河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

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所以，解得，
2．C【详解】对于A，将直线整理为.
令，解方程组，得，即，
将代入得，所以直线过定点，故A选项错误.
对于B，当时，直线方程为，即.
圆，圆心，半径.
因为直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即，
或，解得或，故B选项错误.
对于C，圆，圆心，半径.
直线，根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离.
弦长，若弦长为定值，则为定值，与，无关.
当时，，，是定值，故C选项正确.
对于D，当时，求直线截圆的最短弦长
当时，圆，圆心，半径.
直线过定点.
圆心到定点的距离.
根据几何关系，直线截圆的最短弦长，故D选项错误.
3．C【详解】A选项，明显短轴不相等，一个，故错误；B选项，一个
另一个为，故错误．D选项，离心率，结合前面提到了a不相等，故错误；曲线的焦半径满足，而焦半径满足
，故两曲线的焦半径相等，故焦距相等，C正确．
4．C【详解】以代换，方程不变，
故曲线C：关于原点及x轴，y轴对称，
当时，可得，即，
可得此时曲线是以 为圆心，为半径的半圆，
由此作出曲线C的图象如图所示，
所以曲线C围成的图形的面积是，
5．A【详解】，由，
结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支，
在双曲线中，，可得，，
所以，
动点的轨迹方程为.
6．C【详解】设圆台的高为，根据圆台的母线长、高和上下底面半径之差构成直角三角形，由勾股定理可得.
已知，，，则.
代入圆台体积公式，
可得.
7．C【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，，
设圆柱的底面圆半径为，则，解得 ，于是，
由，得
，
所以、两点间的距离为.

8．D【详解】
（解法1）设，
因为，所以.
，所以.
因为，所以.
因为，所以，即，解得.
（解法2）设，
因为，所以，
所以.
因为，所以.
因为存在.，所以在上有解.
因为，且，
所以在上有解，
即在上有解.
因为，所以，即解得.
9．BD【详解】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，设直线方程为，
令解得，令解得，
因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍，
所以，解得或，
所以直线方程为或，A说法错误；
选项B：直线的斜率为，方向向量为，当时，B说法正确；
选项C：由得，
则直线与直线之间的距离，C说法错误；
选项D：由题意圆圆心为，半径，
圆圆心为，半径，
因为，，
所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D说法正确；
10．ABD【详解】对于A，如图，正方体中，分别为，的中点，取分别为，的中点.连接..由正方体性质，知道，，平面，平面，则平面.故A正确.
对于B，点不在MN上，由异面直线定义可知，直线与是异面直线，故B正确.
对于C和D，由前面知道，，则等腰梯形是所求截面，
如图，棱长是2的正方体，可求得,，
，，
作则.
则等腰梯形的面积为：.故C错误，D正确.
11．BCD【详解】双曲线的渐近线为，左焦点，所以点到C的一条渐近线的距离为，所以A错误；
由双曲线方程可得，，所以离心率，所以B正确；
设点，则，即，
点到两渐近线距离分别为和，
则，所以C正确；
设双曲线的右焦点，则，所以，
若最小，则只需最小即可，
过作垂直渐近线与点，交双曲线右支与点，此时最小，
，由勾股定理得，所以，所以，
所以的周长为，所以D正确.
12．
【详解】由题意知是椭圆的两个焦点，
则，
不妨取，则，
又，结合可得，
则，即，
故，
13．
【详解】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为.
14．
【详解】因为底面是正三角形，.
根据正三角形外接圆半径公式（其中为正三角形的边长），可得.
设正三棱锥的高为，顶点在底面的射影为.
因为为中点，在上，且.
对于正三角形，，则.
在中，，，根据勾股定理.
设外接球半径为，球心在高上.
根据，将，代入可得：
. 展开得.
移项化简得，解得.
因为.
设球心到点的距离为，在中，，，根据勾股定理.
的最小值为，最大值为.
，.
所以的取值范围是.
15．(1)； (2)或；
【详解】（1）根据题意有，解之得，所以椭圆的方程；
（2）（ⅰ）显然若l斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意；
不妨设直线的方程为，的中点为C，
设，
l与椭圆方程联立有，整理得，
则，
所以，
易知，解之得，
即，整理得直线的方程为或；
（ⅱ）由弦长公式可知
，
由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即，
所以的面积为.

16．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）因为四边形为菱形，则，
设，连接，则为的中点，
因为，则，
因为，、平面，故平面.
（2）连接，因为四边形为菱形，则，
又因为，则为等边三角形，
因为为的中点，则，
又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、
、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形，
所以，，，，
同理可得，
所以，A3,0,0、、、、、，
则，，
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
则，取，可得，
因为为上的动点，设，其中，
且，，
所以，，
设直线与平面所成角为，
则
，
当时，取最大值，且最大值为，
因此，与平面所成角正弦值的最大值为.
（3）因为为的中点，则，
设点，则，，
因为，即，即，
化简可得，
故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分，
即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为.
17．(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析
【详解】（1）在中，
所以，即.
又因为，在平面中，，
所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，由平面，得.
由（2）知，且已知，
故以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，.

所以
因为为中点，所以.
由知，.
设平面的法向量为，
则即
令，则.于是.
由（1）知平面，所以平面的法向量为.
所以，
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为；
（3）设是线段上一点，则存在使得.
因为，
所以.
因为平面，所以平面，当且仅当，
即.
即.解得.
因为，
所以线段上不存在使得平面.
18．(1)， (2)
【详解】（1）设“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件，“丙解出该题”为事件，
则，，相互独立，
由题意得，，
所以，，
所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为，.
（2）设“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件，
则，
因为，，，
所以，，，
因为、、相互独立，
所以.
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为.
19．(1)或 (2)
【详解】（1）因为拋物线的焦点为，则，得到，所以拋物线，
由题知，由，得到，所以，
在中，，，
则，又，所以，
因为，且点与点对应，点与点对应，所以，
如图，易知，所以点在轴正半轴或轴负半轴上，
又因为，，得到，
所以点的坐标为或.
（2）设，则，，
再设切线的方程为，
联立方程组，整理得，
由，且，可得，
则切线的方程为，即.
由切线过点，可得.
同理，切线的方程为，
由切线过点，可得，
则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
可得，
则
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.