2025邵阳武冈高三上学期期中考试数学试题含解析

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注意事项：
1．本试卷考试时量120分钟，满分150分；
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
3．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知则（ ）
A B.
C. D.
4. 若向量满足，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知在四边形中，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为
B. 若AP=，则点P的轨迹长度为
C. 若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是
D. 若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
11. 已知数列的前项和为，且，若，则（ ）
A. 是等比数列B. 是等比数列
C. 是等差数列D. 是等差数列
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知点为平面内不同的四点，若，且，则______
13. 在中，角A，，所对的边分别为，，，．且，则______．
14. 对任意，不等式恒成立，则取值范围是______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程.
16. “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
（1）若，设比赛结束时比赛局数为，求的分布列与数学期望；
（2）现有两种赛制：赛制一：采用3局2胜制，赛制二：采用5局3胜制，乙选手要想获胜概率大，应选哪种赛制？并说明理由.
17. 如图，已知四棱台中，，，，，，，且，为线段中点，
（1）求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
（2）已知，．证明：点是的0度点；
（3）求函数全体2度点构成的集合．
19. 已知无穷数列中，，记，，．
（1）若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值；
（2）若为周期数列，证明：，使得当时，常数；
（3）设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列．