贵州省贵阳市观山湖区美的中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

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一、选择题（每小题3分，共36分，每小题均有ABCD四个选项，其中只有一项是正确）
1．抛物线y＝(x＋1)2－5的顶点坐标是( )
A．(1，5) B．(－1，5) C．(1，－5) D．(－1，－5)
2．方程x2－2x－3＝0的一个实数根为m，则2 024－m2＋2m的值是( )
A．2 022 B．2 021 C．2 020 D．2 019
3．已知点A(1，y1)，B(4，y2)，C(－3，y3)均在抛物线y＝2x2－4x＋m上，则下列式子中正确的是( )
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
4．将抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是( )
A．y＝3(x＋2)2－3 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x－2)2－3 D．y＝3(x＋2)2＋3
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，点B，C旋转后的对应点分别是点B′和点C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是( )
6．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知关于x的一元二次方程x2－mnx＋m＋n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．二次函数y＝ax2－4ax＋c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表．其中有一处被墨水覆盖，仅能看到当x＝0时，y的值是负数，已知当0≤x≤3时，y的最大值为－9，则c的值为( )
9．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的两实数根分别为x1，x2，且x1＋3x2＝5，则m的值为( )
10．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，将△ABP绕
点B顺时针旋转60°到△CBQ的位置，连接PQ，则以下结论错误的是( )
A．∠QPB＝60° B．∠PQC＝90° C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°
11．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2 023次得到正方形OA2 023B2 023C2 023，那么点A2 023的坐标是( )
12．函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c＞2；②b＋2c＝0；③3b＋c＋6＝0；④当1＜x＜3时，x2＋(b－1)x＋c＜0.其中正确的是( )
A．①④ B．③④ C．①②③ D．②④
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是___．
14．实数x，y满足(x＋y)2＋x＋y－2＝0，则2x＋2y＝_______．
15．抛物线y＝ax2＋2ax＋c经过点A(－3，0)，则关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋c＝0的解是______________．
16．如图，点A是抛物线y＝x2－4x对称轴上的一点，连接OA，以点A为旋转中心，将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为__________________．
三、解答题（本大题共9大题，98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
17．(8分)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF.
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)△ABF可以由△ADE绕旋转中心________点按顺时针方向旋转________度得到；
(3)若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．
18．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－2，3)，B(－3，2)，C(－1，1)．(画图时字母应标注清楚)
(1)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2；
(3)若△A′B′C′与△ABC关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_______．
19．(10分)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2－3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式
20．(10分)两段互相垂直的墙AB和AC的长分别为12 m和3 m，用一段长为23 m的篱
笆围成一个矩形菜园(篱笆全部用完)，如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节
篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2 m宽的门．假设篱笆CD的长为x m，矩形菜园的面积为S m2(S＞0)，回答下面的问题：
(1)用含x的式子表示篱笆DE的长为___________m，x的取值范围是___________；
(2)矩形菜园的最大面积是多少m2？并求出此时x的值．
21．(12分)如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM.
(1)求证：EF＝MF；
(2)当AE＝1时，求EF的长．
22．(12分)某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场调查发现，当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，每个售价每增加2元，月均销量就相应减少20个．
(1)若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包的售价应不高于多少元？
(2)在(1)的条件下，当这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3 120元？
(3)这种书包的销售利润能达到3 700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
23．(12分)阅读下面材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时，遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与y＝a2x2＋b2x＋c2(a2≠0，a2，b2，c2是常数)满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2－3x＋1的旋转函数，小明是这样思考的：由函数y＝2x2－3x＋1可知，a1＝2，b1＝－3，c1＝1，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请利用小明的方法解决下面问题：
(1)直接写出函数y＝x2－4x＋3的旋转函数；
(2)若函数y＝5x2＋(m－1)x＋n与y＝－5x2－nx－3互为“旋转函数”，求(m＋n)2 021的值；
(3)已知函数y＝2(x－1)(x＋3)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右边)，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2(x－1)(x＋3)互为“旋转函数”．
24．(12分)如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
(1)问题解决：如图1，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是__________，位置关系是________；
(2)问题探究：如图2，△AO′E是将图1中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的，连接CE，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB.判断△PQB的形状，并证明你的结论；
(3)拓展延伸：如图3，△AO′E是将图1中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的，连接BO′，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB.若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．
25．(14分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
(1)抛物线的解析式为________，抛物线的顶点坐标为________；
(2)如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标；
(3)如图2，点E的坐标为(0，－1)，点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
(4)如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
A.35°
B．40°
C．50°
D．55°