福建省福州市福清市2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份福建省福州市福清市2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，8，4B．2，2，4C．6，2，3D．5，10，6
3．（4分）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）
A．20°B．50°C．60°D．80°
4．（4分）正八边形一个内角的度数是（ ）
A．150°B．135°C．108°D．60°
5．（4分）如图，△ABC≌△AEF，点F在BC上，AB交EF于点D．若∠B＝30°，∠EAF＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
6．（4分）根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（ ）
A．AB＝4，BC＝5
B．AB＝4，BC＝5，∠BAC＝60°
C．AB＝4，BC＝5，∠ABC＝70°
D．∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°
7．（4分）如图，AB＝BC＝4，DA＝DC，若∠ACB＝60°，则OC的长度为（ ）
A．1B．C．2D．
8．（4分）某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的．他们判定的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合
D．等腰三角形顶角平分线与底边上的中线重合
9．（4分）已知△ABC，下列尺规作图能确定∠BAD＝∠ABD的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）在△ABC中，∠C＝2∠A＝2α，点D为AC上一点，∠ADB＝180°﹣4α，将△ABD沿BD折叠得到△A′BD，A′B与CD相交于点E，点E不与点C重合，则α的值可以是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）修理一把摇晃的椅子，我们可以斜着钉上一块木条（如图），其中所涉及的数学原理是 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于E，若AE＝12，则BE的长为 ．
13．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，4）和B（﹣1，﹣4）关于 轴对称．
14．（4分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是 ．
15．（4分）如图，△ABC为等边三角形，BC＝2，AD为BC边上的中线，点P、E分别为AD、AB上的动点．当BP+PE最小时，则BE的长为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D、E分别在BC、AC上，且AD＝BD，DE＝EC．若△ADE为等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知一个多边形的内角和比它的外角和多180°，求这个多边形的边数．
18．（8分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE与BA的延长线交于点E．若∠B＝40°，∠ACB＝30°，求∠E的度数．
19．（8分）如图，B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A＝∠D．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在BC上找一点D，连接AD，使得AD平分△ABC的面积．
21．（8分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线．
（1）尺规作图：过点A作AE//BC交BD的延长线于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）找出图中一定与AE相等的线段，并说明理由．
22．（10分）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．
已知：在△ABC中， ；
求证： ；
证明：
23．（10分）在平面直角坐标系中，点A（a，0），C（0，a），a＞0，点B在线段OC上，连接AB，点D（1，1）在AB上，连接OD，CD．
（1）求证：OD垂直平分AC；
（2）若BD＝BC，求OB长．（用含a的式子表示）
24．（12分）实验与探究：
材料：如图1，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，可以作∠DCB＝∠B，CD交AB于D，
则CD＝BD．（依据1）
∵AD+DC＞AC（依据2），
∴AB＞AC．
这说明，在一个三角形中，如果两角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较长．
任务一：上述材料中，依据1与依据2分别是什么？
依据1： ；
依据2： ．
任务二：逆向思考：如图2，在△ABC中，AB＞AC，那么它们所对的角大小关系是什么？并给予证明．
任务三：如图3，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB，O为CD上一点，连接OB．若∠ACD＞30°，试利用材料中的知识，比较OB与CD的大小关系，并说明理由．
25．（14分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为AC上一点，连接BD，点E在BD上，连接AE并延长交BC于F．
（1）如图1，若AE⊥BD．
①求证：∠ABD＝∠FAC；
②连接DF，若∠BDA＝∠FDC，求证：点D为AC中点；
（2）如图2，若∠BAF＝∠DBC，BE＝a，BD＝b，求△BDC的面积．（用含a，b的式子表示）
