点到木杆右边挂重物处的距离．
（1）填空：＝ （用含有m和n的式子表示）；
（2）设木杆上AB中点的位置为C．
①若m＝3，n＝2，AB＝40cm，求OC；
②问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
24．（12分）如图，已知∠AOB，M是OA上一点，N是OB上一点，OM＝20，ON＝30．点P从M点出发，沿着M→O→B的方向运动，同时，点Q从N点出发，沿着N→O→A的方向运动．在射线OA上运动时，点P和点Q每秒运动2个单位；当在射线OB上运动时，点P和点Q每秒运动1个单位．
（1）点P从点M运动到点N共用多长时间？
（2）经过多少时间，有OQ＝OP？
（3）在点P和点Q运动的过程中，存在常数a恰好有三个不同的时间使得|OP﹣OQ|＝a成立，求a的值．
2022-2023学年广东省广州市越秀区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．B．3C．D．﹣3
【分析】根据倒数的定义进行计算即可．
【解答】解：∵﹣3×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣，
故选：A．
【点评】本题考查倒数，掌握乘积是1的两个数互为倒数是正确解答的关键．
2．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣60元表示（ ）
A．收入60元B．收入20元C．支出60元D．支出20元
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：根据题意，若收入80元记作+80元，则﹣60元表示支出60元．
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
3．（3分）如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（ ）
A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短
C．两点之间直线最短D．线段是直线的一部分
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是两点之间线段最短．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是关键．
4．（3分）我国神舟十五号载人飞船于2022年11月30日，在距地面约390000米的轨道上与中国空间站天和核心舱交会对接成功，将390000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.9×104B．39×104C．39×106D．3.9×105
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：390000＝3.9×105．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
5．（3分）如图，是一个正方体的展开图，原正方体中“勤”字一面相对的面上的字是（ ）
A．洗B．口C．戴D．手
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：原正方体中“勤”字一面相对的面上的字是戴，
故选：C．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．5a2b﹣6ab2＝﹣ab2
C．3a2+5a2＝8a4D．6xy﹣9yx＝﹣3xy
【分析】利用合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、2x与3y不能合并，故A不符合题意；
B、5a2b与﹣6ab2不能合并，故B不符合题意；
C、3a2+5a2＝8a2，故C不符合题意；
D、6xy﹣9yx＝﹣3xy，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
7．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣cB．如果a＝b，那么
C．如果a2＝3a，那么a＝3D．如果，那么a＝b
【分析】根据等式的性质解决此题．
【解答】解：A．根据等式的性质，由a＝b，则a+c＝b+c，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据等式的性质，由a＝b（c≠0），则＝，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据等式的性质，由a2＝3a，那么a＝3或0，那么C错误，故C不符合题意．