2024-2025学年福建省福州市福清市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称称图形，故此选项符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、3+4＝7＜8，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、2+2＝4，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、3+2＜6，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、6+5＞10，能组成三角形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3．【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．
【解答】解：∵等腰三角形的一个顶角为80°
∴底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°．
故选：B．
【点评】考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．
4．【分析】根据正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，根据多边形的外角和为360°，进而求得一个外角的度数，即可求得正八边形每个内角度数．
【解答】解：∵正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，
∴正八边形的一个外角等于360÷8＝45°，
∴正八边形的一个内角为180°﹣45°＝135°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握正多边形的每一个内角相等，外角也相等是解题的关键．
5．【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF＝80°，
∵∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝70°，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．【分析】只有符合全等三角形的判定条件的三角形能画出唯一确定的三角形，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：A．由“AB＝4，BC＝5”不能唯一确定△ABC，所以A选项不符合题意；
B．由“AB＝4，BC＝5，∠BAC＝60°”不能唯一确定△ABC，所以B选项不符合题意；
C．由“AB＝4，BC＝5，∠ABC＝70°”可以唯一确定△ABC，所以C选项符合题意；
D．由“∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°”不能唯一确定△ABC，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
7．【分析】先证明BD是线段AC的垂直平分线上得BD⊥AC，OA＝OC＝AC，再证明△ABC是等边三角形得AC＝AB＝4，由此可得出OC的长．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∵DA＝DC，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∴BD是线段AC的垂直平分线上，
∵BD⊥AC，OA＝OC＝AC，
又∴AB＝BC＝4，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴OC＝AC＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
8．【分析】根据题意可知AC＝BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB；由OC既是AB边上的中线，又是AB边上的高，据此即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，
∴AC＝BC．
∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
∴OC⊥AB，
即等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，此题与实际生活联系密切，读懂题意，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．【分析】判断出DB＝DA即可．
【解答】解：选项B中，由作图可知点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
故选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10．【分析】首先用α表示出∠ABC，∠ABD，∠ABA'，根据题意，得∠ABD＞0°，∠ABA'＜∠ABC，由此列出关于α的不等式，再求出α的取值范围，即可作出判断．
【解答】解：如图，
∵∠C＝2∠A＝2α，∠ADB＝180°﹣4α，
∴∠A＝α，
∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣α﹣2α＝180°﹣3α，
∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝180°﹣α﹣（180°﹣4α）＝3α，
∵△ABD沿BD折叠得到△A′BD，
∴∠ABD＝∠A'BD＝3α，∠ABA'＝6α，
∵′B与CD相交于点E，点E不与点C重合，
∴∠ABD＞0°，∠ABA'＜∠ABC，
即3α＞0°，6α＜180°﹣3α，
解得0°＜α＜20°，
∴α的值可以是15°，
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，三角形内角和定理，解一元一次不等式，理解题意，掌握相关性质是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：所涉及的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
12．【分析】直接由线段垂直平分线的性质得出答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
13．【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，4）和B（﹣1，﹣4）关于x轴对称．
故答案为：x．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