D．根据等式的性质，由＝，则a＝b，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
8．（3分）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作30个桌面，或者制作300条桌腿，现有14立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？设x立方米木材制作桌面，根据题意列方程正确的是（ ）
A．4×30x＝300（14﹣x）B．30（14﹣x）＝4×300x
C．30x＝4×300（14﹣x）D．4×30（14﹣x）＝300x
【分析】先设x立方米木材制作桌面，则（14﹣x）立方米制作桌腿，然后根据桌面数×4＝桌腿数，即可列出相应的方程．
【解答】解：设x立方米木材制作桌面，则（14﹣x）立方米制作桌腿，
根据题意得4×30x＝300（14﹣x）．
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
9．（3分）关于x的两个一元一次方程2x+1＝﹣5与的解互为相反数，则m的值为（ ）
A．﹣26B．26C．15D．﹣15
【分析】先求出第一个方程的解，再根据相反数的定义得出第二个方程的解是x＝3，把x＝3代入第二个方程，再求出m即可．
【解答】解：解方程2x+1＝﹣5得：x＝﹣3，
∵一元一次方程2x+1＝﹣5与的解互为相反数，
∴一元一次方程的解是x＝3，
把x＝3代入得：＝﹣5×（3﹣1），
解得：m＝﹣26，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．
10．（3分）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a4+a11值是（ ）
A．96B．45C．76D．78
【分析】根据前几个数的特点，找到规律．再代入求值．
【解答】解：第一个数记为a1＝1，第二个数记为a2＝3，第三个数记为a3＝6，…，第n个数记为an＝1+2+3+……+n＝，
∴a4+a11＝10+×11×12＝10+66＝76，
故选：C．
【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）比较大小： ＜ （在横线上填“＞”、“＝”“＜”中的一个）．
【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，由此即可得到答案．
【解答】解：∵|﹣|＞|﹣|，
∴﹣＜﹣．
故答案为：＜．
【点评】本题考查有理数的大小比较，关键是掌握：有理数的大小比较法则．
12．（3分）已知多项式2x3y2﹣xy2﹣8的次数为a，常数项为b，则a﹣b＝ 13 ．
【分析】由多项式的次数，常数项的概念，即可解决问题．
【解答】解：∵多项式2x3y2﹣xy2﹣8的次数为a，常数项为b，
∴a＝3+2＝5，b＝﹣8，
∴a﹣b
＝5﹣（﹣8）
＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查多项式，关键是掌握多项式的次数，常数项的概念．
13．（3分）已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点，且BC＝1cm，那么AC＝ 3或5 cm．
【分析】分两种情况讨论，①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时．
【解答】解：①当点C在线段AB上时，
∵AB＝4cm，BC＝1cm，
∴AC＝AB﹣BC＝4﹣1＝3（cm）；
②当点C在线段AB的延长线上时，
∵AB＝4cm，BC＝1cm，
∴AC＝AB+BC＝4+1＝5（cm），
综上所述，AC的长为3cm或5cm．
故答案为：3或5．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键在于要分情况讨论，防止漏解．
14．（3分）某件商品以60元的价格卖出，盈利20%，则此件商品的进价是 50 元．
【分析】设此件商品的进价是x元，由商品售价﹣商品进价＝商品利润，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设此件商品的进价是x元，
由题意得：60﹣x＝20%x，
解得：x＝50，
即此件商品的进价是50元，
故答案为：50．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15．（3分）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，同时观测到小岛B在它南偏东53°18'的方向上，则∠AOB＝ 66°42′ ．
【分析】根据题意可得：∠AOC＝60°，∠BOD＝53°18'，然后利用平角定义，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠AOC＝60°，∠BOD＝53°18'，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOC﹣∠BOD＝180°﹣60°﹣53°18'＝66°42′．
故答案为：66°42′．
【点评】本题考查了方向角，度分秒的换算，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
16．（3分）一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，我们把十位上的数字a与个位上的数字b的和叫做这个两位数m的“衍生数”，记作f（m），即f（m）＝a+b．如f（52）＝5+2＝7．现有2个两位数x和y，且满足x+y＝100，则f（x）+f（y）＝ 19或10 ．
【分析】依据2个两位数x和y，且满足x+y＝100，分两种情况进行讨论，依据f（m）＝a+b进行计算即可得到f（x）+f（y）的值．
【解答】解：①当2个两位数x和y的个位数字为0，且满足x+y＝100时，x和y的十位数字的和为10，个位数字的和为0，
故f（x）+f（y）＝10；
②当2个两位数x和y的个位数字均不为0，且满足x+y＝100时，x和y的十位数字的和为9，个位数字的和为10，
故f（x）+f（y）＝19；
综上所述，f（x）+f（y）的值为10或19．
故答案为：19或10．
【点评】本题主要考查了整式的加减和列代数式，关键是正确理解和运用两位数m的“衍生数”，即f（m）＝a+b．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤．）
17．（8分）计算：
（1）15+（﹣23）﹣（﹣10）；
（2）﹣12﹣（﹣2）3÷4+|﹣2|．
【分析】（1）按照从左到右的顺序，进行计算即可解答；
（2）先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答．
【解答】解：（1）15+（﹣23）﹣（﹣10）
＝﹣8+10
＝2；
（2）﹣12﹣（﹣2）3÷4+|﹣2|
＝﹣1﹣（﹣8）÷4+2
＝﹣1+2+2
＝1+2
＝3．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）解下列方程：
（1）3x﹣6＝x+18；
（2）．
【分析】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，由此即可求解．
【解答】解：（1）3x﹣6＝x+18，
3x﹣x＝18+6，
2x＝24，
x＝12；
（2）﹣1＝，
×6﹣6＝×6，
3（y+1）﹣6＝2（2﹣y），
3y+3﹣6＝4﹣2y，
3y+2y＝4﹣3+6，
5y＝7，
y＝．
【点评】本题考查解一元一次方程，关键是掌握解一元一次方程的步骤．
19．（8分）已知代数式M＝（2a2+ab﹣4）﹣2（2ab+a2+1）．
（1）化简M；
（2）若a，b满足等式（a﹣2）2+|b+3|＝0，求M的值．
【分析】（1）直接利用去括号，进而合并同类项即可得出答案；
（2）结合非负数的性质得出a，b的值，代入a，b的值得出答案．
【解答】解：（1）M＝2a2+ab﹣4﹣4ab﹣2a2﹣2
＝﹣3ab﹣6；
（2）∵（a﹣2）2+|b+3|＝0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，
故M＝﹣3×2×（﹣3）﹣6
＝18﹣6
＝12．
【点评】此题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键．
20．（8分）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．
（1）比较大小：a+b ＜ 0；b﹣c ＜ 0；c﹣a ＞ 0．（直接在横线上填“＞”，“＝”，“＜”中的一个）；
（2）化简：|a+b|﹣|b﹣c|+2|c﹣a|．
【分析】（1）根据图示，可得：a＜b＜0＜c，据此逐项判断即可；
（2）根据绝对值的含义和求法，化简|a+b|﹣|b﹣c|+2|c﹣a|即可．
【解答】解：（1）根据图示，可得：a＜b＜0＜c，
∴a+b＜0；b﹣c＜0；c﹣a＞0．
故答案为：＜，＜，＞．
（2）∵a+b＜0；b﹣c＜0；c﹣a＞0，
∴|a+b|﹣|b﹣c|+2|c﹣a|
＝﹣（a+b）+（b﹣c）+2（c﹣a）
＝﹣a﹣b+b﹣c+2c﹣2a