14．【分析】根据垂直定义得出∠ABD＝∠CDB＝90°，根据图形可知BD是公共直角边，根据直角三角形全等的判定HL得出需要添加的条件是斜边相等．
【解答】解：需要添加的条件是AD＝CB．
理由是：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°．
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故答案为：AD＝CB．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
15．【分析】根据轴对称的最短路径问题，作E的对称点E'，连接PE'，BE'，过点B作BH⊥AC于点H，推出当BP+PE最小时，点E'在点H处，此时BE＝AB﹣AH，再求出AH的长即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，AD为BC边上的中线，
∴直线AD是△ABC的对称轴，
如图，在AC上取一点E'使AE'＝AE，则点E'与点E关于直线AD对称，连接PE'，BE'，过点B作BH⊥AC于点H，
则PE'＝PE，
∴BP+PE＝BP+PE'≥BE'≥BH，
∴当BP+PE最小时，点E'在点H处，此时BE＝AB﹣AH，
∵△ABC为等边三角形，BC＝2，
∴AC＝BC＝2，
又∵BH⊥AC，
∴AH＝AC＝1，
∴BE＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答中涉及轴对称的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
16．【分析】设∠C＝x°，分三种情况进行讨论：
①当AD＝AE时，如图1，根据三角形的外角的性质列方程：2x+x＝30°+30°，可得x的值，即可求解；
②当AD＝DE时，如图2，根据三角形的内角和定理列方程：30°+30°+2x+x＝180°，可得x的值，即可求解；
③当EA＝DE时，根据三角形的内角和定理列方程：90﹣x+30°+30°+x＝180°，无解，x不存在．
【解答】解：设∠C＝x°，
①当AD＝AE时，如图1，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝30°，
∵DE＝EC，
∴∠C＝∠EDC＝x°
∴∠AED＝2x°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝x°，
∴2x+x＝30°+30°，
∴x＝20°．
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣20°＝130°；
②当AD＝DE时，如图2，
同理：∠B＝∠BAD＝27°，∠C＝∠EDC＝x°，∠DAE＝∠AED＝2x°，
∴30°+30°+2x+x＝180°，
∴x＝40°．
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
③当EA＝DE时，
∵90﹣x+30°+30°+x＝180°，
∴x不存在，应舍去．
综合上述：满足条件的∠C的度数为20°或40°．
故答案为：130°或110°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，理解优美线的定义是解决问题的关键，并注意分类讨论的思想，不要丢解．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】根据多边形的内角和的计算方法以及多边形外角和是360°列方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
（n﹣2）×180°＝360°+180°，
解得n＝5，
即这个多边形是五边形．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算方法以及多边形外角和是360°是正确解答的关键．
18．【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE和∠CAE，根据三角形内角和求出∠E即可．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝180°﹣30°＝150°，
∵∠B＝40°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝75°，
∴∠E＝180°﹣75°﹣70°＝35°．
【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
19．【分析】欲证明∠A＝∠D，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
20．【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）取BC的中点D，则点D即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，A1（﹣1，3），B1（2，﹣1），C1（﹣3，1）．
（2）如图，取BC的中点D，连接AD，
则AD平分△ABC的面积，
则点D即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21．【分析】（1）在BD的延长线上截取DE＝BD，连接AE，则AE∥BC；
（2）证明△CDB≌△ADE（SAS），得出CB＝AE．
【解答】解：（1）如图，
在BD的延长线上截取DE＝BD，连接AE，则AE∥BC；
（2）AE＝BC．
理由：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
又∵∠CDB＝∠ADE，BD＝DE，
∴△CDB≌△ADE（SAS），
∴CB＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
22．【分析】根据文字叙述写出已知，求证，然后根据等腰三角形三线合一可得∠ACD＝∠BCD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明．
【解答】已知：在△ABC中，AC＝BC，AD＝BD，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，
求证：DE＝DF，
证明：∵AC＝BC，AD＝BD，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF．
故答案为：AC＝BC，AD＝BD，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F；DE＝DF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
23．【分析】（1）延长OD交AC于H，过点D作DE⊥OA，DF⊥OC，则OE＝OF＝1，进而得OD是∠AOC的平分线，再根据等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先证明∠DAO＝∠DCB，在根据BD＝BC得∠DCB＝∠CDB，则∠OBA＝2∠DCB，由此得∠DCB＝30°，然后再利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出OB的长．
【解答】（1）证明：延长OD交AC于H，过点D作DE⊥OA，DF⊥OC，如图所示：
∵点D（1，1），
∴OE＝OF＝1，
∴点D在∠AOC的平分线上，
∴OD是∠AOC的平分线，
∵点A（a，0），C（0，a），a＞0，
∴OA＝OC＝a，
∴OD⊥AC，AH＝CH，
∴OD垂直平分AC；
（2）解：∵OA＝OC＝a，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵OD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴∠OAC﹣∠DAC＝∠OCA﹣∠DCA，
即∠DAO＝∠DCB，
∵BD＝BC，
∴∠DCB＝∠CDB，
∴∠OBA＝∠DCB+∠CDB＝2∠DCB，
∵∠OBA+∠DAO＝90°，
∴2∠DCB+∠DCB＝90°，
∴∠DCB＝30°，
∴∠DAO＝∠DCB＝30°，
在Rt△OAB中，∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB，
由勾股定理得：OA＝＝OB，
∴OB＝a，
∴OB＝．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，含有30°角直角三角形的性质，勾股定理，理解线段垂直平分线的定义，坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用含有30°角直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键．
24．【分析】任务一：根据等腰三角形的判定和三角形的三边关系可解答；
任务二：如图2，在AB上截取AD＝AC，连接CD，得∠ADC＝∠ACD，根据三角形外角的性质和角的和差可得结论：∠ACB＞∠B；
任务三：如图3，OB＞CD，先根据角平分线定义得：∠ACD＝∠BCD，根据材料中：在同一个三角形中大角对大边，从而可以解答即可．
【解答】解：任务一：
依据1：等角对等边；
依据2：三角形的两边之和大于第三边；
故答案为：等角对等边；三角形的两边之和大于第三边；
任务二：
∠ACB＞∠B，证明如下：
∵AB＞AC，
如图2，在AB上截取AD＝AC，连接CD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵∠ADC＝∠B+∠DCB，
∴∠ADC＞∠B，
∵∠ACB＞∠ACD，
∴∠ACB＞∠B；
任务三：
如图3，OB＞CD，理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＞30°，
∴∠ACB＞60°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC＜30°，
∴∠DCB＞∠CBD，
∴BD＞CD，
△BOD中，∠BDO＝90°+∠ACD＞90°，
∠BOD＜90°，
∴∠BDO＞∠BOD，
∴OB＞BD，
∴OB＞CD．
【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了三角形外角的性质，三角形的三边关系，角平分线的定义，等边对等角等知识，正确理解并运用在一个三角形中，大角对大边，大边对大角，运用类比的方法解决问题是解本题的关键．
25．【分析】（1）①根据同角的余角可得结论；
②如图1，过点C作CG⊥AC于C，交AF的延长线于点G，根据ASA证明△BAD≌△ACG，则AD＝CG，∠G＝∠BDA，再证明△FCD≌△FCG（AAS），从而解答即可；
（2）如图2，过点A作AM⊥AF于A，交BD的延长线于M，连接CM，证明△BAE≌△CAM（SAS），得BE＝CM，∠AMC＝∠AEB＝135°，从而得∠DMC＝135°﹣45°＝90°，最后根据三角形的面积公式可解答．
【解答】（1）①证明：∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠ABD＝∠FAC；
②证明：如图1，过点C作CG⊥AC于C，交AF的延长线于点G，
∴∠ACG＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，∠FAC＝∠ABD，
∴△BAD≌△ACG（ASA），
∴AD＝CG，∠G＝∠BDA，
∵∠BDA＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠G，
∵∠BCA＝45°，∠ACG＝90°，
∴∠FCG＝45°＝∠DCF，
∵CF＝CF，
∴△FCD≌△FCG（AAS），
∴CG＝CD，
∴CD＝AD，
∴点D为AC中点；
（2）解：如图2，过点A作AM⊥AF于A，交BD的延长线于M，连接CM，
∴∠FAM＝90°＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAM，
∵∠DBC＝∠BAF，∠AED＝∠BAE+∠ABE，
∴∠AED＝∠ABE+∠DBC＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AE＝AM，∠AME＝45°，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△CAM（SAS），
∴BE＝CM，∠AMC＝∠AEB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DMC＝135°﹣45°＝90°，
∴CM⊥BD，
∴S△BDC＝•BD•CM＝•BD•BE，
∵BE＝a，BD＝b，
∴S△BDC＝ab．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形判定与性质，三角形的面积等知识点．熟练掌握常用几何定理和模型是解决问题的关键．