＝c﹣3a．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
21．（8分）如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOD＝4∠COD，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据邻补角的定义进行计算即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义可得出∠AOC的度数，再由∠AOD＝4∠COD，即可算出∠COD的度数，再根据余角的定义进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝180°﹣130°＝50°；
（2）∵∠AOB＝180°，OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝＝＝90°，
∵∠AOD＝4∠COD，
∴3∠COD＝90°，
∴∠COD＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°．
【点评】本题主要考察了角度计算及角平分线的定义，熟练掌握角度计算及角平分线的定义进行求解是解决本题的关键．
22．（10分）某校组织科技知识竞赛，共有25道选择题，各题分值相同．每题必答，答对得分，答错倒扣分．如表记录了5个参赛者的得分情况．
（1）填空：每答对一道题得 4 分，每答错一道题扣 2 分．
（2）参赛者F说他得76分，他答对了多少道题？
（3）参赛者G说他得80分，你认为可能吗？为什么？
【分析】（1）从参赛者A的得分可以求出答对一题的得分＝总分÷全答对的题数，再由B同学的成绩就可以得出答错一题的得分；
（2）设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝76分建立方程求出其解即可；
（3）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，根据答对的得分+答错的得分＝80分建立方程求出其解即可，注意y要为整数．
【解答】解：（1）由题意，得，
答对一题的得分是：100÷25＝4（分），
答错一题的扣分为：24×4﹣94＝2（分）．
故答案为：4，2；
（2）设参赛者答对了x道题，答错了（25﹣x）道题，由题意得：
4x﹣2（25﹣x）＝76，
∴4x﹣50+2x＝76，
∴x＝21．
答：参赛者得76分，他答对了21道题；
（3）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了（25﹣y）道题，
由题意得4y﹣2（25﹣y）＝80，
∴4y﹣50+2y＝80，
∴y＝，
∵y为整数，
∴参赛者说他得80分，是不可能的．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出等式是解题的关键．
23．（10分）小林用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验．如图：他在木杆的正中间处栓绳，将木杆吊起来，吊绳处为木杆的支点，记为O．然后在木杆的左边挂m个重物，在木杆的右边挂n个重物，且m≠n．并通过移动左右两边的重物直至木杆平衡．记平衡时木杆左边挂重物的位置为A，木杆右边挂重物的位置为B、多次实验后、小林发现了规律：m⋅OA＝n⋅OB，即木杆平衡时，左边挂重物的个数×支点到木杆左边挂重物处的距离＝右边挂重物的个数×支点到木杆右边挂重物处的距离．
（1）填空：＝ （用含有m和n的式子表示）；
（2）设木杆上AB中点的位置为C．
①若m＝3，n＝2，AB＝40cm，求OC；
②问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）根据小林发现的规律：m⋅OA＝n⋅OB即可解答；
（2）①设OA＝xcm，则OB＝（40﹣x）cm，根据m⋅OA＝n⋅OB，列出方程求得OA＝16cm，OB＝24cm，根据线段中点性质的AC＝20cm，则OC＝AC﹣OA；
（3）分OA＜OB和OA＞OB两种情况，先分别表示出OA的长，再表示出OC，以此即可求解．
【解答】（1）由题意可知，m⋅OA＝n⋅OB，
∴；
故答案为：；
设OA＝xcm，则OB＝（40﹣x）cm，
∵m⋅OA＝n⋅OB，
∴3x＝2（40﹣x）
解得：x＝16，
∴OA＝16cm，OB＝24cm，
∵C为AB的中点，
∴AC＝＝20cm，
∴OC＝AC﹣OA＝20﹣16＝4（cm）；
②当OA＜OB时，
∵AC＝OA+OC＝，
∴OC＝＝，
∴，
当OA＞OB时，
∵AC＝OA﹣OC＝，
∴OC＝OA﹣＝＝，
∴，
综上，是定值，定值为．
【点评】本题主要考查线段的和差、线段中点性质、一元一次方程的应用，解题关键在于根据题中给出的等量关系列出方程，并学会运用分类讨论思想解决问题．
24．（12分）如图，已知∠AOB，M是OA上一点，N是OB上一点，OM＝20，ON＝30．点P从M点出发，沿着M→O→B的方向运动，同时，点Q从N点出发，沿着N→O→A的方向运动．在射线OA上运动时，点P和点Q每秒运动2个单位；当在射线OB上运动时，点P和点Q每秒运动1个单位．
（1）点P从点M运动到点N共用多长时间？
（2）经过多少时间，有OQ＝OP？
（3）在点P和点Q运动的过程中，存在常数a恰好有三个不同的时间使得|OP﹣OQ|＝a成立，求a的值．
【分析】（1）用找OA上的时间加上OB上的时间即可得点P从点M运动到点N共用50秒；
（2）分两种情况：当P，Q都在OB上时，OP＝t﹣10，OQ＝30﹣t，可得t﹣10＝30﹣t，当Q在OA上，P在OB上时，OP＝t﹣10，OQ＝2（t﹣30），有t﹣10＝2（t﹣30），分别解方程可得答案；
（3）分5种情况：①当0≤t≤10时，t+10＝a，可得10≤a≤20时，|OP﹣OQ|＝a在0≤t≤10有一个解；②当10＜t≤20时，可得当0≤a＜20时，|OP﹣OQ|＝a在10＜t≤20有一个解；③当20＜t≤30时，同理当0＜a≤20时，|OP﹣OQ|＝a在20＜t≤30有一个解；④当30＜t≤50时，0≤a＜20，|OP﹣OQ|＝a在30＜t≤50有一个解；⑤当t＞50时，可得a＞0时，|OP﹣OQ|＝a在t＞50有一个解；从而可知常数a恰好有三个不同的时间使得|OP﹣OQ|＝a成立，a的值为20．
【解答】解：（1）∵20÷2+30÷1＝50（秒），
∴点P从点M运动到点N共用50秒；
（2）P从点M运动到O需要20÷2＝10（秒），Q从点N运动到O需要30÷1＝30（秒），
当P，Q都在OB上时，OP＝t﹣10，OQ＝30﹣t，
∴t﹣10＝30﹣t，
解得t＝20，
当Q在OA上，P在OB上时，OP＝t﹣10，OQ＝2（t﹣30），
∴t﹣10＝2（t﹣30），
解得t＝50，
∴经过20秒或50秒，有OQ＝OP；
（3）∵|OP﹣OQ|＝a，
∴a≥0，
①当0≤t≤10时，OP＝20﹣2t，OQ＝30﹣t，
|OP﹣OQ|＝OQ﹣OP＝30﹣t﹣（20﹣2t）＝t+10，
∴t+10＝a，
解得t＝a﹣10，
由0≤a﹣10≤10得10≤a≤20，
即10≤a≤20时，|OP﹣OQ|＝a在0≤t≤10有一个解；
②当10＜t≤20时，P，Q都在OB上，OQ≥OP，
∴30﹣t﹣（t﹣10）＝a，
解得t＝，
由10＜≤20得0≤a＜20，
∴当0≤a＜20时，|OP﹣OQ|＝a在10＜t≤20有一个解；
③当20＜t≤30时，P，Q都在OB上，OQ＜OP，
∴t﹣10﹣（30﹣t）＝a，
解得t＝，
由20＜≤30得0＜a≤20，
∴当0＜a≤20时，|OP﹣OQ|＝a在20＜t≤30有一个解；
④当30＜t≤50时，P在OB上，Q在OA上，且OP≥OQ，
∴t﹣10﹣2（t﹣30）＝a，
解得t＝50﹣a，
由30＜50﹣a≤50得0≤a＜20，
∴当0≤a＜20时，|OP﹣OQ|＝a在30＜t≤50有一个解；
⑤当t＞50时，P在OB上，Q在OA上，且OP＜OQ，
∴2（t﹣30）﹣（t﹣10）＝a，
解得t＝a+50，
由a+50＞50得a＞0，
∴a＞0时，|OP﹣OQ|＝a在t＞50有一个解；
∴当a＝0时，|OP﹣OQ|＝a在10＜t≤20有一个解，在30＜t≤50有一个解，一共有两个解；
当0＜a＜10时，|OP﹣OQ|＝a在10＜t≤20，20＜t≤30，30＜t≤50，t＞50各有一个解，一共有四个解；
当10≤a＜20时，|OP﹣OQ|＝a在0≤t≤10，10＜t≤20，20＜t≤30，30＜t≤50，t＞50各有一个解，一共有五个解；
当a＝20时，|OP﹣OQ|＝a在0≤t≤10，20＜t≤30，t＞50各有一个解，一共有三个解；
当a＞20时，|OP﹣OQ|＝a在t＞50有一个解，
综上所述，常数a恰好有三个不同的时间使得|OP﹣OQ|＝a成立，a的值为20．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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答对题数
答错题数
得分
A
25
0
100
B
24
1
94
C
23
2
88
D
19
6
64
E
15
10
40
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
25
0
100
B
24
1
94
C
23
2
88
D
19
6
64
E
15
10
40